109 鐵路特考員級 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

圓形平板以固定鉸點 $O$ 作平面轉動。釋放瞬間角速度 $\omega=0$，因此質心 $G$ 的加速度只有切向分量：

以 $O$ 點取力矩，可直接使用平行軸定理求得的慣性矩 $I_O$：

實心圓形平板的質心慣性矩為 $I_G=\frac12mr^2$。

自由體圖與動力圖

**自由體圖（FBD）：**平板受重力 $mg$ 作用於 $G$，方向鉛直向下；鉸支承 $O$ 對平板的反作用力分量為 $O_x$、$O_y$。

**動力圖（kinetic diagram）：**在 $G$ 點標示質心慣性力項 $m\mathbf a_G$，並標示角加速度慣性力偶 $I_G\alpha$。若對 $O$ 點寫轉動方程，則將兩者合併為 $I_O\alpha$。

解題方法與推導

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。由圖中幾何關係，位置向量為

重力對 $O$ 點造成順時針力矩，因此

又

代入 $\theta=60^\circ$：

負號表示順時針，故角加速度大小為

核心觀念

本題使用功與能原理，並先利用繩長不變求出物體與彈簧端點的位移關係。

物體連接在動滑輪上，由兩段繩子支撐。物體向下移動 $x$ 時，兩段支撐繩各增加 $x$，因此繩子另一端必須向上移動 $2x$。圖中彈簧下端固定，彈簧上端向上移動會使彈簧伸長量增加 $2x$。

解題方法

物體向下移動 $100\ \mathrm{mm}=0.1\ \mathrm{m}$，彈簧伸長量的增加為

初始伸長量為 $s_1=0.05\ \mathrm{m}$，故末端伸長量為

以初始位置為基準套用功與能原理。物體由靜止出發，重力作功轉為動能與彈簧彈性位能的增加：

代入 $m=25\ \mathrm{kg}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$、$k=800\ \mathrm{N/m}$：

核心觀念

固定端截面同時承受彎矩、扭矩與剪力，需分別計算各種內力造成的應力，再在同一方向的應力分量上作代數合成。

取 $x$ 軸沿圓柱由固定端指向自由端，$y$ 軸鉛直向上，$z$ 軸依圖示指向左下。圖中 $A$ 位於截面上緣，$B$ 位於 $+z$ 側的截面邊緣。截面性質為

圓柱沒有軸向力，因此沒有軸向均勻正應力；$A$ 處的正應力來自彎曲。

解題方法

六角板手長度為 $L$，施力點相對圓柱軸線的力臂垂直於 $z$ 軸，作用力為 $-P\mathbf e_y$。因此固定端截面承受：

• 剪力：大小 $P$，方向為 $-y$；
• 彎矩：大小 $PL$，繞 $z$ 軸；
• 扭矩：大小 $PL$，繞 $x$ 軸。

依此座標與截面應力正號慣例，彎曲使 $A$ 點受拉；扭矩在 $A$ 點產生 $-\!z$ 方向剪應力，在 $B$ 點產生 $+\!y$ 方向剪應力。

$A$ 點應力

$A$ 位於 $y=d/2$ 的截面上緣。彎曲正應力為

圓軸扭轉剪應力大小為 $\tau=Tr/J$，在外緣 $r=d/2$，故

$A$ 位於圓截面上緣，剪力造成的橫向剪應力在此處為零。因此 $A$ 點不為零的應力分量只有 $\sigma_x$、$\tau_{xz}$，且 $\tau_{xz}=\tau_{zx}$。

$B$ 點應力

$B$ 位於截面中性軸位置，$y=0$，所以彎曲正應力為零。扭轉剪應力在 $B$ 點為

核心觀念

本題考「受彈簧支承之桿件熱應力」。溫度上升使圓柱自由伸長；兩端彈簧限制其伸長，因而產生壓縮力。題目指出室溫初始軸力不為零，所以先求溫升造成的軸力增量，再與初始軸力疊加。

以下取拉力為正，令室溫初始軸力為 $N_0$。均勻桿件的軸向應變關係為

解題方法

令溫升造成的軸力變化為 $\Delta N$。圓柱長度變化為

軸力改變 $\Delta N$ 時，兩端彈簧的變形量分別為 $\Delta N/k$ 與 $\Delta N/(2k)$。因為拉力會使兩端往外移，桿長度變化與軸力變化的關係為

負號表示軸力增加為拉力時，彈簧所造成的端點相對位移方向與桿件熱伸長的受限變形相反。由相容條件 $\Delta L_{\text{桿}}=\Delta L_{\text{彈簧}}$：

解得溫升造成的軸力增量：