107 高普考普通考試 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜力學中平面剛架（托架）之靜力平衡與樑桿件內部彎矩分析，核心觀念涵蓋：

1. 二力構件（繩索）之受力特性：繩索 $DE$ 僅能承受軸向拉力，拉力方向沿著 $D$ 點指向 $E$ 點之連線，可依幾何坡度將拉力正交分解為水平分力 $T_x$ 與垂直分力 $T_y$。
2. 剛體靜力平衡方程式：以整體托架為自由體，取鉸支承 $A$ 點之力矩平衡 $\sum M_A = 0$，以消除未知支承反力 $A_x$ 與 $A_y$。
3. 桿件內部彎矩（Bending Moment）之定義與正負號意義：

• 切片法求截面彎矩：$M_C$ 為集中載重 $P$ 作用點截面之彎矩；$M_B$ 為角隅點截面之彎矩。
• 工程力學中構件承受彎矩之設計準則通常以「彎矩大小（絕對值）」為準。本題題目條件「$B$ 點與 $C$ 點所承受之彎矩均相同」，係指兩截面承受之彎矩絕對值相同（$|M_B| = |M_C|$），即角隅負彎矩與跨度正彎矩強度相等。

解題方法

1. 幾何座標與繩索拉力向量分解

依考卷原圖配置，取鉸支承 $A$ 點為座標原點 $(0, 0)$：

• 垂直壁面沿 $y$ 軸，角隅點 $B$ 位於 $A$ 點正上方，座標為 $(0, 100\ \mathrm{mm})$。
• 繩索固定端 $E$ 位於 $A$ 點正上方，座標為 $(0, 300\ \mathrm{mm})$，故 $E$ 點位於 $B$ 點上方 $300 - 100 = 200\ \mathrm{mm}$ 處。
• 水平桿件 $BD$ 沿水平方向延伸，端點 $D$ 座標為 $(400\ \mathrm{mm}, 100\ \mathrm{mm})$。
• 集中載重 $P = 500\ \mathrm{N}$ 作用於 $C$ 點，座標為 $(a, 100\ \mathrm{mm})$，其中 $0 < a < 400\ \mathrm{mm}$。

繩索 $DE$ 由 $D(400, 100)$ 連接至 $E(0, 300)$，其向量為： $\vec{r}_{DE} = (0 - 400)\hat{i} + (300 - 100)\hat{j} = -400\hat{i} + 200\hat{j}\ (\mathrm{mm})$ 繩索長度： $L_{DE} = \sqrt{(-400)^2 + 200^2} = \sqrt{200000} = 200\sqrt{5}\ \mathrm{mm}$

設繩索 $DE$ 之拉力為 $T$，則作用於 $D$ 點之拉力向量為： $\vec{T} = T\left(-\frac{400}{200\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{200}{200\sqrt{5}}\hat{j}\right) = T\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right)$ 分解為水平與垂直分力： $T_x = \frac{2}{\sqrt{5}}T\quad (\leftarrow),\qquad T_y = \frac{1}{\sqrt{5}}T\quad (\uparrow)$ 兩者關係為： $T_x = 2T_y$

2. 整體托架對 $A$ 點之力矩平衡

以托架 $ABCD$ 整體為自由體，對 $A$ 點取力矩平衡（逆時針為正，$\sum M_A = 0$）：

• 集中載重 $P$ 對 $A$ 點產生順時針力矩：$-P \cdot a$
• 繩索拉力之垂直分力 $T_y$（作用臂為 $400\ \mathrm{mm}$）對 $A$ 點產生逆時針力矩：$+T_y \cdot 400$
• 繩索拉力之水平分力 $T_x$（作用臂為垂直高度 $100\ \mathrm{mm}$）向左拉，對 $A$ 點產生逆時針力矩：$+T_x \cdot 100$

平衡方程式為： $T_y \cdot 400 + T_x \cdot 100 - P \cdot a = 0$ 將 $T_x = 2T_y$ 代入： $400T_y + 100(2T_y) - P \cdot a = 0$ $600T_y = P \cdot a \implies P \cdot a = 600T_y \quad \cdots\cdots\text{(第 1 式)}$

同時，水平方向靜力平衡 $\sum F_x = 0$： $A_x - T_x = 0 \implies A_x = T_x = 2T_y \quad (\rightarrow)$

