111 鐵路特考員級 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面機構的自由度（mobility）及機構輸入數目的判定。

對僅含低副的平面機構，使用 Grübler–Kutzbach 公式：

其中：

• $F$：機構自由度
• $n$：活動構件與固定構件的總數
• $J_1$：低副數目，包括轉動副與滑動副
• $J_2$：高副數目

圖中各構件均以轉動副或滑動副連接，因此 $J_2=0$。

解題方法

一、構件數目

依圖將液壓缸的缸筒與活塞桿分別視為構件，並將其間的相對運動視為滑動副。

構件數如下：

1. 機架：固定構件
2. 動臂
3. 鏟斗
4. 鏟斗連桿
5. 搖臂
6. 動臂升降液壓缸缸筒
7. 動臂升降液壓缸活塞桿
8. 鏟斗翻轉液壓缸缸筒
9. 鏟斗翻轉液壓缸活塞桿

因此：

二、低副數目

依圖各低副計算如下：

• 機架與動臂間：1 個轉動副
• 動臂升降液壓缸與機架間：1 個轉動副
• 動臂升降液壓缸缸筒與活塞桿間：1 個滑動副
• 動臂升降液壓缸活塞桿與動臂間：1 個轉動副
• 動臂與鏟斗間：1 個轉動副
• 鏟斗與連桿間：1 個轉動副
• 連桿與搖臂間：1 個轉動副
• 搖臂與動臂間：1 個轉動副
• 鏟斗翻轉液壓缸與動臂間：1 個轉動副

核心觀念

本題考查四連桿機構的葛氏條件（Grashof’s law）及曲柄判定。

四連桿各桿長定義如下：

• 固定連桿：$A_0B_0=2\text{ cm}$
• 連桿 2（輸入桿）：$A_0A=6\text{ cm}$
• 連桿 3（連接桿）：$AB=4\text{ cm}$
• 連桿 4（輸出桿）：$B_0B=10\text{ cm}$

葛氏條件為：

其中：

• $s$：最短連桿
• $l$：最長連桿
• $p,q$：其餘兩根連桿

若符合葛氏條件，至少有一根連桿能相對於機架作完整旋轉；若不符合，則所有活動連桿均只能往復擺動。

解題方法

1. 判斷是否為葛氏機構

四根連桿長度為：

因此：

其餘兩根連桿長度為：

代入葛氏條件：

比較可得：

亦即：

不符合葛氏條件，所以此四連桿機構不是葛氏機構。

2. 判斷連桿 2 是否為曲柄

曲柄的定義是：連桿能相對於機架連續旋轉 $360^\circ$。

本題的機架長度為 $2\text{ cm}$，且正好是最短連桿。若機構符合葛氏條件，最短連桿固定時可形成雙曲柄機構，此時連桿 2 是否為曲柄仍須看連桿 2 是否為最短連桿。

然而本題：

屬於非葛氏四連桿機構。非葛氏機構的特性是沒有任何活動連桿能相對於機架作完整旋轉，因此連桿 2 只能作有限角度的往復擺動，不能連續旋轉一周。

核心觀念

本題考查外嚙合漸開線正齒輪的下列關係：

1. 漸開線齒輪的基圓半徑： $r_b=r\cos\phi$ 其中，$r_b$ 為基圓半徑、$r$ 為節圓半徑、$\phi$ 為壓力角。

2. 外嚙合齒輪的轉速比與齒數成反比： $\frac{n_{小}}{n_{大}}=\frac{z_{大}}{z_{小}}$

3. 齒輪模數： $m=\frac{d}{z}=\frac{2r}{z}$

因為本題兩齒輪的壓力角相同，所以基圓半徑比也等於節圓半徑比：

因此可直接利用基圓半徑求轉速比。

解題方法

設小齒輪與大齒輪分別為小、大。

已知：

一、求轉速比

外嚙合齒輪的轉速比為：

代入數值：

所以：

亦即小齒輪轉速為大齒輪的 $4$ 倍；若以大齒輪對小齒輪表示，則：

二、求大齒輪節圓直徑

先由小齒輪的基圓半徑求其節圓半徑：

因此：

取：

得：

核心觀念

本題考查：

1. 螺旋壓縮彈簧的彈簧指數
2. 由載重與變形量求彈簧常數
3. 串聯、並聯彈簧的等效彈簧常數

一、彈簧指數

彈簧線徑為外徑與內徑之差：

平均線圈直徑為：

彈簧指數定義為平均線圈直徑與線徑之比：

因此，彈簧指數為：

二、彈簧常數

彈簧受力由 $200\text{ N}$ 增至 $320\text{ N}$，力的增量為：

彈簧長度由 $75\text{ mm}$ 壓縮至 $55\text{ mm}$，壓縮變形量為：

依胡克定律：

所以彈簧常數：

換算為 $\text{N/m}$：

因此：

採用力的增量與變形量的增量，是因為題目未給定彈簧自然長度，且可由兩個載重狀態直接求出彈簧常數。

三、三根彈簧組成之系統

由圖二可知：

• 左側兩根彈簧並聯，等效彈簧常數為 $2k$
• 右側一根彈簧與左側並聯組串聯

核心觀念

本題考查行星齒輪系的威利斯公式（Willis equation）。對於太陽齒輪 2、環齒輪 4 與行星臂 5：

其中：

• $\omega_2$：齒輪 2 的角速度
• $\omega_4$：環齒輪 4 的角速度
• $\omega_5$：行星臂 5 的角速度
• $N_2,N_4$：齒輪 2 與環齒輪 4 的齒數

負號表示太陽齒輪與環齒輪為內外嚙合關係。

解題方法

以逆時針為正方向，題目給定：

代入威利斯公式：

因此：