108 鐵路特考員級 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

水準測量以水準儀的視準軸作為照準目標的視線。理想狀況下，水準氣泡居中時，視準軸應與水準管軸平行，並保持水平；若視準軸相對於水平面有傾斜，其傾角即為視準軸誤差的傾角 $i$。

視準軸有傾斜時，水準尺讀數會隨視距增加而產生較大的誤差。若視線傾角為 $i$，距離儀器 $D$ 處的讀數誤差約為 $D\tan i$；因此兩次觀測的視距不相等時，前、後視讀數所受誤差不同，會影響高程差。

解題方法：室外兩樁法檢查

在室外以兩支水準尺分別立於相距 $L$ 的兩點 $A$、$B$，用「儀器置中」取得基準高程差，再將儀器移近其中一點觀測。置中時前、後視距相等，視準軸傾斜造成的讀數誤差相互抵消；偏置後視距差大，便可由高程差的變化求出 $i$。

施測步驟

1. 在穩固地面選定兩點 $A$、$B$，相距約數十公尺，兩支水準尺分別立於兩點。
2. 將水準儀架設於 $A、B$ 中點附近，整平後讀取兩尺讀數，記為 $a_1$、$b_1$。此時兩視距相等，所得高程差可視為正確值： $\Delta h_1=a_1-b_1$
3. 將水準儀移至靠近 $A$ 點的位置，整平後再讀兩尺，記為 $a_2$、$b_2$。令儀器至 $A$ 的距離為 $d$，則至 $B$ 的距離約為 $L-d$。
4. 計算偏置架設時的高程差： $\Delta h_2=a_2-b_2$ 偏置觀測所受的視準軸誤差，等於兩視距差乘以 $\tan i$，所以： $\Delta h_2-\Delta h_1=(L-2d)\tan i$ 因此：

核心觀念

方位角（Azimuth）是由起始方向的北方起算，沿順時針方向量至目標方向的水平角，通常以 $0^\circ$ 至 $360^\circ$ 表示：

• 北：$0^\circ$（或 $360^\circ$）
• 東：$90^\circ$
• 南：$180^\circ$
• 西：$270^\circ$

方位角能以單一角度明確表示方向，適合用於測量坐標計算、導線測量與方向換算。相較於只記錄銳角的象限角，方位角可直接辨識方向所在象限，減少方向判讀錯誤。

本題依測量常用坐標約定，假設 $X$ 軸向北、$Y$ 軸向東；若題目所採坐標軸定義不同，公式中的坐標增量須依該定義調整。

解題方法

先求 $A$ 至 $B$ 的坐標增量：

其中 $\Delta X$ 為南北方向增量，$\Delta Y$ 為東西方向增量。依照「北方起算、順時針增加」的定義，方位角的正切關係為：

但反正切函數的結果通常只落在 $-90^\circ$ 至 $90^\circ$，無法單憑該結果判定完整象限，因此必須配合 $\Delta X$、$\Delta Y$ 的正負號修正。

象限判定法

令銳角

則方位角如下：

此法先求第一象限的銳角，再依坐標增量的正負決定方位角所在象限。

直接計算法

實際計算可使用具有象限判定功能的反正切函數：

核心觀念

三角高程測量是利用測站至目標點的距離與垂直角，求出兩點間的高程差。基本幾何關係為：

距離較長時，地球曲率會使目標低於水平切線，大氣折光則會使視線向下彎曲；兩者合稱「二差」，須在高程計算中修正。

（一）施測方法及基本計算原理

在 A 點架設全站儀，量取儀器高 $i_A$；於 B 點設置反射稜鏡，量取目標高 $r_B$。觀測全站儀至稜鏡的斜距 $S$ 與垂直角 $\alpha$。若垂直角以水平線為 $0^\circ$、仰角為正，施測示意如下：

