110 年鐵路特考員級機械工程考古題與詳解

Question 1

圖（1）所示為一剪叉式升降平台之機構簡圖，最上方桿件為平台，各英文字母代表桿件間相連接之接頭代號，如 $B$ 為連接桿 2 與桿 3 之接頭。

其中，除接頭 $L$ 、 $P$ 為滑行接頭外，其餘接頭均為旋轉接頭，試求此連桿機構之自由度。

圖（1）：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 平面機構的自由度可用 Grübler–Kutzbach 公式計算： $$ F=3(n-1)-2J1-J2 $$ 其中，$n$ 為構件數（含機架），$J1$ 為低對偶接頭數，$J2$ 為高對偶接頭數。旋轉接頭與滑行接頭都屬於低對偶，各提供一個約束，因此每個低對偶接頭在公式中扣除 $2$。 解題方法 先依圖數構件，再數接頭： - 構件數 $n=10$：機架、升降平台、六根剪叉桿，以及上、下兩個滑塊。滑塊必須各自列為構件，才能表示它們相對平台或機架的滑行運動。

Question 2

圖（2）所示為一偏位滑塊曲柄機構，其曲柄長為 $r2=20$、連接桿長 $r3=50$、偏位量 $e$ 為 $e=5$（單位：cm）。試求： （ㄧ）導出滑塊之行程 $S$ 並計算其值。（10 分） （二）偏位滑塊曲柄機構的最大傳動角與最小傳動角。（10 分） 圖（2）：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 偏位滑塊曲柄機構的滑塊沿水平線運動，曲柄中心 $Ao$ 與滑塊運動線相距偏位量 $e$。設曲柄角為 $	heta2$，連接桿與水平線的夾角為 $\alpha$，滑塊位置為 $x$，則幾何關係為 $$ x=r2\cos	heta2+ \sqrt{r3^2-(e-r2\sin	heta2)^2}. $$ 滑塊行程是滑塊兩個極限位置之差；極限位置發生於曲柄與連接桿共線。 解題方法 （一）滑塊行程 $S$ 曲柄與連接桿共線時，曲柄中心至滑塊銷的距離分別為 $r2+r3$ 與 $r3-r2$。滑塊運動線與曲柄中心相距 $e$，由直角三角形可得兩端位置： $$ x{\max}=\sqrt{(r2+r3)^2-e^2}, \qquad x{\min}=\sqrt{(r3-r2)^2-e^2}. $$ 因此， $$ \begin{aligned} S &=x{\max}-x{\min}\ &=\sqrt{(r2+r3)^2-e^2} -\sqrt{(r3-r2)^2-e^2}. \end{aligned} $$ 代入 $r2=20$ cm、$r3=50$ cm、$e=5$ cm：

Question 3

圖（3）所示為一凸輪機構，其滾子從動件中心點相對於凸輪轉動角 $	heta$（順時針旋轉）運動之極座標表示式為 $$r=0.2\cos	heta+0.3\ 	ext{(m)}$$ 若凸輪以等角速度 $\dot{	heta}=6\ 	ext{(rad/s)}$ 順時針旋轉，試求在 $	heta=30^\circ$ 瞬間： （ㄧ）滾子中心點移動之速度 $v$ 的大小及方向。（10 分） （二）滾子中心點移動之加速度 $a$ 的大小及方向。（10 分） 圖（3）：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 滾子中心點以極座標描述時，速度與加速度分別為 $$ \mathbf v=\dot r\,\mathbf er+r\dot	heta\,\mathbf e	heta $$ $$ \mathbf a=(\ddot r-r\dot	heta^2)\mathbf er +(r\ddot	heta+2\dot r\dot	heta)\mathbf e	heta $$ 其中 $\mathbf er$ 為徑向單位向量，$\mathbf e	heta$ 指向角度增加的方向。本題角度順時針增加，因此 $\dot	heta=+6\ 	ext{rad/s}$；角速度為定值，所以 $\ddot	heta=0$。 解題方法 由 $r=0.2\cos	heta+0.3$ 對時間微分： $$ \dot r=\frac{dr}{d	heta}\dot	heta =-0.2\sin	heta(6) $$ $$ \ddot r=\frac{d^2r}{d	heta^2}\dot	heta^2 =-0.2\cos	heta(6^2) $$ 在 $	heta=30^\circ$ 時， $$ r=0.2\cos30^\circ+0.3=0.4732\ 	ext{m} $$ $$ \dot r=-0.2\sin30^\circ(6)=-0.600\ 	ext{m/s} $$ $$ \ddot r=-0.2\cos30^\circ(36)=-6.235\ 	ext{m/s}^2 $$ （一）速度 $$ \mathbf v=-0.600\,\mathbf er+(0.4732)(6)\,\mathbf e	heta =-0.600\,\mathbf er+2.839\,\mathbf e	heta\ 	ext{m/s} $$

