109 高普考普通考試 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

桿件 $AD$、$BC$ 兩端均為鉸接，且不受其他外力，因此各自是二力構件：桿端作用力沿桿件軸線。水平桿 $AB$ 的受力包括兩支斜桿的作用力、向左的水平拉力 $P$，以及中點向下的 $135\ \mathrm{N}$ 重量。

解題方法

設兩支斜桿對 $AB$ 的作用力大小分別為 $F_A$、$F_B$。桿件與鉛直方向夾角為 $30^\circ$，所以每支斜桿作用力的鉛直分量為 $F\cos30^\circ$，水平分量為 $F\sin30^\circ$。

以 $A$ 點取矩。$A$ 點的斜桿作用力與拉力 $P$ 均不產生力矩，故：

因此：

再由鉛直力平衡：

可得：

核心觀念

取左端為 $x=0$，梁全長 $2L$。由圖可知：

• $A$ 點位於 $x=L/2$，$B$ 點位於 $x=3L/2$。
• 分布力在兩端為零、中央 $x=L$ 達最大值 $w_0$，並向下作用。
• 支承反力由平衡方程求得；剪力圖的斜率為 $-w(x)$，彎矩圖的斜率為 $V(x)$。

以下採「左截面向上為正剪力、下凹彎矩為正」的慣例。

解題方法

三角形分布力的合力等於分布圖形面積：

荷重與支承位置左右對稱，因此兩支承反力相等：

令 $t=x/L$。分布力強度為

剪力圖

由左端向右取截面，累加分布力與支承反力，可得

在支承處，剪力因反力向上而跳升：

• $A$ 點：$V_{A^-}=-w_0L/8$，跳升 $R_A=w_0L/2$，故 $V_{A^+}=3w_0L/8$。
• $B$ 點：$V_{B^-}=-3w_0L/8$，跳升 $R_B=w_0L/2$，故 $V_{B^+}=w_0L/8$。

核心觀念

本題考查桁架的節點平衡與桿件軸向變形。桁架桿件視為二力構件，桿力沿桿件軸線；軸向伸長量為

其中 $N$ 為桿件軸力、$L$ 為桿長、$A$ 為斷面積、$E$ 為楊氏係數。

解題方法

取 $A(0,0)$、$B(0,6\,\mathrm{m})$、$C(5,6\,\mathrm{m})$、$D(5,0)$。支承為 $A$ 點鉸支承、$D$ 點滾支承。先以整體平衡求支承反力，再由 $D$ 點節點平衡求 $BD$ 桿力。

整體取逆時針力矩為正，對 $A$ 點取矩：

因此

負號表示 $D$ 點反力向下。由垂直力平衡可得 $A_y=\frac{6}{5}P$，水平力平衡則得 $A_x=P$。

$BD$ 桿長及其方向的幾何比為

在 $D$ 點取垂直方向平衡，令 $F_{BD}$ 以拉力為正：

代入 $D_y=-\frac{6}{5}P$，得

核心觀念

本題考查平面剛架的彎曲變形與轉角。採用小變形、線彈性分析，並依題目只給撓曲剛度 $EI$，計算時只計入彎曲變形，忽略桿件軸向變形。取 $P$ 向右為水平位移正向，逆時針為轉角正向。

解題方法

先由整體平衡求支承反力，再分別求 $AB$、$BC$ 的彎矩與變形。$B$ 點是滾接支承，限制垂直位移，但不限制轉角。

整體平衡得：

令 $x$ 自 $A$ 點沿 $AB$ 向右量。由彎矩與曲率關係，$AB$ 的撓曲方程為

積分並套用支承處垂直位移條件 $v(0)=v(L)=0$：

由 $v(0)=0$ 得 $C_2=0$；再由 $v(L)=0$ 得 $C_1=-\frac{PHL}{6EI}$。因此，$B$ 點轉角為