107 鐵路特考員級 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量學中地圖投影（Map Projection）之長度變形與地形圖量測換算，涉及以下核心觀念與公式：

1. 地形圖比例尺（Scale, $S$）：地圖上直線長度與投影平面（高斯／橫麥卡托網格面）上對應長度之比值，即 $S = \frac{1}{M}$（本題比例尺分母 $M = 10{,}000$）。
2. 地圖投影尺度比（Grid Scale Factor, $K$）：參考橢球面上之微小線段投影至地圖投影平面時之伸長或縮短比例。 $K = \frac{ds'}{ds} = \frac{\text{投影面上之長度}}{\text{橢球面上對應之長度}}$
3. 長度轉換程序：圖上距離（$D$）$\xrightarrow{\times M}$ 投影面網格距離（$D_{\text{grid}}$）$\xrightarrow{\div K}$ 橢球面距離（$D_0$）$\xrightarrow{\times \frac{R+h}{R}}$ 地面平距實長（$S$）。

解題方法

一、地圖投影尺度比之定義與說明

1. 定義： 地圖投影尺度比（Grid Scale Factor，常以 $k$ 或 $K$ 表示）係指地圖投影平面上一微小線段長度（$ds'$），與該線段在參考橢球面上對應微小線段長度（$ds$）之比值： $K = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta s'}{\Delta s} = \frac{ds'}{ds}$

2. 物理意義與變形特性：

• 由於地球為不可展之曲面（橢球面），將其投影至二維平面時，除特定切線或割線外，長度必然產生變形。
• $K = 1$：表示無長度投影變形（真長），通常發生於標準緯線或割圓柱之割線上。
• $K > 1$：表示投影至平面後長度被拉長（平面長度大於橢球面長度）。
• $K < 1$：表示投影至平面後長度被壓縮（平面長度小於橢球面長度）。
• 以臺灣現行 TWD97 橫麥卡托二度分帶投影（TM2）為例，中央經線之尺度比規定為 $K_0 = 0.9999$；向東西兩側離開中央經線時，尺度比 $K$ 隨距離平方逐漸遞增。

二、計算該直線距離之地面平距實長

由圖上量得距離還原至實地平距，計算分為以下步驟：

1. 計算投影面網格長度（$D_{\text{grid}}$）： 地形圖比例尺為 $1:10{,}000$，圖上量得之距離為 $D$。地圖上繪製之幾何位置對應於地圖投影平面，因此投影面上的直線網格長度為：

核心觀念

本題評量測量學中「坐標反算方位角」與「導線測量方位角推算」之基本計算能力，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 坐標反算方位角（Coordinate Inversion for Azimuth）： 已知兩點平面坐標 $(N_A, E_A)$ 與 $(N_B, E_B)$，其坐標增量為： $\Delta N_{AB} = N_B - N_A$ $\Delta E_{AB} = E_B - E_A$ 象限角（簡化角）$R_{AB}$ 為： $R_{AB} = \arctan\left(\left|\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right|\right)$ 方位角 $\phi_{AB}$（以正北為 $0^\circ$ 順時針起算至目標方向線）依坐標增量之正負符號決定其所屬象限：

• 第一象限（NE，$\Delta N > 0, \Delta E > 0$）：$\phi = R$
• 第二象限（SE，$\Delta N < 0, \Delta E > 0$）：$\phi = 180^\circ - R$
• 第三象限（SW，$\Delta N < 0, \Delta E < 0$）：$\phi = 180^\circ + R$
• 第四象限（NW，$\Delta N > 0, \Delta E < 0$）：$\phi = 360^\circ - R$

2. 正方位角與反方位角之關係： 同一測線兩端點間之正、反方位角相差 $180^\circ$： $\phi_{BA} = \phi_{AB} \pm 180^\circ$ 當 $\phi_{AB} < 180^\circ$ 時取 $+180^\circ$；當 $\phi_{AB} \ge 180^\circ$ 時取 $-180^\circ$。