3. 桿件內部彎矩分析

• $C$ 點彎矩 $M_C$： 取截面 $C$ 右側桿件 $CD$（長度 $400 - a$）為自由體，僅受 $D$ 點向上之剪力 $T_y$（水平力 $T_x$ 沿桿件

核心觀念

本題旨在評量平面任意幾何圖形之面積形心（Centroid）​與面積一次矩（First Moment of Area）​之積分求法：

1. 交點與積分區間：解聯立方程式求得兩曲線相交之界限範圍。
2. 面積積分： $A = \int dA$
3. 形心座標定義： $\bar{x} = \frac{Q_y}{A} = \frac{\int \bar{x}_{el} \, dA}{\int dA}$ $\bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{\int \bar{y}_{el} \, dA}{\int dA}$ 若選取寬度為 $dx$ 之垂直微元條（vertical strip），微元條上下界分別為 $y_{top}(x)$ 與 $y_{bot}(x)$，其幾何特性為：

• 微元面積：$dA = [y_{top}(x) - y_{bot}(x)] \, dx$
• 微元形心座標：$(\bar{x}_{el}, \bar{y}_{el}) = \left( x, \, \frac{y_{top}(x) + y_{bot}(x)}{2} \right)$

解題方法

步驟一：求兩曲線之交點座標以決定積分界限

聯立直線與拋物線方程式： $\begin{cases} y = 2x \\ y = 4\sqrt{x} \end{cases}$ 將兩式相等： $2x = 4\sqrt{x} \implies x = 2\sqrt{x}$ 兩邊平方整理得： $x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$ 解得交點之 $x$ 座標為 $x = 0$ 與 $x = 4$。 代入直線方程式求得對應之 $y$ 座標：

• 當 $x = 0$ 時，$y = 0$，交點為原點 $O(0, 0)$。
• 當 $x = 4$ 時，$y = 8$，交點為 $T(4, 8)$。

在積分區間 $x \in [0, 4]$ 內，$4\sqrt{x} \ge 2x$，因此上方曲線為 $y_{top} = 4\sqrt{x}$，下方直線為 $y_{bot} = 2x$。

步驟二：計算陰影區域面積 $A$

選取垂直微元條，微元面積 $dA = (y_{top} - y_{bot}) \, dx = (4\sqrt{x} - 2x) \, dx$： $A = \int_{0}^{4} (4x^{1/2} - 2x) \, dx$ 進行積分運算： $A = \left[ 4 \times \frac{2}{3}x^{3/2} - x^2 \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} - x^2 \right]_{0}^{4}$ 代入上下限： $A = \left( \frac{8}{3} \times 4^{3/2} - 4^2 \right) = \left( \frac{8}{3} \times 8 - 16 \right) = \frac{64}{3} - \frac{48}{3} = \frac{16}{3}$

步驟三：計算對 $y$ 軸之一次矩 $Q_y$ 與形心 $\bar{x}$

垂直微元條至 $y$ 軸之矩臂為 $\bar{x}_{el} = x$： $Q_y = \int \bar{x}_{el} \, dA = \int_{0}^{4} x (4\sqrt{x} - 2x) \, dx = \int_{0}^{4} (4x^{3/2} - 2x^2) \, dx$ 進行積分運算： $Q_y = \left[ 4 \times \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{8}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{4}$ 代入上下限（其中 $4^{5/2} = 32$）：

核心觀念

1. 平面剛體靜力平衡： 梁處於靜態平衡時，整體結構必須滿足三條獨立平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 等效力系簡化（Equivalent Force-Couple System）： 當外伸支架（Bracket）承受偏心載重時，可將作用於端點的集中載重平移至主梁節點，轉化為「一個通過該點的同向集中力」加上「一個等效外加集中力矩」。
3. 剪力與彎矩之微分關係及圖形特徵： $\frac{dV}{dx} = -w(x), \quad \frac{dM}{dx} = V(x)$

• 向上之集中力造成剪力圖（SFD）向上跳躍；向下之集中力造成剪力圖向下跳躍。
• 順時針外加集中力矩造成彎矩圖（BMD）向上跳躍（$\Delta M = +M_0$）；逆時針外加集中力矩造成彎矩圖向下跳躍。
• 無載重區間之剪力為常數（水平直線），彎矩為一次斜直線。
• 均布載重區間之剪力為一次斜直線，彎矩為二階拋物線。

