111 鐵路特考員級 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

111 年・鐵路特考・員級・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

如圖所示繞轉軸旋轉之滑輪直徑為 1 m1\text{ m}，轉軸半徑為 250 mm250\text{ mm}，其動摩擦係數為 0.20.2，轉軸支持滑輪之反作用合力 RR 作用在 AA 點：

(一) 求 RR 與 ODOD 連線夾角 θ\theta？（10 分） (二) 求使用滑輪提升 200 kg200\text{ kg} 重物時，所需之水平拖動力 FF 為多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  • 軸承動摩擦與摩擦角
  • 滑輪轉動平衡
  • 軸承摩擦力矩
  • 三力平衡與力的作用線

軸半徑為 r=250 mm=0.25 mr=250\text{ mm}=0.25\text{ m}，滑輪半徑為：

Rp=12=0.5 mR_p=\frac{1}{2}=0.5\text{ m}

動摩擦係數為 μ=0.2\mu=0.2。

依圖中角度標示，θ\theta 為軸承徑向線 OAOA 與反作用力方向（亦與 ODOD 平行）之夾角。

（一）求夾角 θ\theta

軸承的摩擦角 θ\theta 滿足：

tan⁡θ=μ\tan\theta=\mu

因此：

θ=tan⁡−1(0.2)\theta=\tan^{-1}(0.2) θ=11.31∘\boxed{\theta=11.31^\circ}

補充說明：外力 FF 與重物重量 WW 的合力作用線為 ODOD，軸承反作用合力 RR 與之外力合力平衡，因此 RR 的作用方向與 ODOD 平行；圖中的 θ\theta 實際上是摩擦角，即 OAOA 與 RR 方向的夾角。

（二）求水平拖動力 FF

1. 軸承所受徑向合力

外力 FF 與重物重量 WW 互相垂直，因此軸承反作用力大小為：

R=F2+W2R=\sqrt{F^2+W^2}

題目以重力單位表示 200 kg200\text{ kg}，故先以 kgf\text{kgf} 計算：

W=200 kgfW=200\text{ kgf}

軸承摩擦力為：

f=μRf=\mu R

其摩擦力矩為：

Mf=fr=μRrM_f=f r =\mu Rr

2. 取滑輪中心 OO 點力矩

提升重物時，拖動力所產生的力矩，必須克服重物力矩及軸承摩擦力矩：

FRp=WRp+μRrF R_p=W R_p+\mu Rr
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第 二 題20 分

長度 L=1 mL=1\text{ m} 之圓桿置於等長之圓管中，其一端固定不動，另一端則同時受剛性端板軸向力之作用，圓桿直徑 50 mm50\text{ mm}，圓管內徑 60 mm60\text{ mm}，外徑 100 mm100\text{ mm}，桿材之彈性模數（楊氏係數）為 200 GPa200\text{ GPa}，管材之彈性模數為 100 GPa100\text{ GPa}（1 GPa=109 N/m21\text{ GPa}=10^{9}\text{ N/m}^{2}），當軸向力 F=10000 NF=10000\text{ N}：

(一) 求桿及管分別所受之軸向內力？（10 分） (二) 求兩者之變形量（軸向壓縮量）？（10 分）

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核心觀念

本題為圓桿與圓管並聯受壓問題，兩者長度相同，且右端共同接觸剛性端板，因此必須同時滿足：

  1. 端板受力平衡 N桿+N管=FN_{\text{桿}}+N_{\text{管}}=F

  2. 變形相容 兩者端部位移相同，因此軸向壓縮量相等： δ桿=δ管\delta_{\text{桿}}=\delta_{\text{管}}

  3. 軸向變形公式 δ=NLAE\delta=\frac{NL}{AE}

解題方法

設圓桿及圓管所受壓縮內力分別為 N桿N_{\text{桿}}、N管N_{\text{管}}。

1. 計算截面積

圓桿截面積：

A桿=π4(50)2=1963.50 mm2A_{\text{桿}} =\frac{\pi}{4}(50)^2 =1963.50\ \text{mm}^2

圓管截面積：

A管=π4(1002−602)=5026.55 mm2A_{\text{管}} =\frac{\pi}{4}\left(100^2-60^2\right) =5026.55\ \text{mm}^2

