110 鐵路特考員級 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

110 年・鐵路特考・員級・電力工程
試題代碼 電工機械概要

第 一 題25 分

兩台 300 kVA300\ \mathrm{kVA} 交流發電機並聯運用。第一機之速率—負載曲線為自無載至 300 kW300\ \mathrm{kW} 負載時，其頻率由 60.5 Hz60.5\ \mathrm{Hz} 均勻降至 58.5 Hz58.5\ \mathrm{Hz}；第二機之頻率在同一情形下，由 60.2 Hz60.2\ \mathrm{Hz} 均勻降至 58.3 Hz58.3\ \mathrm{Hz}。

若兩機之總負載為 340 kW340\ \mathrm{kW}，則各機分擔多少負載？最後的頻率為多少？

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核心觀念

兩部同步發電機並聯時，穩態頻率相同；各機的有功負載分擔，取決於各自的「速率—負載曲線」（下垂特性）。本題給定兩機的頻率隨負載線性下降，因此可先寫出各機的負載—頻率關係，再利用共同頻率及總負載條件求解。

第一機由無載至 300 kW300\ \mathrm{kW}，頻率下降 2.0 Hz2.0\ \mathrm{Hz}；第二機同樣由無載至 300 kW300\ \mathrm{kW}，頻率下降 1.9 Hz1.9\ \mathrm{Hz}。兩機負載都以 0 kW0\ \mathrm{kW} 為無載基準。

解題方法

令第一機、第二機的負載分別為 P1P_1、P2P_2，單位為 kW\mathrm{kW}；並聯後的共同頻率為 ff。

第一機每增加 300 kW300\ \mathrm{kW} 負載，頻率下降 2.0 Hz2.0\ \mathrm{Hz}，故其頻率—負載關係為

f=60.5−2.0300P1=60.5−P1150.f=60.5-\frac{2.0}{300}P_1 =60.5-\frac{P_1}{150}.

第二機每增加 300 kW300\ \mathrm{kW} 負載，頻率下降 1.9 Hz1.9\ \mathrm{Hz}，故

f=60.2−1.9300P2.f=60.2-\frac{1.9}{300}P_2.

由於兩機並聯運轉，頻率相同；又總負載為 340 kW340\ \mathrm{kW}，所以

P1+P2=340.P_1+P_2=340.

將兩條頻率曲線相等，並代入 P2=340−P1P_2=340-P_1：

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第 二 題25 分

一台 6 HP6\ \mathrm{HP}、200 V200\ \mathrm{V} 之直流並激電動機，其磁場電路電阻為 200 Ω200\ \Omega，電樞電路之電阻為 0.4 Ω0.4\ \Omega。

當此電動機之電源側輸入額定之 220 V220\ \mathrm{V} 電壓及 4.2 kW4.2\ \mathrm{kW} 的功率時，電動機的轉子機械轉速為 1800 rpm1800\ \mathrm{rpm}。

試問在相同的電壓供應情況下，若電動機的轉軸機械損失可以忽略，而當轉子機械轉速升高為 1820 rpm1820\ \mathrm{rpm} 時，此一電動機的總輸入功率為多少 kW\mathrm{kW}？而在此條件下電動機的操作效率又為多少？

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核心觀念

直流並激電動機的磁場繞組與電樞並聯於電源，因此磁場電流固定為 If=V/RfI_f=V/R_f。忽略機械損失時，轉軸輸出功率等於電磁轉換功率：

Pout=EbIaP_{\text{out}}=E_b I_a

其中反電勢 Eb=V−IaRaE_b=V-I_aR_a。在磁通不變時，直流電動機轉速與反電勢成正比：

n∝Ebn\propto E_b

本題以已知的輸入功率與轉速為基準，先求基準電樞電流和反電勢，再利用轉速比求新反電勢及電樞電流，最後計算總輸入功率與效率。

解題方法

電源電壓為 220 V220\ \mathrm{V}，磁場電阻為 200 Ω200\ \Omega，故磁場電流為

If=220200=1.1 AI_f=\frac{220}{200}=1.1\ \mathrm{A}

在 1800 rpm1800\ \mathrm{rpm} 時，總輸入功率為 4.2 kW4.2\ \mathrm{kW}。並激電動機的總輸入電流包含電樞電流與磁場電流，因此

Iin,1=4200220=19.0909 AI_{\text{in,1}}=\frac{4200}{220}=19.0909\ \mathrm{A} Ia1=Iin,1−If=19.0909−1.1=17.9909 AI_{a1}=I_{\text{in,1}}-I_f =19.0909-1.1 =17.9909\ \mathrm{A}

基準狀態的反電勢為

Eb1=V−Ia1Ra=220−(17.9909)(0.4)=212.8036 VE_{b1}=V-I_{a1}R_a =220-(17.9909)(0.4) =212.8036\ \mathrm{V}

電源電壓與磁場電阻相同，磁場電流及磁通視為不變。由 n∝Ebn\propto E_b，轉速升至 1820 rpm1820\ \mathrm{rpm} 時：

Eb2=Eb1n2n1=212.8036(18201800)=215.1681 VE_{b2}=E_{b1}\frac{n_2}{n_1} =212.8036\left(\frac{1820}{1800}\right) =215.1681\ \mathrm{V}
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第 三 題25 分

一台單相變壓器的額定為 2.0 kVA2.0\ \mathrm{kVA}、200 V/500 V200\ \mathrm{V}/500\ \mathrm{V}。其一次側線圈電阻及漏磁電抗為 0.025+j0.075 p.u.0.025+j0.075\ \mathrm{p.u.}，二次側線圈電阻及漏磁電抗亦為 0.025+j0.075 p.u.0.025+j0.075\ \mathrm{p.u.}。

