111 鐵路特考員級 機械工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題考查被動符號約定、功率定義與工作點電阻：

• 電壓 $V_a$ 的正端在左側。
• 電流 $I_a$ 由左向右，流入電壓正端，因此元件功率為 $p=V_aI_a$
• 元件的工作點電阻為 $R=\frac{V_a}{I_a}$
• 電阻功率亦可寫成 $p_R=I_a^2R=V_aI_a$

功率為正表示元件吸收功率；功率為負表示元件輸出功率。

解題方法

(一) 當 $V_a=-30\text{ V}$、$I_a=2\text{ A}$ 時：

因此元件功率為 $-60\text{ W}$，代表元件實際輸出 $60\text{ W}$。

(二) 當 $V_a=-20\text{ V}$、$I_a=3\text{ A}$ 時，工作點電阻為：

此處為負電阻，表示電壓與電流的參考方向下，元件具有供能特性；題目給定兩組數值也表示應依各工作點計算，而非假設為固定正電阻。

(三) 在 $V_a=-30\text{ V}$、$I_a=2\text{ A}$ 的工作點：

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與獨立源歸零：

• 理想電壓源設為 $0\text{ V}$：以短路取代。
• 理想電流源設為 $0\text{ A}$：以開路取代。
• 戴維寧等效電壓為端點 $ab$ 的開路電壓： $V_{\text{th}}=V_{ab,\text{oc}}$
• 戴維寧等效電阻為關閉所有獨立源後，由端點 $ab$ 看入電路所得的電阻： $R_{\text{th}}=R_{ab}$

因為 $R_L=\infty$，負載支路開路，右側 $4\Omega$ 電阻中沒有電流，因此其兩端電壓降為零，故 $V_a$ 等於中央節點電壓。

解題方法

（一）電壓源變為 $0\text{ V}$，且 $R_L=\infty$

24 V 電壓源以短路取代，8 A 電流源保留。

中央節點至接地有兩條電阻支路：

由 8 A 電流源所建立的中央節點電壓為：

$V_c=8\times3=24\text{ V}$

因右側 $4\Omega$ 電阻無電流通過，所以：

$V_a=V_c=24\text{ V}$

且 $V_b=0$，因此：

$V_{ab}=V_a-V_b=24\text{ V}$

【小題（一）答案：】

$\boxed{V_{ab}=24\text{ V}}$

（二）電流源變為 $0\text{ A}$，且 $R_L=\infty$

8 A 電流源以開路取代，24 V 電壓源保留。

此時 $12\Omega$ 與中央節點至接地的 $4\Omega$ 構成串聯分壓電路。中央節點電壓為：

$V_c=24\left(\frac{4}{12+4}\right)$

$V_c=24\left(\frac{4}{16}\right)=6\text{ V}$

右側 $4\Omega$ 電阻無電流，因此 $V_a=V_c$：

$V_{ab}=6\text{ V}$

【小題（二）答案：】

$\boxed{V_{ab}=6\text{ V}}$

（三）電壓源與電流源同時變為 $0$，且 $R_L=\infty$

• 24 V 電壓源以短路取代。
• 8 A 電流源以開路取代。

核心觀念

本題考查：

• 一階 $RL$ 電路的暫態響應。
• 電感電流的連續性：電感電流不能瞬間改變。
• $RL$ 電路時間常數：

• 右側開關閉合後，將電感兩端短路；但短路的是電感電壓，並不代表電感電流立刻變成零。
• 題目所標示的 $i(t)$ 是流經 $1\Omega$ 電阻、進入右側節點的總電流。

（一）$0\le t<1$ 時的 $i(t)$

在 $t=0$ 時左側開關閉合，右側開關尚未閉合，因此電路為 $10\text{ V}$ 電壓源、$1\Omega$ 電阻與 $5\text{ H}$ 電感串聯。

由於電感原先未儲能：

串聯 $RL$ 電路的步階響應為：

其中穩態電流為：

時間常數為：

且

因此：

在 $t=1^-$ 時，電感電流為：

（二）$1\le t$ 時的 $i(t)$

在 $t=1$ 秒，右側開關閉合，將電感兩端短路。

此時右側節點直接接地，因此 $1\Omega$ 電阻兩端電壓為 $10\text{ V}$。由歐姆定律：

所以：

須注意，右側開關閉合後，電感電流仍須保持連續：

這股電流會在「電感—右側短路開關」所形成的迴路中循環；它不是流經題目箭頭所標示的總電流 $i(t)$。

因此，$i(t)$ 在 $t=1$ 秒發生跳躍：

核心觀念

本題考查正弦穩態交流電路的阻抗與並聯共振：

• 電阻阻抗：$Z_R=R$
• 電感阻抗：$Z_L=j\omega L$
• 電容阻抗：$Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}$
• 串聯阻抗相加，並聯則以導納相加。
• 輸入電壓振幅為 $1\text{ V}$，且要求電流為 $\sin\omega t\text{ A}$，表示輸入端等效阻抗必須為 $1\Omega$，且無相位差。

圖中電路為：$1\Omega$ 電阻串聯一個並聯網路，其中並聯網路的兩支路為：

1. $1\text{ nF}$ 電容；
2. $1\text{ mH}$ 電感與 $10\mu\text{F}$ 電容串聯。

（一）交流阻抗電路圖

將元件以交流阻抗表示：

$Z_R=1\Omega$

因此，阻抗電路為：

• 電壓源 $v_i(t)=\sin\omega t$；
• 串聯 $1\Omega$ 電阻；
• 電阻後分成兩個並聯支路：
• 第一支路為 $Z_{C_1}$；
• 第二支路為 $Z_L$ 與 $Z_{C_2}$ 串聯。

輸入端等效阻抗為

（二）使穩態輸入電流 $i_i(t)=0$ 的頻率

要使輸入電流為零，輸入端必須呈現開路，即並聯網路的等效導納為零：

$Y_p=Y_{C_1}+Y_{LC_2}=0$

其中

$Y_{C_1}=j\omega C_1$

而電感與第二個電容串聯之阻抗為

故其導納為

令總導納為零：

$j\omega C_1-\frac{j}{\omega L-\dfrac{1}{\omega C_2}}=0$

消去 $j$ 並整理：

$\omega^2L-\frac{1}{C_2}=\frac{1}{C_1}$