 稜鏡
 ● B
 ／ │
 斜距 S ／ │
 ／ α │ 高程差
 全站儀 ●─────────────┘
 A 水平線
 儀器高 iA

斜距的垂直分量為 $S\sin\alpha$，因此：

故：

若儀器觀測的是天頂距 $z$，則垂直分量為 $S\cos z$，公式改寫為：

距離較長時，加入二差改正：

其中 $C_{cr}$ 為地球曲率與大氣折光的合成改正數。實務計算時，若使用斜距，應先求水平距離 $D=S\cos\alpha$，再以 $D$ 計算二差改正。

（二）不能直接量取 A、B 距離時的測量方式

可採用對向三角高程測量。A、B 兩點分別架設儀器，互相觀測對方的垂直角；若兩點間無法直接以測距儀量距，先以已知基線及角度觀測進行三角交會，求得 A、B 間的水平距離，再代入對向觀測公式。

觀測與計算步驟

1. 在已知長度基線端點觀測至 A、B 的水平角，以三角交會求出 A、B 的平面座標。
2. 由座標差計算水平距離：

3. 在 A、B 分別架設全站儀，互相觀測垂直角。令 $\alpha$ 為 A 觀測 B 的仰角，$\beta$ 為 B 觀測 A 的仰角，仰角取正、俯角取負。
4. 量取兩端儀器高 $i_A,i_B$ 及目標高 $r_A,r_B$，計算高程差：

核心觀念

本題考查 GPS 定位的分類，以及 DGPS 與 RTK 的觀測量、改正方式、作業流程和精度差異。判斷時要先看定位成果是相對於地球座標系的絕對坐標，還是相對於另一測站的基線向量；再看是否使用參考站改正觀測誤差，以及是否以載波相位求解整數週波數。

GPS 以衛星訊號求得接收機至衛星的距離或相位觀測量。單點定位通常以偽距觀測求解接收機坐標與接收機鐘差；差分定位則利用已知坐標的參考站與待測站同步觀測衛星，消除或削弱兩站共同的誤差。

（一）絕對定位與相對定位

絕對定位

絕對定位又稱單點定位，是以一部接收機接收多顆 GPS 衛星訊號，利用衛星已知軌道位置與接收機至衛星的觀測距離，直接求得接收機在地心地固座標系中的位置。

偽距觀測可概略表示為：

其中 $P_i$ 為對第 $i$ 顆衛星的偽距觀測量，$\rho_i$ 為幾何距離，$c$ 為光速，$\delta t_r$、$\delta t_i$ 分別為接收機與衛星鐘差，$I_i$、$T_i$ 分別為電離層與對流層延遲，$\varepsilon_i$ 為其他觀測誤差。

至少需要四顆衛星的觀測，以解算三維坐標及接收機鐘差。一般單點定位不需另一部已知坐標的接收機，作業簡便，但精度受衛星軌道、衛星鐘差、大氣延遲、多路徑效應及接收機誤差影響。

相對定位

相對定位又稱差分定位，是以兩部以上接收機同時觀測共同衛星，其中一站設於已知坐標點作為參考站，另一站設於待測點。先求兩站間的基線向量，再由已知參考站坐標推得待測站坐標：

兩站同時觀測相同衛星時，衛星鐘差、衛星軌道誤差及部分大氣延遲具有相關性，可藉由差分降低其影響。相對定位常以載波相位觀測提高精度，但須處理整數週波數等未知數，作業與解算較複雜。

（二）DGPS 與 RTK GPS

1. DGPS：原理、方法與精度

DGPS（Differential GPS，差分式 GPS）以已知坐標的參考站和待測接收機同步觀測衛星。參考站根據已知位置計算各衛星觀測量的誤差或改正數，傳送給待測接收機；待測站套用改正數後求得較佳位置。

DGPS 傳統上主要以偽距差分為基礎：參考站比較由已知坐標計算的幾何距離與實際觀測偽距，估計偽距改正數，再傳至待測站。兩站距離越近，所受衛星鐘差、軌道誤差及大氣延遲越相似，差分改正效果通常越好。

其主要特徵如下：

• 定位方式：​參考站提供觀測改正數，待測站修正自身觀測量。
• 觀測量：​通常以偽距為主。
• 作業型態：​可即時接收改正數，也可事後處理。
• 定位成果：​一般為公尺級；