110 鐵路特考員級 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

110 年・鐵路特考・員級・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

如圖（1）所示，寬 aa、高 bb 之均質物體 mm 置於水平面上，且於高度 hh 處施加水平推力 FF 而產生滑動。若物體與 ABAB 面間之摩擦係數為 μk=0.2\mu_k=0.2，則：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）若物體 mm 需要維持在 ABAB 面滑動，不致傾倒，試分析該推力 FF 之高度 hh 最高應維持在若干以下？

（二）當 mm 為 10 kg10\ \mathrm{kg}、ab=13\frac{a}{b}=\frac{1}{3} 且 h=b2h=\frac{b}{2} 時，若以 30 N30\ \mathrm{N} 之推力由靜止推動該物體，試問 2 s2\ \mathrm{s} 後該物體滑動之速度為何？

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核心觀念

本題考水平推力造成物體滑動時的平移運動，以及物體是否會繞底部邊緣傾倒。滑動摩擦力為 fk=μkmgf_k=\mu_k mg；比較滑動與傾倒的臨界推力，可求推力高度的限制。物體滑動後，再用牛頓第二運動定律求加速度與速度。

解題方法

（一）題目未給定推力 FF 的數值，因此以「物體剛好開始滑動」作為比較滑動與傾倒的臨界條件。

物體開始滑動所需的推力為

F滑=μkmgF_{\text{滑}}=\mu_k mg

以右側底角為傾倒支點，推力造成的力矩為 FhFh，重量 mgmg 對支點的抗傾倒力矩為 mg(a/2)mg(a/2)。因此，開始傾倒所需的推力為

F倒h=mga2⇒F倒=mga2hF_{\text{倒}}h=mg\frac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad F_{\text{倒}}=\frac{mga}{2h}

要先滑動而不先傾倒，需滿足 F滑≤F倒F_{\text{滑}}\le F_{\text{倒}}：

μkmg≤mga2h⇒h≤a2μk\mu_k mg\le \frac{mga}{2h} \quad\Rightarrow\quad h\le \frac{a}{2\mu_k}

代入 μk=0.2\mu_k=0.2：

hmax⁡=a0.4=2.5ah_{\max}=\frac{a}{0.4}=2.5a
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第 二 題30 分

列車含動力車 AA 重 5050 公噸及車廂 BB、CC 重各 2020 公噸，以車速 90 km/h90\ \mathrm{km/h} 行駛。當瞬間完全切斷動力、並施加煞車於 AA 車減速，列車行至 DD 處完全停止。參考圖（2），若煞車完全煞死時，車輪與軌道間之滑動摩擦係數為常數 μk=0.3\mu_k=0.3，試回答下列問題：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）列車停止所需距離 dd 至少需要多少？

（二）BB、CC 車廂間之作用力為何？

（三）煞車作用 1.5 s1.5\ \mathrm{s} 後，則該列車仍保有多少之動能？煞車平均可消耗功率為何？

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核心觀念

本題考查列車整體的等加速度減速、滑動摩擦力，以及牛頓第二運動定律。煞車完全煞死時，只有動力車 AA 的車輪與軌道間產生滑動摩擦力；車廂 BB、CC 則透過車廂間的作用力一起減速。

取 g=9.8 m/s2g=9.8\ \mathrm{m/s^2}，並將公噸換算為公斤。初速為

v0=90 km/h=25 m/s.v_0=90\ \mathrm{km/h}=25\ \mathrm{m/s}.

解題方法

（一）列車停止所需距離

AA 車所受煞車摩擦力為

Fμ=μkmAg=0.3(50,000)(9.8)=147,000 N.F_\mu=\mu_k m_Ag =0.3(50{,}000)(9.8) =147{,}000\ \mathrm{N}.

全列車質量為 50,000+20,000+20,000=90,000 kg50{,}000+20{,}000+20{,}000=90{,}000\ \mathrm{kg}，因此列車減速度大小為

a=Fμm總=147,00090,000=1.6333 m/s2.a=\frac{F_\mu}{m_{\text{總}}} =\frac{147{,}000}{90{,}000} =1.6333\ \mathrm{m/s^2}.

由等加速度公式 v2=v02−2adv^2=v_0^2-2ad，停止時 v=0v=0，所以

d=v022a=2522(1.6333)≈191.3 m.d=\frac{v_0^2}{2a} =\frac{25^2}{2(1.6333)} \approx191.3\ \mathrm{m}.

（二）BB、CC 車廂間的作用力

CC 車廂沒有直接受到煞車摩擦力；使它減速的水平力來自 BB、CC 間的接觸作用力。對 CC 車廂單獨套用牛頓第二運動定律：

FB→C=mCa=(20,000)(1.6333)≈32,667 N=32.7 kN.F_{B\to C}=m_Ca =(20{,}000)(1.6333) \approx32{,}667\ \mathrm{N} =32.7\ \mathrm{kN}.