Question 4

圖（4）所示為一複式行星齒輪減速器之機構簡圖。其中，太陽齒輪 2 為輸入，齒輪 4 為環齒輪且為固定，齒輪 3 及齒輪 6 為行星齒輪，桿件 $A$ 及 $C$ 分別為臂桿（或稱為行星架）。臂桿 $A$ 帶動齒輪 5 同軸轉動，臂桿 $C$ 為最後輸出。

若各齒輪之齒數分別為

$T_2=T_5=18,\quad T_3=T_6=28,\quad T_4=74$

試求此減速機構之減速比 $\left(\omega_C/\omega_2\right)$ 。（20 分）

圖（4）：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考複式行星齒輪系的角速度關係。行星齒輪與行星架一起公轉，因此要以行星架作為相對運動的參考系，使用行星齒輪系的相對速度關係： $$ \frac{\omegas-\omegac}{\omegar-\omegac} =-\frac{Tr}{Ts} $$ 其中 $s$ 為太陽齒輪、$r$ 為環齒輪、$c$ 為行星架。負號表示在行星架參考系中，太陽齒輪與行星齒輪為外嚙合。 解題方法 本題分成兩個行星齒輪級依序計算： 1. 第一級由齒輪 2 輸入，齒輪 4 固定，行星架 A 輸出。 2. 行星架 A 帶動齒輪 5 同軸轉動，因此 $\omega5=\omegaA$。第二級由齒輪 5 輸入，齒輪 4 固定，行星架 C 輸出。 對每一級，行星齒輪的齒數不直接決定太陽齒輪至行星架的角速度比；此比值由太陽齒輪與固定環齒輪的齒數決定。 第一級：齒輪 2 至行星架 A 由行星齒輪系相對速度關係： $$ \frac{\omega2-\omegaA}{\omega4-\omegaA} =-\frac{T4}{T2} $$ 齒輪 4 固定，故 $\omega4=0$： $$ \frac{\omega2-\omegaA}{-\omegaA} =-\frac{74}{18} $$ 整理得：

Question 5

請列出並說明五種可做平行軸等角速傳動之機構名稱。（20 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平行軸間的等角速傳動：兩平行軸在傳動過程中，輸入軸與輸出軸的瞬時角速度比保持固定。若要求等角速，則須滿足 $$ \omega1=\omega2 $$ 常見作答機構包括摩擦輪、帶輪、齒輪與鏈輪等傳動方式；列名時應指出其適用條件，例如帶輪須採開口帶傳動，齒輪須為等齒數的一對齒輪。 解題方法 先依傳動元件分類，再挑選能連接平行軸、且輸入與輸出角速度大小相等的機構。作答時可用傳動比判斷：只要主動、從動輪的有效直徑相同，或齒數相同，傳動比即為 $1$；鏈輪則須齒數相同。 五種機構 1. 等直徑摩擦輪傳動：兩輪相互接觸，以摩擦力傳遞運動。兩輪有效直徑相等時，角速度大小相等；傳動方向相反。 2. 開口平帶傳動：兩個等直徑帶輪以開口帶連接，兩軸轉向相同，且角速度大小相等。

110 鐵路特考員級機械工程機械原理概要考古題詳解

第一、題20 分

第二、題20 分

核心觀念

解題方法

第三、題20 分

第四、題20 分

第五、題20 分

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