等效鐵心損失電阻為 30 p.u.30\ \mathrm{p.u.}，且等效磁化電抗為 40 p.u.40\ \mathrm{p.u.}。此變壓器之二次（高壓）側連接了一功率因數 0.80.8 滯後的額定負載。

此時若將其二次側的負載輸出端電壓大小維持於 500 V500\ \mathrm{V}，試求此工作條件下變壓器之工作效率及電壓調整率。

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核心觀念

本題考查變壓器以標麼值計算時的負載端電壓、效率與電壓調整率。一次、二次側阻抗已用各自額定值為基準表示，變壓比的電壓與電流換算因此可直接在標麼值下進行。

效率定義為輸出實功率除以輸入實功率：

η=PoutPout+PCu+PFe\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{Cu}}+P_{\mathrm{Fe}}}

電壓調整率採用負載端電壓為分母：

VR=∣VNL∣−∣VFL∣∣VFL∣×100%\mathrm{VR}=\frac{|V_{\mathrm{NL}}|-|V_{\mathrm{FL}}|}{|V_{\mathrm{FL}}|}\times100\%

其中 VNLV_{\mathrm{NL}} 與 VFLV_{\mathrm{FL}} 分別是空載與滿載時的二次側端電壓。

解題方法

令二次側端電壓為相量參考，題目指定其大小維持 500 V500\ \mathrm{V}，故二次側端電壓標麼值為 V2=1∠0∘V_2=1\angle0^\circ。額定負載的功率因數為 0.80.8 滯後，因此額定電流為

I2=1∠(−cos⁡−10.8)=0.8−j0.6 p.u.I_2=1\angle(-\cos^{-1}0.8)=0.8-j0.6\ \mathrm{p.u.}

一次、二次側串聯阻抗各為 0.025+j0.075 p.u.0.025+j0.075\ \mathrm{p.u.}。以理想變壓器折算至同一側後，總串聯阻抗為

Zeq=0.05+j0.15 p.u.Z_{\mathrm{eq}}=0.05+j0.15\ \mathrm{p.u.}

1. 求輸入電壓與電壓調整率

由負載端向電源端計算，內部感應電壓標麼值為

E=V2+I2ZeqE=V_2+I_2Z_{\mathrm{eq}} I2Zeq=(0.8−j0.6)(0.05+j0.15)=0.13+j0.09I_2Z_{\mathrm{eq}} =(0.8-j0.6)(0.05+j0.15) =0.13+j0.09

因此

E=1.13+j0.09 p.u.,∣E∣=1.132+0.092=1.1336 p.u.E=1.13+j0.09\ \mathrm{p.u.},\qquad |E|=\sqrt{1.13^2+0.09^2}=1.1336\ \mathrm{p.u.}

空載時，勵磁支路與負載端並聯，理想變壓器的二次側空載端電壓等於內部感應電壓。因此，在維持滿載端電壓為額定值的條件下，

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第 四 題25 分

一個三相 Y 接、44 極、208 V208\ \mathrm{V}、15 HP15\ \mathrm{HP}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的感應電動機，等效至定子側的等效電路參數為：

R1=0.210 Ω/相R_1=0.210\ \Omega/\text{相}

R2=0.137 Ω/相R_2=0.137\ \Omega/\text{相}

X1=0.442 Ω/相X_1=0.442\ \Omega/\text{相}

X2=0.442 Ω/相X_2=0.442\ \Omega/\text{相}

Xm=13.2 Ω/相X_m=13.2\ \Omega/\text{相}

試求：

(一) 啟動轉矩。

(二) 最大電磁轉矩及發生最大轉矩時的轉速。

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核心觀念

本題考查感應電動機的啟動轉矩與最大電磁轉矩。轉矩計算採用定子側戴維寧等效電路：

Te=3∣Vth∣2(R2/s)ωs[(Rth+R2/s)2+(Xth+X2)2]T_e=\frac{3|V_{\mathrm{th}}|^2(R_2/s)} {\omega_s\left[(R_{\mathrm{th}}+R_2/s)^2+(X_{\mathrm{th}}+X_2)^2\right]}

其中 ss 為轉差率，ωs\omega_s 為同步角速度。啟動時轉子靜止，s=1s=1；最大轉矩發生時，轉子等效電阻滿足

R2smax⁡=Rth2+(Xth+X2)2\frac{R_2}{s_{\max}}=\sqrt{R_{\mathrm{th}}^2+(X_{\mathrm{th}}+X_2)^2}

解題方法

三相 Y 接時，定子每相電壓為

Vϕ=2083=120.09 VV_\phi=\frac{208}{\sqrt{3}}=120.09\ \mathrm{V}

四極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 電動機的同步轉速與同步角速度為

ns=120fP=120(60)4=1800 rpmn_s=\frac{120f}{P}=\frac{120(60)}{4}=1800\ \mathrm{rpm} ωs=2πns60=188.50 rad/s\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=188.50\ \mathrm{rad/s}

將定子側電路化為戴維寧等效，取轉子支路端點為輸出端：

Vth=VϕjXmR1+j(X1+Xm)V_{\mathrm{th}} =V_\phi\frac{jX_m}{R_1+j(X_1+X_m)} Zth=Rth+jXth=(R1+jX1)∥jXmZ_{\mathrm{th}} =R_{\mathrm{th}}+jX_{\mathrm{th}} =(R_1+jX_1)\parallel jX_m

代入參數，得到

∣Vth∣=116.18 V,Rth=0.1966 Ω,Xth=0.4307 Ω|V_{\mathrm{th}}|=116.18\ \mathrm{V},\qquad R_{\mathrm{th}}=0.1966\ \Omega,\qquad X_{\mathrm{th}}=0.4307\ \Omega

（一）啟動轉矩

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