3. 水平角推算前視測線方位角（右角公式）： 於測站 $B$ 後視 $A$、前視 $C$，測得順時針水平角（右角）$\beta$，則前視測線 $BC$ 之方位角為後視方向線 $BA$ 之方位角加上順時針水平角 $\beta$： $\phi_{BC} = \phi_{BA} + \beta$ 若計算結果大於或等於 $360^\circ$，則扣除 $360^\circ$；亦即通用導線推算式： $\phi_{BC} = \phi_{AB} \pm 180^\circ + \beta - n \times 360^\circ$

解題方法

步驟一：計算 $A$ 到 $B$ 點之坐標增量與方位角 $\phi_{AB}$

已知 $A、B$ 兩點坐標分別為： $(N_A, E_A) = (2457300.000\text{ m},\ 183500.000\text{ m})$ $(N_B, E_B) = (2457600.000\text{ m},\ 183800.000\text{ m})$

求取 $A$ 點至 $B$ 點之坐標差： $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 2457600.000 - 2457300.000 = +300.000\text{ m}$ $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 183800.000 - 183500.000 = +300.000\text{ m}$

核心觀念

本題考核水準測量中的往返水準測量（Direct Leveling）​成果整理、精度評定與加權平均高程差計算，涉及以下核心學理與規範：

1. 往返測高程差與閉合差定義：

• 往測（$P \to Q$）高程差記為 $h_{\text{往}}$；返測（$Q \to P$）高程差記為 $h_{\text{返}}$。
• 往返測形成一個閉合水準環線，其閉合差（不符值）$f_h$ 定義為： $f_h = h_{\text{往}} + h_{\text{返}}$
• 閉合差之絕對值 $|f_h|$ 代表往返兩次測量的不符合程度。

2. 水準測量精度與閉合差容許限值：

• 依誤差傳播定律，水準測量之觀測誤差與測線長度之平方根成正比。依水準測量規範（以民國 107 年考題命題慣例），往返測閉合差容許限值為： $E_{\max} = \pm 20\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$ 式中 $K$ 為測線長度（$\mathrm{km}$）。當往測與返測長度略有不同時，實務與學理上 $K$ 通常取往返單程平均長度 $K = \frac{S_{\text{往}} + S_{\text{返}}}{2}$。

3. 不同測線長度之觀測權與平均高程差：

• 根據誤差傳播定律，高程差之方差 $\sigma^2$ 與距離 $S$ 成正比（$\sigma^2 \propto S$）。
• 依最小二乘法原理，觀測權 $P$ 與方差成反比，即水準測量觀測權與路線長度成反比（$P \propto \frac{1}{S}$）。
• 當題目特別給定往測與返測之路線長度不同時，最嚴密的平均高程差應採加權平均值（Weighted Mean）；基礎測量學中若視為同等精度，亦有取算術平均值（Arithmetic Mean）​之作法，解題時宜以加權平均為主，並輔以算術平均以求完整。

解題方法

步驟一：計算往返測閉合差（不符值）

由題意已知：

• 往測（$P \to Q$）高程差 $h_{\text{往}} = +12.380\ \mathrm{m}$，測線長 $S_{\text{往}} = 4.2\ \mathrm{km}$
• 返測（$Q \to P$）高程差 $h_{\text{返}} = -12.411\ \mathrm{m}$，測線長 $S_{\text{返}} = 3.5\ \mathrm{km}$

往返測構成閉合環，其高程閉合差為： $f_h = h_{\text{往}} + h_{\text{返}} = 12.380 + (-12.411) = -0.031\ \mathrm{m} = -31\ \mathrm{mm}$ 閉合差之絕對值為： $|f_h| = 31\ \mathrm{mm}$

步驟二：檢核成果是否合乎規定

計算閉合差容許限值 $E_{\max}$：

1. 標準取法（單程平均距離）： $K = \frac{S_{\text{往}} + S_{\text{返}}}{2} = \frac{4.2 + 3.5}{2} = 3.85\ \mathrm{km}$ $E_{\max} = 20\ \mathrm{mm} \times \sqrt{3.85} \approx 20 \times 1.9621 = 39.24\ \mathrm{mm}$

