107 高普考普通考試 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於靜力學與材料力學之基礎題型，主要測驗以下核心觀念與公式：

1. 靜力平衡條件（Static Equilibrium）：平面力系之靜力平衡方程式，特別是對鉸支承點取力矩平衡： $\sum M_A = 0, \quad \sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$
2. 力矩的巴利農定理（Varignon's Theorem）：力的力矩等於其各正交分力對同點力矩之代數和，亦可利用力沿其作用線滑移之性質簡化力矩計算。
3. 二力構件與繩索受力特性：繩索 $DE$ 僅能承受軸向拉力 $T$，受力方向沿著線段 $DE$。
4. 梁構件之內部彎矩（Bending Moment）：截面法（Method of Sections），構件內部任意點之彎矩等於該截面一側所有外力對該截面形心之代數力矩和。

解題方法

1. 幾何尺寸與座標設定

依題意與圖示幾何尺寸：

• 設 $A$ 點為座標原點 $(0, 0)$，鉛直壁面為 $y$ 軸。
• 繩索固定端 $E$ 位於 $A$ 點正上方，座標為 $(0, 300\ \mathrm{mm})$，故鉛直距離 $AE = 300\ \mathrm{mm}$。
• 托架垂直段 $AB$ 自 $A$ 點向下延伸至剛性轉角 $B$，座標為 $(0, -100\ \mathrm{mm})$，故鉛直長度 $AB = 100\ \mathrm{mm}$。
• 托架水平段 $BD$ 自 $B$ 點向右水平延伸，長度 $BD = 400\ \mathrm{mm}$，故端點 $D$ 座標為 $(400\ \mathrm{mm}, -100\ \mathrm{mm})$。
• 集中載重 $P = 500\ \mathrm{N}$ 垂直向下作用於水平段 $BD$ 上之 $C$ 點，距離 $B$ 點為 $a$，故 $C$ 點座標為 $(a, -100\ \mathrm{mm})$。

2. 繩索 $DE$ 之幾何斜率與分力關係

繩索由 $D(400, -100)$ 連接至 $E(0, 300)$：

• 水平跨度：$\Delta x = 400\ \mathrm{mm}$
• 鉛直跨度：$\Delta y = 300 - (-100) = 400\ \mathrm{mm}$
• 繩索與水平線夾角 $\theta$： $\tan\theta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{400}{400} = 1 \implies \theta = 45^\circ$
• 設繩索拉力為 $T$，其水平分力 $T_x$ 與鉛直分力 $T_y$ 為： $T_x = T \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}T, \quad T_y = T \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}T \implies T_x = T_y$

3. 整體結構對 $A$ 點之靜力平衡

$A$ 點為鉸支承，支承反力通過 $A$ 點，對 $A$ 點之合力矩為零（設逆時針為正）：

• 集中載重 $P$ 造成順時針力矩，力臂為水平距離 $a$： $M_{P, A} = -P \cdot a$
• 繩索張力在 $D$ 點對 $A$ 點之力矩： 鉛直分力 $T_y$（向上）之水平力臂為 $400\ \mathrm{mm}$（逆時針）；水平分力 $T_x$（向左）之鉛直力臂為 $100\ \mathrm{mm}$（順時針）： $M_{T, A} = T_y \cdot 400 - T_x \cdot 100$ 因 $T_x = T_y$，故： $M_{T, A} = 400 T_y - 100 T_y = 300 T_y$

核心觀念

本題考查平面圖形之形心（Centroid）積分求法，為工程力學中截面幾何特性的基本題型。 主要運用的定義與公式如下：

1. 面積一次矩與形心坐標定義： $\bar{x} = \frac{Q_y}{A} = \frac{\int x \, dA}{\int dA}$ $\bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{\int \tilde{y} \, dA}{\int dA}$ 其中 $A$ 為陰影面積，$Q_y$ 為對 $y$ 軸之面積一次矩，$Q_x$ 為對 $x$ 軸之面積一次矩，$\tilde{y}$ 為微小元素自身之形心縱坐標。
2. 微小面積元素之選取： 若選取鉛直微小長條（寬度 $dx$），長條的高度為 $y_2 - y_1$，面積為 $dA = (y_2 - y_1) dx$；該直條自身的形心坐標為 $(x, \, \frac{y_1 + y_2}{2})$。