解題方法

1. 幾何配置與外力等效簡化

依考卷原題圖三之幾何配置，主梁 $ABCD$ 水平放置，以 $A$ 點為坐標原點（$x = 0\ \mathrm{m}$）：

• $A$ 點位於 $x = 0\ \mathrm{m}$（支承點）
• $B$ 點位於 $x = 3\ \mathrm{m}$
• $C$ 點位於 $x = 8\ \mathrm{m}$（支承點，跨度 $L_{AC} = 3 + 5 = 8\ \mathrm{m}$）
• $D$ 點位於 $x = 12\ \mathrm{m}$（自由端，外伸長度 $L_{CD} = 4\ \mathrm{m}$）

支架自 $B$ 點垂直向上延伸 $BE = 1\ \mathrm{m}$，再水平向右延伸 $EF = 1\ \mathrm{m}$，於 $F$ 點承受向下之垂直集中載重 $P_f = 300\ \mathrm{kN}$。 將 $F$ 點之垂直載重等效平移至主梁上的 $B$ 點：

• 等效垂直集中力：$P = 300\ \mathrm{kN}$（向下 $\downarrow$）
• 等效集中力矩：$M_B = P_f \times EF = 300\ \mathrm{kN} \times 1\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{kN\cdot m}$（順時針 $\curvearrowright$）

均布載重 $w = 180\ \mathrm{kN/m}$ 作用於 $CD$ 段（長度 $4\ \mathrm{m}$）：

• 等效集中合力：$W = w \times CD = 180\ \mathrm{kN/m} \times 4\ \mathrm{m} = 720\ \mathrm{kN}$（向下 $\downarrow$）
• 作用位置：作用於 $CD$ 段中央，距 $C$ 點右側 $2\ \mathrm{m}$（即 $x = 10\ \mathrm{m}$ 處）。

2. (一) 求 $A$ 及 $C$ 支撐點之反力

設 $A$ 點垂直反力為 $R_A$（假設向上為正）、$C$ 點垂直反力為 $R_C$（假設向上為正）。全梁無水平向外力作用，水平反力 $R_{Ax} = 0$。

對 $C$ 點取力矩平衡（以逆時針方向為正，$\sum M_C = 0$）： $-R_A \times 8 + P \times (8 - 3) - M_B - W \times 2 = 0$ 代入數值： $-8 R_A + 300 \times 5 - 300 - 720 \times 2 = 0$ $-8 R_A + 1500 - 300 - 1440 = 0$ $-8 R_A - 240 = 0 \implies R_A = -30\ \mathrm{kN}$ 負號表示實際方向與假設相反，即： $R_A = 30\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$

由垂直力平衡條件（$\sum F_y = 0$，向上為正）： $R_A + R_C - P - W = 0$ $-30 + R_C - 300 - 720 = 0 \implies R_C = 1050\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

3. (二) 繪製此梁 $ABCD$ 之剪力圖及彎矩圖

正負號符號定義：

• 剪力 $V$：左側向上、右側向下為正（$+$）。
• 彎矩 $M$：梁下側受拉（凹口向上，微笑形）為正（$+$）。

(1) 各區間內力方程式推導

• $AB$ 段（$0 \le x < 3\ \mathrm{m}$）： $V(x) = R_A = -30\ \mathrm{kN}$ $M(x) = R_A \cdot x = -30x$

• $x = 0$（$A$ 點）：$V_A = -30\ \mathrm{kN}$，$M_A = 0\ \mathrm{kN\cdot m}$

• $x \to 3^-$（$B$ 點左側）：$V(3^-) = -30\ \mathrm{kN}$，$M(3^-) = -30 \times 3 = -90\ \mathrm{kN\cdot m}$

• $B$ 點突變（$x = 3\ \mathrm{m}$）：

• 承受向下集中力 $P = 300\ \mathrm{kN}$，剪力發生向下跳躍： $V(3^+) = V(3^-) - 300 = -30 - 300 = -330\ \mathrm{kN}$

• 承受順時針外加力矩 $M_B = 300\ \mathrm{kN\cdot m}$，彎矩發生向上跳躍： $M(3^+) = M(3^-) + M_B = -90 + 300 = +210\ \mathrm{kN\cdot m}$

• $BC$ 段（$3\ \mathrm{m} < x < 8\ \mathrm{m}$）： 區間內無分布載重： $V(x) = -330\ \mathrm{kN}$ $M(x) = M(3^+) + \int_3^x V \, dx = 210 - 330(x - 3)$

