110 高普考普通考試 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

桁架各桿件視為兩力構件，內力沿桿件軸線作用。以拉力為正、壓力為負，先用整體平衡求支承反力，再利用節點平衡求桿件內力。各桿件斷面積 $2000\ \mathrm{mm^2}$ 對本題求軸力不必使用；若要求應力才需用 $\sigma=N/A$。

解題方法

取 $G$ 為原點，依圖可知 $F$ 在 $G$ 上方 $4\ \mathrm{m}$，$D$、$E$ 分別位於 $G$ 左方 $7\ \mathrm{m}$、$4\ \mathrm{m}$。$F$ 為靠垂直牆的滾支承，只有水平反力 $F_x$；$G$ 為鉸支承，反力為 $G_x、G_y$。

整體取矩，以逆時針為正：

再由整體水平、垂直力平衡：

在 $G$ 點，桿件 $EG$ 的水平與垂直投影均為 $4\ \mathrm{m}$，故其方向為 $45^\circ$。以拉力為正，$G$ 點水平平衡為：

負號表示 $EG$ 為壓力。由 $G$ 點垂直平衡：

核心觀念

本題考查剛性桿的小轉角運動、鋼纜的軸向變形，以及以 $EA/L$ 表示的軸向勁度。剛性桿繞 $A$ 點轉動時，桿上各點的位移與其到 $A$ 點的距離成正比；鋼纜的伸長量則由連接點沿鋼纜方向的位移決定。

解題方法

令剛性桿以順時針方向轉動 $\theta$。由圖可知 $AB=BF=1.5\ \mathrm{m}$，且桿與鉛直方向夾角為 $45^\circ$，因此：

• $C$ 點距 $A$ 點的鉛直高度為 $1.5\ \mathrm{m}$，$G$ 點為 $3\ \mathrm{m}$。
• $C$、$G$ 到左側錨點的水平鋼纜長度分別為 $1.5\ \mathrm{m}$、$3\ \mathrm{m}$。
• $G$ 點到 $A$ 點的水平距離為 $3\ \mathrm{m}$。

小轉角下，$C$、$G$ 點的水平位移分別為 $1.5\theta$、$3\theta$，所以兩條鋼纜伸長量為

鋼纜的軸向勁度為

依 $\Delta=TL/(EA)$，兩條鋼纜的拉力為

核心觀念

本題考「梁的最大絕對彎矩最小化」。集中力之間沒有分布載重，因此彎矩圖在各段呈直線；各段的最大絕對彎矩出現在端點。只要比較集中力作用點 $B$ 與支承點 $C$ 的彎矩，就能求出全梁的最大絕對彎矩。

解題方法

取 $A$ 點為 $x=0$，則 $B$ 點在 $x=1\ \mathrm{m}$，$D$ 點在 $x=2\ \mathrm{m}$，而 $C$ 點在 $x=a$，依圖可知 $1\le a\le2$。

由整梁的力矩平衡，求 $C$ 點反力：

由垂直力平衡：

在 $B$ 點的彎矩為：

由 $C$ 至自由端 $D$ 的懸臂段，$C$ 點彎矩為：

其中負號表示彎矩方向與 $B$ 點彎矩相反。由於各段彎矩線性變化，且 $A$、$D$ 端彎矩為零，全梁最大絕對彎矩為：

核心觀念

最大彎曲應力由彎曲公式決定：

其中 $M$ 為彎矩，$I$ 為中性軸慣性矩，$c$ 為中性軸至最外緣的距離，$S=I/c$ 為斷面模數。三支梁受相同彎矩，因此最大應力與斷面模數成反比。

三支梁的材料、長度與重量均相同，材料密度相同，故其截面積也相同，記為 $A$。

解題方法

分別求出三種斷面的斷面模數，再用共同截面積 $A$ 表示。

（一）正方形，邊長 $a$：

（二）圓形，直徑 $d$：

（三）矩形，寬度 $b$、深度 $h=2b$：