2. 檢驗比較： $|f_h| = 31\ \mathrm{mm} \le E_{\max} = 39.24\ \mathrm{mm}$

(補充：即使以較嚴格的返測短程 $K = 3.5\ \mathrm{km}$ 計算，$E_{\max} = 20\sqrt{3.5} \approx 37.42\ \mathrm{mm}$；或以總長 $K = 7.7\ \mathrm{km}$ 計算，$E_{\max} = 20\sqrt{7.7} \approx 55.50\ \mathrm{mm}$，閉合差絕對值 $31\ \mathrm{mm}$ 均未超過限值。)

結論：該次往返測之閉合差小於法規容許限值，因此成果合乎規定。

步驟三：計算 $P$ 到 $Q$ 的平均高程差

先將返測（$Q \to P$）成果換算為 $P \to Q$ 方向之高程差：

核心觀念

本題考核土木工程測量學中「整地土方計算」的方格網法（Grid Method），涉及下列核心觀念與公式：

1. 內插點高程計算： 依題目指定之平均法，求得邊線上新增分點之高程： $h_{10} = \frac{h_7 + h_8}{2}, \quad h_{11} = \frac{h_6 + h_7}{2}$

2. 網格平均高程法（Average End Area / Grid Method）：

• 四邊形網格（四角平均法）：各頂點高程平均值即為網格之代表高程： $\bar{h} = \frac{\sum_{i=1}^4 h_i}{4}$
• 三角形網格（三角平均法）：三個頂點高程之算術平均值： $\bar{h} = \frac{\sum_{i=1}^3 h_i}{3}$

3. 網格土方量公式： 以網格平均高程 $\bar{h}$ 與設計高程 $h_0$ 之差值（施工高程差 $\Delta h$），乘以該網格面積 $A$： $V = A \times (\bar{h} - h_0)$

• 若 $\bar{h} > h_0$（$\Delta h > 0$），代表原地表高於設計面，為挖方（Cut）。
• 若 $\bar{h} < h_0$（$\Delta h < 0$），代表原地表低於設計面，為填方（Fill）。

4. 淨土方量（整地平衡）： 整地後的淨需求土方量為總挖方量與總填方量之代數和： $V_{\text{淨}} = V_{\text{填}} - V_{\text{挖}}$ 若總填方大於總挖方，整地後整體需要向外借土填方；反之則需要外運挖方。

解題方法

步驟一：計算未知網格點 10 與 11 之高程

依題意，第 10 點為第 7、8 點之平均；第 11 點為第 6、7 點之平均： $h_{10} = \frac{h_7 + h_8}{2} = \frac{32.66 + 26.90}{2} = \frac{59.56}{2} = 29.78\text{ 公尺}$ $h_{11} = \frac{h_6 + h_7}{2} = \frac{34.58 + 32.66}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62\text{ 公尺}$

步驟二：確定各網格頂點配置與面積

依圖面網格劃分：

• 網格 A：由點 $1、2、9、8$ 構成之四邊形，面積 $A_A = 900\text{ 平方公尺}$。
• 網格 B：由點 $2、3、4、9$ 構成之四邊形，面積 $A_B = 900\text{ 平方公尺}$。
• 網格 C：由點 $9、4、5、6$ 構成之四邊形，面積 $A_C = 900\text{ 平方公尺}$。
• 網格 D：位於點 7 之角隅，由點 $7、10、11$ 構成之三角形，依題意面積為網格 A 的 $1/4$： $A_D = \frac{1}{4} \times 900 = 225\text{ 平方公尺}$

步驟三：計算各網格平均高程及施工挖填深度（設計高程 $h_0 = 31.80\text{ 公尺}$）

1. 網格 A（頂點 $1, 2, 9, 8$）： $\bar{h}_A = \frac{25.82 + 28.29 + 30.22 + 26.90}{4} = \frac{111.23}{4} = 27.8075\text{ 公尺}$ $\Delta h_A = \bar{h}_A - h_0 = 27.8075 - 31.80 = -3.9925\text{ 公尺} \quad (\text{低於設計面，為填方})$

2. 網格 B（頂點 $2, 3, 4, 9$）： $\bar{h}_B = \frac{28.29 + 32.16 + 34.43 + 30.22}{4} = \frac{125.10}{4} = 31.275\text{ 公尺}$