• 反曲點（$M(x) = 0$ 處）： $210 - 330(x - 3) = 0 \implies x - 3 = \frac{7}{11}\ \mathrm{m} \implies x \approx 3.64\ \mathrm{m}$

• $x \to 8^-$（$C$ 點左側）： $V(8^-) = -330\ \mathrm{kN}$

核心觀念

本題為典型的一次軸向靜不定（Statically Indeterminate）結構問題，考核重點如下：

1. 軸向變形公式：等截面均質桿件在軸力 $N$ 作用下之伸長或縮短量為 $\delta = \frac{N L}{E A}$。
2. 變形諧和條件（Compatibility Condition）：兩端固定支承使系統總長度保持不變，即總軸向變形量為零（$\Delta L_{AC} = \Delta L_{AB} + \Delta L_{BC} = 0$）。
3. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equation）：沿軸向之外力與端部反力總和須平衡（$\sum F_x = 0$）。
4. 正應力定義：軸力除以斷面積 $\sigma = \frac{N}{A}$，拉應力取正值、壓應力取負值。

解題方法

依原卷圖示，兩端固定之圓軸 $ABC$ 由直徑 $15\ \mathrm{mm}$ 之 $AB$ 段與直徑 $30\ \mathrm{mm}$ 之 $BC$ 段組成，於階梯斷面處 $B$ 點承受向右之軸向集中載重 $P = 60\ \mathrm{kN}$。因僅有一個軸向靜力平衡方程式，而有兩個未知端反應力（$A$ 端反力 $R_A$ 與 $C$ 端反力 $R_C$），屬於一次外靜不定問題。解題切入點採用變形諧和法（或勁度法）。

步驟一：計算各段之幾何斷面與材料參數

• 彈性模數：$E = 200\ \mathrm{GPa} = 200 \times 10^3\ \mathrm{MPa} = 2 \times 10^5\ \mathrm{N/mm^2}$
• $AB$ 軸（小軸）：
• 長度：$L_{AB} = 400\ \mathrm{mm}$
• 直徑：$d_{AB} = 15\ \mathrm{mm}$
• 截面積：$A_{AB} = \frac{\pi}{4} d_{AB}^2 = \frac{\pi}{4} (15)^2 = \frac{225\pi}{4}\ \mathrm{mm^2} \approx 176.71\ \mathrm{mm^2}$
• $BC$ 軸（大軸）：
• 長度：$L_{BC} = 500\ \mathrm{mm}$
• 直徑：$d_{BC} = 30\ \mathrm{mm}$
• 截面積：$A_{BC} = \frac{\pi}{4} d_{BC}^2 = \frac{\pi}{4} (30)^2 = 225\pi\ \mathrm{mm^2} \approx 706.86\ \mathrm{mm^2}$

步驟二：建立平衡方程式與變形諧和條件

設 $A$ 點反力 $R_A$ 向左（使 $AB$ 受拉），$C$ 點反力 $R_C$ 向左（使 $BC$ 受壓）：

1. 水平靜力平衡方程式： $\sum F_x = 0 \implies P - R_A - R_C = 0 \implies R_A + R_C = 60\ \mathrm{kN} = 60,000\ \mathrm{N}$

2. 各段軸力與變形量：

• 軸 $AB$ 之軸力為拉力：$N_{AB} = R_A$，伸長量為： $\Delta L_{AB} = \frac{N_{AB} L_{AB}}{E A_{AB}} = \frac{R_A \times 400}{E \times \left(\frac{225\pi}{4}\right)} = \frac{1600 R_A}{225\pi E}$
• 軸 $BC$ 之軸力為壓力：$N_{BC} = -R_C$，變形量為： $\Delta L_{BC} = \frac{N_{BC} L_{BC}}{E A_{BC}} = \frac{-R_C \times 500}{E \times 225\pi} = -\frac{500 R_C}{225\pi E}$

3. 變形諧和條件（兩端固定，總伸長量為零）： $\Delta L_{AC} = \Delta L_{AB} + \Delta L_{BC} = 0$ $\frac{1600 R_A}{225\pi E} - \frac{500 R_C}{225\pi E} = 0 \implies 16 R_A = 5 R_C \implies R_C = \frac{16}{5} R_A$

步驟三：求解反力與各軸內力

將 $R_C = \frac{16}{5} R_A$ 代入靜力平衡方程式：