2. 利用變形相容條件分配內力

由

N桿LA桿E桿=N管LA管E管\frac{N_{\text{桿}}L}{A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}} = \frac{N_{\text{管}}L}{A_{\text{管}}E_{\text{管}}}

因兩者長度相同，可消去 LL：

N桿A桿E桿=N管A管E管\frac{N_{\text{桿}}}{A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}} = \frac{N_{\text{管}}}{A_{\text{管}}E_{\text{管}}}

因此內力按照軸向剛度 AEAE 分配：

N桿:N管=A桿E桿:A管E管N_{\text{桿}}:N_{\text{管}} = A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}: A_{\text{管}}E_{\text{管}}

以相同單位計算：

A桿E桿∝1963.50(200)=392700A_{\text{桿}}E_{\text{桿}} \propto 1963.50(200)=392700 A管E管∝5026.55(100)=502655A_{\text{管}}E_{\text{管}} \propto 5026.55(100)=502655

所以

N桿=FA桿E桿A桿E桿+A管E管N_{\text{桿}} = F\frac{A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}} {A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}+A_{\text{管}}E_{\text{管}}} N管=FA管E管A桿E桿+A管E管N_{\text{管}} = F\frac{A_{\text{管}}E_{\text{管}}} {A_{\text{桿}}E_{\text{桿}}+A_{\text{管}}E_{\text{管}}}

代入 F=10000 NF=10000\ \text{N}：

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第 三 題20 分

一均勻懸臂樑（cantilever beam），其材料之彈性模數（楊氏係數）為 200 GPa200\text{ GPa}（1 GPa=109 N/m21\text{ GPa}=10^{9}\text{ N/m}^{2}），長度 1 m1\text{ m}，剖面為寬 50 mm50\text{ mm}、高度 50 mm50\text{ mm} 之正方形，一端固定，自由端受橫向力 F=1000 NF=1000\text{ N} 的作用：

(一) 求樑中最大之正向應力？（10 分） (二) 求樑變形在自由端之橫向位移量？（10 分）

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核心觀念

本題考查懸臂樑受自由端集中橫向力時的：

  1. 最大彎矩
  2. 彎曲正向應力
  3. 自由端撓度
  4. 矩形截面的慣性矩

基本公式如下：

Mmax⁡=FLM_{\max}=FL σmax⁡=Mmax⁡cI\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}

其中 cc 為中性軸至最外纖維的距離。

自由端集中力造成的懸臂樑自由端位移為：

δ=FL33EI\delta=\frac{FL^3}{3EI}

截面為寬 bb、高度 hh 的矩形時：

I=bh312I=\frac{bh^3}{12}

已知資料與單位換算

E=200 GPa=200×109 N/m2E=200\text{ GPa}=200\times10^9\text{ N/m}^2 L=1 mL=1\text{ m} F=1000 NF=1000\text{ N} b=h=50 mm=0.05 mb=h=50\text{ mm}=0.05\text{ m}

正方形截面至最外纖維的距離為：

c=h2=0.052=0.025 mc=\frac{h}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025\text{ m}

截面慣性矩：

I=bh312=(0.05)(0.05)312I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.05)(0.05)^3}{12} I=0.05412=5.2083×10−7 m4I=\frac{0.05^4}{12} =5.2083\times10^{-7}\text{ m}^4