這是壓縮作用力：BB 對 CC 的力向左，CC 對 BB 的力向右，兩力大小相等、方向相反。

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第 三 題20 分

質量 0.5 kg0.5\ \mathrm{kg} 之物體 mm 由 AA 處沿軌道 ABCABC 從靜止自由落下，軌道與物體間之摩擦係數為 μk=0.2\mu_k=0.2，如圖（3）所示，則物體 mm：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）到達 BB 處時，其速度為何？

（二）若物體停止於 CC 處，則距坐標 yy 軸之距離 dd 為多少 mm\mathrm{mm}？

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核心觀念

本題使用功與能原理，並在圓弧段以法向運動方程求正向力，才能計算動摩擦力。

圖中圓弧半徑為 r=0.8 mr=0.8\ \mathrm{m}，BB 點位於圓心 OO 下方 30∘30^\circ。物體沿垂直直線段下滑時，重力沒有垂直於軌道的分量，因此正向力為零，該段沒有摩擦力。進入圓弧後，令 α\alpha 為由圓弧起點順時針量下的角度，則 BB 點 α=30∘\alpha=30^\circ，圓弧底端 α=90∘\alpha=90^\circ。

解題方法

取 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}，令 q=v2q=v^2。物體由靜止沿垂直段下降 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，到達圓弧起點時：

q0=2g(1.5)=29.43 m2/s2q_0=2g(1.5)=29.43\ \mathrm{m^2/s^2}

在圓弧上，法向朝圓心。沿法向列式可得：

N−mgsin⁡α=mv2r⇒Nm=qr+gsin⁡αN-mg\sin\alpha=m\frac{v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{N}{m}=\frac{q}{r}+g\sin\alpha

沿切線使用功與能的微分式，並以 ds=r dαds=r\,d\alpha：

12dqds=gcos⁡α−μkNm\frac{1}{2}\frac{dq}{ds}=g\cos\alpha-\mu_k\frac{N}{m}

因此：

dqdα+2μkq=2grcos⁡α−2μkgrsin⁡α\frac{dq}{d\alpha}+2\mu_k q =2gr\cos\alpha-2\mu_k gr\sin\alpha

代入 μk=0.2\mu_k=0.2、r=0.8 mr=0.8\ \mathrm{m}，解得：

q(α)=8.1186cos⁡α+12.4486sin⁡α+21.3114e−0.4αq(\alpha) =8.1186\cos\alpha+12.4486\sin\alpha +21.3114e^{-0.4\alpha}

其中 α\alpha 以弧度表示。

（一）到達 BB 點的速度

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第 四 題30 分

直徑 20 mm20\ \mathrm{mm} 之 L 形圓截面結構用鋼棒 ABCABC 焊接固定於 DD，如圖（4）所示。當 AA 處承受

FA=200i−300j+400k N\mathbf{F}_A=200\mathbf{i}-300\mathbf{j}+400\mathbf{k}\ \mathrm{N}

之集中外力，若需要評估 BB 截面處之應力，則：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試畫出 BB 截面處之自由體圖，並將截面上內力與力矩之方向、大小及坐標標示於自由體圖上（參考圖 4a）。

（二）表面 BzB_z 處之應力值為多少？繪出應力元素並標示所計算之應力值（參考圖 4b）。

（三）依最大剪應力破壞理論，BzB_z 處之安全因素（safety factor）為多少？但答題時必須依照圖（4）之坐標系統。

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核心觀念

在 BB 截面取切面，將 AA 處外力對 BB 點等效為截面內力與內力矩。圓軸在表面 BzB_z 的正應力由軸力與彎矩造成；剪應力由扭矩造成。橫向剪力在圓截面最外表面為零。

以下依圖中座標，取 xx 軸沿直棒、yy 軸向上、zz 軸依圖示方向；AA 相對於 BB 的位置為

rBA=500i+100j mm.\mathbf r_{BA}=500\mathbf i+100\mathbf j\ \mathrm{mm}.

（一）BB 截面自由體圖與內力

將 BB 右側桿段取為自由體。截面上的內力與內力矩，依作用在左側桿段的方向列示如下：

FB=200i−300j+400k N.\mathbf F_B =200\mathbf i-300\mathbf j+400\mathbf k\ \mathrm N.

因此軸力及兩個剪力分量為

Nx=200 N,Vy=−300 N,Vz=400 N.N_x=200\ \mathrm N,\qquad V_y=-300\ \mathrm N,\qquad V_z=400\ \mathrm N.

外力對 BB 點的力矩為

MB=rBA×FA=∣ijk5001000200−300400∣=40,000i−200,000j−170,000kN mm.\begin{aligned} \mathbf M_B &=\mathbf r_{BA}\times\mathbf F_A\\ &= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 500&100&0\\ 200&-300&400 \end{vmatrix}\\ &=40{,}000\mathbf i-200{,}000\mathbf j-170{,}000\mathbf k \quad\mathrm{N\,mm}. \end{aligned}

所以

Tx=40,000 N mm,My=−200,000 N mm,Mz=−170,000 N mm.T_x=40{,}000\ \mathrm{N\,mm},\quad M_y=-200{,}000\ \mathrm{N\,mm},\quad M_z=-170{,}000\ \mathrm{N\,mm}.

作圖時，在截面中心標出 Nx,Vy,VzN_x,V_y,V_z，並分別標出繞 x,y,zx,y,z 軸的 Tx,My,MzT_x,M_y,M_z；各分量方向依上列正負號及圖示座標判定。

（二）BzB_z 處應力

圓棒直徑 d=20 mmd=20\ \mathrm{mm}，截面性質為

A=πd24=314.16 mm2,Iy=Iz=πd464=7853.98 mm4,A=\frac{\pi d^2}{4}=314.16\ \mathrm{mm^2},\qquad I_y=I_z=\frac{\pi d^4}{64}=7853.98\ \mathrm{mm^4}, J=πd432=15,708.0 mm4,c=10 mm.J=\frac{\pi d^4}{32}=15{,}708.0\ \mathrm{mm^4},\qquad c=10\ \mathrm{mm}.

BzB_z 為 z=+c, y=0z=+c,\ y=0 的外表面點。該處軸向正應力由軸力及 MyM_y 造成：

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