解題方法

步驟一：求解兩曲線之交點坐標（決定積分界限）

聯立直線方程式與拋物線方程式： $y = 2x$ $y = 4\sqrt{x} \quad (\text{即 } y^2 = 16x)$

將直線代入拋物線： $2x = 4\sqrt{x} \implies x = 2\sqrt{x}$ 兩邊平方： $x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0$ 解得：

• $x = 0 \implies y = 0$，交點為原點 $O(0, 0)$。
• $x = 4 \implies y = 8$，交點為頂點 $T(4, 8)$。

在區間 $x \in [0, 4]$ 內，$4\sqrt{x} \ge 2x$，因此上邊界曲線為 $y_2 = 4\sqrt{x}$，下邊界曲線為 $y_1 = 2x$。

步驟二：計算陰影面積 $A$

取鉛直薄條 $dA = (y_2 - y_1) dx = (4\sqrt{x} - 2x) dx$： $A = \int_{0}^{4} (4x^{1/2} - 2x) \, dx$ $A = \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} - x^2 \right]_{0}^{4} = \left( \frac{8}{3} \times 4^{3/2} - 4^2 \right) = \left( \frac{8}{3} \times 8 - 16 \right) = \frac{64}{3} - \frac{48}{3} = \frac{16}{3}$

步驟三：計算形心橫坐標 $\bar{x}$

鉛直微條之形心橫坐標即為 $x$，對 $y$ 軸之面積一次矩 $Q_y$ 為： $Q_y = \int x \, dA = \int_{0}^{4} x (4x^{1/2} - 2x) \, dx = \int_{0}^{4} (4x^{3/2} - 2x^2) \, dx$ $Q_y = \left[ \frac{8}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = \left( \frac{8}{5} \times 32 - \frac{2}{3} \times 64 \right) = \frac{256}{5} - \frac{128}{3}$ 通分計算： $Q_y = \frac{768 - 640}{15} = \frac{128}{15}$

核心觀念

本題屬於靜定梁受外加力系之平衡分析與內力圖繪製，核心考核觀念包含：

1. 剛性支臂之等效力系平移：外伸剛性支臂 $BEF$ 承受外力 $P_f$，將作用在 $F$ 點的集中力簡化並等效傳遞至主梁 $B$ 點時，會產生「等效垂直集中載重」與「等效集中外加彎矩」。
2. 靜力平衡方程式：利用剛體靜力平衡條件 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$ 求得支承反力。
3. 剪力與彎矩之微分關係： $\frac{dV}{dx} = -w(x), \quad \frac{dM}{dx} = V(x)$ 載重、剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）之間的幾何關係為：

• 剪力圖之斜率等於負均布載重強度（$-w$）。
• 剪力圖面積之代數和等於該段之彎矩變化量（$\Delta M = \int V\,dx$）。
• 外加集中載重處，剪力圖產生對應方向與大小之階梯突變（Jump）。
• 外加集中順時針力矩處，依標準材料力學正負號慣例，彎矩圖產生向上之突變數值。

解題方法

1. 圖形尺寸與載重幾何配置： 本題原卷圖形中外伸剛架支臂 $BEF$ 之配置為：自梁上節點 $B$ 垂直向上延伸 $BE = 1\ \mathrm{m}$，再水平向右（朝 $C$ 點方向）延伸 $EF = 1\ \mathrm{m}$，端點 $F$ 承受垂直向下載重 $P_f = 300\ \mathrm{kN}$。
2. 簡化等效載重至主梁 $B$ 點：

• 垂直集中力：$P = 300\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$。
• 順時針外加力矩：$M_B = P_f \times EF = 300\ \mathrm{kN} \times 1\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}\ (\curvearrowright)$。