解題方法

取懸臂樑固定端作為彎矩最大的位置。自由端所受橫向力 FF 對固定端產生最大彎矩：

Mmax⁡=FLM_{\max}=FL

因此：

Mmax⁡=(1000)(1)=1000 N⋅mM_{\max}=(1000)(1)=1000\text{ N}\cdot\text{m}

由彎曲應力公式：

σmax⁡=Mmax⁡cI\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}

代入數值：

σmax⁡=(1000)(0.025)5.2083×10−7\sigma_{\max} =\frac{(1000)(0.025)} {5.2083\times10^{-7}} σmax⁡=4.8×107 Pa\sigma_{\max}=4.8\times10^7\text{ Pa}

由於 1 MPa=106 Pa1\text{ MPa}=10^6\text{ Pa}：

σmax⁡=48 MPa\boxed{\sigma_{\max}=48\text{ MPa}}

最大正向應力發生於固定端截面的最外纖維，一側為拉應力，另一側為壓應力；兩者大小相同、方向相反。

（一）樑中最大之正向應力

σmax⁡=48 MPa\boxed{\sigma_{\max}=48\text{ MPa}}

最大值位置為固定端截面的上、下緣最外纖維。

（二）自由端橫向位移量

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第 四 題20 分

以彈簧常數 k=105 N/mk=10^{5}\text{ N/m} 的彈簧懸吊質量 m=10 kgm=10\text{ kg} 物體：

(一) 求其簡諧振盪的自然頻率？（10 分） (二) 以簡諧力量作用於質量塊其大小在 100 N100\text{ N} 至 −100 N-100\text{ N} 之間範圍內，激振頻率為 10 Hz10\text{ Hz}，求質量塊上下振動之振幅？（5 分） (三) 以靜力 100 N100\text{ N} 作用在質量塊上，則其偏離平衡位置多少？（5 分）

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核心觀念

本題考查單自由度彈簧—質量系統的：

  1. 自然角頻率與自然頻率。
  2. 無阻尼簡諧受迫振動的穩態振幅。
  3. 靜力作用下的彈簧變形量。

質量懸吊於垂直彈簧時，重力只會造成平衡位置下移；若以平衡位置為位移基準，自然振動公式仍為：

ωn=km\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}

其中 ωn\omega_n 為自然角頻率，單位為 rad/s\text{rad/s}；自然頻率為：

fn=ωn2πf_n=\frac{\omega_n}{2\pi}

（一）自然頻率

已知：

k=105 N/m,m=10 kgk=10^5\ \text{N/m},\qquad m=10\ \text{kg}

自然角頻率為：

ωn=km=10510=104=100 rad/s\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{10^5}{10}} =\sqrt{10^4} =100\ \text{rad/s}

因此自然頻率：

fn=ωn2π=1002π≈15.9 Hzf_n=\frac{\omega_n}{2\pi} =\frac{100}{2\pi} \approx 15.9\ \text{Hz}

（二）簡諧力量作用下的振幅

解題方法

外力大小在 100 N100\text{ N} 至 −100 N-100\text{ N} 之間變化，因此可表示為：

F(t)=F0sin⁡ωtF(t)=F_0\sin\omega t

其中外力振幅為：

F0=100 NF_0=100\ \text{N}

激振頻率為 10 Hz10\text{ Hz}，其激振角頻率為：

ω=2πf=2π(10)=20π≈62.83 rad/s\omega=2\pi f=2\pi(10)=20\pi\approx 62.83\ \text{rad/s}

忽略阻尼時，以平衡位置為基準的運動方程式為：

mx¨+kx=F0sin⁡ωtm\ddot{x}+kx=F_0\sin\omega t

穩態振幅為：

X=F0∣k−mω2∣X=\frac{F_0}{\left|k-m\omega^2\right|}

代入數值：

X=100∣105−10(62.83)2∣X=\frac{100} {\left|10^5-10(62.83)^2\right|}

由於：

ω2=(62.83)2≈3947.84\omega^2=(62.83)^2\approx 3947.84

所以：

mω2=10(3947.84)=39478.4m\omega^2=10(3947.84)=39478.4

因此：

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第 五 題20 分

一個質量 400 kg400\text{ kg} 的物體在無重力之太空中以速度等於 V0=500i (m/s)\mathbf{V}_{0}=500\mathbf{i}\text{ (m/s)} 移動。當某瞬間，此物體自行分裂成為 AA 質量 250 kg250\text{ kg} 及 BB 質量 150 kg150\text{ kg} 兩塊。經過 33 秒，AA 的位置在 rA=2100i+900j−1200k (m)\mathbf{r}_{A}=2100\mathbf{i}+900\mathbf{j}-1200\mathbf{k}\text{ (m)}，速度為 VA=1000i+400j−600k (m/s)\mathbf{V}_{A}=1000\mathbf{i}+400\mathbf{j}-600\mathbf{k}\text{ (m/s)}，求此時 BB 之速度向量及位置向量？（20 分）

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核心觀念

本題考查「無外力作用下的動量守恆」與「等速度直線運動」。

物體在無重力太空中運動，且分裂過程僅涉及物體內部作用力，因此整個系統所受外力合力為零，系統總動量守恆：

mV0=mAVA+mBVBm\mathbf{V}_0=m_A\mathbf{V}_A+m_B\mathbf{V}_B

分裂後兩塊均不受外力，因此各自以固定速度作等速度運動：

r=r0+Vt\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{V}t

分裂瞬間，AA、BB 兩塊位於同一位置。

解題方法

設分裂瞬間為 t=0t=0，經過 33 秒為題目所給時刻。

一、利用動量守恆求 BB 之速度

分裂前總動量為

P0=400(500i)=200000i(kg⋅m/s)\mathbf{P}_0 =400(500\mathbf{i}) =200000\mathbf{i} \quad(\text{kg}\cdot\text{m/s})

AA 在 33 秒後的動量為

PA=mAVA=250(1000i+400j−600k)=250000i+100000j−150000k\begin{aligned} \mathbf{P}_A &=m_A\mathbf{V}_A\\ &=250(1000\mathbf{i}+400\mathbf{j}-600\mathbf{k})\\ &=250000\mathbf{i}+100000\mathbf{j}-150000\mathbf{k} \end{aligned}

由動量守恆：

PB=P0−PA\mathbf{P}_B=\mathbf{P}_0-\mathbf{P}_A

因此

PB=200000i−(250000i+100000j−150000k)=−50000i−100000j+150000k\begin{aligned} \mathbf{P}_B &=200000\mathbf{i} -(250000\mathbf{i}+100000\mathbf{j}-150000\mathbf{k})\\ &=-50000\mathbf{i}-100000\mathbf{j}+150000\mathbf{k} \end{aligned}

由 PB=mBVB\mathbf{P}_B=m_B\mathbf{V}_B，且 mB=150 kgm_B=150\text{ kg}：

VB=PB150=−10003i−20003j+1000k(m/s)\begin{aligned} \mathbf{V}_B &=\frac{\mathbf{P}_B}{150}\\ &=-\frac{1000}{3}\mathbf{i} -\frac{2000}{3}\mathbf{j} +1000\mathbf{k} \end{aligned} \quad(\text{m/s})

故

VB=−333.33i−666.67j+1000k(m/s)\boxed{ \mathbf{V}_B =-333.33\mathbf{i}-666.67\mathbf{j}+1000\mathbf{k} \quad(\text{m/s}) }

二、求分裂瞬間的位置

AA 分裂後作等速度運動，因此

rA=r0+VAt\mathbf{r}_A=\mathbf{r}_0+\mathbf{V}_A t

其中 r0\mathbf{r}_0 為分裂瞬間的位置。代入 t=3 st=3\text{ s}：

r0=rA−VA(3)\mathbf{r}_0=\mathbf{r}_A-\mathbf{V}_A(3)

先計算：

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機械工程《機械力學概要》其他年度

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