3. 計算 $A$ 及 $C$ 點反力： 取整體梁 $ABCD$ 為自由體，建立對 $A$ 點之合力矩方程式求出 $R_C$，再由垂直力平衡求出 $R_A$。
4. 分段解析內力函數並繪製 SFD 與 BMD： 依正負號常規（剪力以左上右下為正；彎矩以下側受拉為正），依序計算 $AB$、$BC$、$CD$ 各段之剪力與彎矩關鍵值及轉折點。

詳細解題步驟

(一) 求 $A$ 及 $C$ 支撐點之反力

1. 載重等效化：

• 作用於 $CD$ 段之均布載重 $w = 180\ \mathrm{kN/m}$，長度 $L_{CD} = 4\ \mathrm{m}$： 其等效合力 $W_{CD} = 180\ \mathrm{kN/m} \times 4\ \mathrm{m} = 720\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$，作用點位於 $CD$ 中點，即距 $A$ 點 $3 + 5 + 2 = 10\ \mathrm{m}$ 處（距 $C$ 點向右 $2\ \mathrm{m}$）。
• 剛臂 $BEF$ 於 $B$ 點產生之等效垂直力 $P_B = 300\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$，以及外加順時針彎矩 $M_B = 300\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}\ (\curvearrowright)$。

2. 對 $A$ 點取力矩平衡（以逆時針為正，$\sum M_A = 0$）： $-(300\ \mathrm{kN} \times 3\ \mathrm{m}) - 300\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} + (R_C \times 8\ \mathrm{m}) - (720\ \mathrm{kN} \times 10\ \mathrm{m}) = 0$ $-900 - 300 + 8R_C - 7200 = 0$ $8R_C = 8400 \implies R_C = 1050\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

3. 由垂直力平衡求解 $R_A$（以向上為正，$\sum F_y = 0$）： $R_A + R_C - 300 - 720 = 0$ $R_A + 1050 - 1020 = 0 \implies R_A = -30\ \mathrm{kN}$ 負號代表方向與假設相反，即： $R_A = 30\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$

4. 水平方向平衡（$\sum F_x = 0$）： $H_A = 0$

(二) 繪製此梁 $ABCD$ 之剪力圖及彎矩圖

定義梁左端 $A$ 點為坐標原點 $x = 0$，梁長為 $12\ \mathrm{m}$。

1. 各段內力方程式與關鍵斷面值

• $AB$ 段（$0 < x < 3\ \mathrm{m}$）：

• 剪力：$V(x) = -R_A = -30\ \mathrm{kN}$（水平常數線）。

• 彎矩：$M(x) = -30x$（斜直線）。

• $x = 0$（$A$ 點）：$M(0) = 0$。

• $x = 3^-\ \mathrm{m}$（$B$ 點左側）：$M(3^-) = -30 \times 3 = -90\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$。

• $B$ 點截面（$x = 3\ \mathrm{m}$）：

• 剪力受集中載重 $300\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$ 作用，向下突變： $V(3^+) = -30 - 300 = -330\ \mathrm{kN}$

• 彎矩受集中順時針力矩 $300\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ 作用，向上突變： $M(3^+) = M(3^-) + 300 = -90 + 300 = +210\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$

• $BC$ 段（$3 < x < 8\ \mathrm{m}$）：

• 剪力：$V(x) = -330\ \mathrm{kN}$（水平常數線）。

• 彎矩：$M(x) = 210 - 330(x - 3)$（斜直線，斜率為 $-330\ \mathrm{kN}$）。

• 反曲點（$M = 0$ 處）： $210 - 330(x - 3) = 0 \implies x = 3 + \frac{7}{11} = \frac{40}{11}\ \mathrm{m} \approx 3.64\ \mathrm{m}$

• $x = 8^-\ \mathrm{m}$（$C$ 點左側）：

核心觀念

本題考查材料力學中一次軸向靜不定問題（Statically Indeterminate Axially Loaded Member）​的分析。涉及的核心觀念與公式包括：

1. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equation）： $\sum F_x = 0$ 兩端固定支承提供兩水平反力，但軸向僅有一條獨立靜力平衡方程式，反力無法單由靜力學求得，為一次靜不定系統。

2. 變形諧和條件（Compatibility Condition）： 因兩端 $A$、$C$ 為剛性固定端，全軸總伸長量（變形量）為零： $\Delta L_{AC} = \delta_{AB} + \delta_{BC} = 0$

3. 軸向變形與應力公式（Load-Displacement & Stress Relations）：

• 軸向變形量：$\delta = \frac{F L}{E A}$
• 軸向正應力：$\sigma = \frac{F}{A}$ 其中 $F$ 為桿件內力、$L$ 為長度、$A$ 為橫截面面積（圓形截面 $A = \frac{\pi}{4} d^2$）、$E$ 為材料彈性模數。

解題方法

本題解題切入點採用力法（諧和變形法）​與勁度分配法配合求解：

1. 設定反力與建立平衡式：設兩端支承反力分別為 $R_A$ 與 $R_C$（方向皆向左），與節點 $B$ 外加載重 $P$ 平衡。
2. 利用諧和條件求解未知反力：將兩段軸的軸向變形量以反力表示，由總變形為零之條件解出 $R_A$ 與 $R_C$。
3. 計算各軸應力與節點位移：以求得之內力除以各軸截面積求得應力；節點 $B$ 之位移即為 $AB$ 軸之伸長量（或 $BC$ 軸之縮短量）。

詳細計算步驟

1. 基本幾何與材料性質整理

依題意及原卷圖示，兩端固定，$P=60\ \mathrm{kN}$ 作用於 $B$ 點向右（朝向 $C$ 點）：

• 材料性質： $E = 200\ \mathrm{GPa} = 200 \times 10^3\ \mathrm{MPa} = 2 \times 10^5\ \mathrm{N/mm^2}$
• 軸 $AB$： $L_{AB} = 400\ \mathrm{mm},\quad d_{AB} = 15\ \mathrm{mm}$ $A_{AB} = \frac{\pi}{4} d_{AB}^2 = \frac{\pi}{4} \times (15)^2 = \frac{225\pi}{4}\ \mathrm{mm^2} \approx 176.71\ \mathrm{mm^2}$
• 軸 $BC$： $L_{BC} = 500\ \mathrm{mm},\quad d_{BC} = 30\ \mathrm{mm}$ $A_{BC} = \frac{\pi}{4} d_{BC}^2 = \frac{\pi}{4} \times (30)^2 = 225\pi\ \mathrm{mm^2} \approx 706.86\ \mathrm{mm^2}$ （可知 $A_{BC} = 4 A_{AB}$）

2. 靜力平衡與變形諧和條件

設端點 $A$ 之反力為 $R_A$（向左），端點 $C$ 之反力為 $R_C$（向左）： $\sum F_x = 0 \implies R_A + R_C = P = 60\ \mathrm{kN}$

桿件內部軸力：

• $AB$ 段承受拉力：$F_{AB} = R_A$（張力，Tension）
• $BC$ 段承受壓力：$F_{BC} = R_C$（壓力，Compression）

兩端固定之變形諧和條件為 $B$ 點位移 $\delta_B$ 滿足： $\delta_{AB} = \delta_B = \frac{R_A L_{AB}}{E A_{AB}}$ $|\delta_{BC}| = \delta_B = \frac{R_C L_{BC}}{E A_{BC}}$

由 $\delta_{AB} = |\delta_{BC}|$： $\frac{R_A L_{AB}}{E A_{AB}} = \frac{R_C L_{BC}}{E A_{BC}} \implies \frac{R_A \times 400}{\frac{225\pi}{4}} = \frac{R_C \times 500}{225\pi}$ $\frac{1600 R_A}{225\pi} = \frac{500 R_C}{225\pi} \implies 16 R_A = 5 R_C \implies R_C = 3.2 R_A$

代入靜力平衡式： $R_A + 3.2 R_A = 60\ \mathrm{kN} \implies 4.2 R_A = 60$