110 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查帶內鉸的靜定梁。內鉸可以傳遞剪力與軸力，但不能傳遞彎矩，因此 $M_C=0$。利用內鉸將梁分成兩段，先求支承反力，再由剪力與彎矩的關係繪圖：

• 剪力圖的斜率為 $-w$；集中力或支承反力會使剪力圖跳升或跳降。
• 彎矩圖的斜率為剪力 $V$；無分布載重的區段彎矩呈直線，有均佈載重的區段彎矩呈拋物線。
• 均佈載重可換算為合力 $W=w\ell$，作用於載重區段的中點。

解題方法

以 $A$ 為 $x=0$，各點位置為 $A=0$、兩個集中力分別在 $2L$、$4L$、$B=6L$、$C=8L$、$D=12L$。均佈載重 $w=P/L$ 作用於 $B$ 至 $D$，總長為 $6L$。

先取右段 $CD$ 作自由體圖。此段均佈載重合力為 $4P$，作用於距 $C$ 處 $2L$ 的位置。以 $C$ 點取矩：

再由垂直力平衡，右段在 $C$ 點受到向上的鉸接力 $2P$；因此左段在 $C$ 點受到向下的力 $2P$。

取左段 $AC$ 作自由體圖。$B$ 至 $C$ 的均佈載重合力為 $2P$，作用位置距 $A$ 為 $7L$。垂直力平衡：

以 $A$ 點取矩：

解得：

兩反力皆為向上。

剪力圖

由左向右依序累計垂直力。$B$ 點反力使剪力向上跳升 $7P$；$B$ 至 $D$ 間剪力以斜率 $-w=-P/L$ 線性變化。$C$ 是內鉸，但沒有外加集中力，因此剪力圖在 $C$ 不跳躍。

示意如下，$B$ 至 $D$ 間為斜直線：

 V
+4P ● B+
 ╲
+2P ● C
 ╲
 0 ────────────────────╲────────
 ╲
−2P ● D−
 A 2L 4L B C D

核心觀念

本題考查平面桁架的零桿判別、節點法及整體平衡。桁架桿件為二力構件，內力沿桿件軸線；以下以拉力為正、壓力為負。

依圖中標示：$a=DE$、$b=BF$、$c=AD$。取座標為 $A(0,0)$、$B(4L,0)$、$C(8L,0)$、$D(0,4L)$、$E(4L,6L)$、$F(8L,4L)$。

解題方法

1. 判定零桿

在 $A$ 點，支承反力 $A_y$ 與桿件 $AD$ 都是鉛直方向，水平方向只有桿件 $AE$，故：

同理，在 $C$ 點，支承反力與桿件 $CF$ 都是鉛直方向，故：

2. 由 $E$ 點求桿件 $a$

$DE$、$EF$ 的斜率幾何相同，長度均為 $\sqrt{20}L$。以拉力為正，$E$ 點平衡式為：

解得：

因此，桿件 $a$ 為壓力 $\sqrt{5}P$。

3. 由 $D$ 點求桿件 $c$

$DB$ 的方向向量為 $(4L,-4L)$，其方向分量為 $(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$。在 $D$ 點列平衡式：

因此，桿件 $c$ 為壓力 $7P$。

4. 求支承反力及桿件 $b$

由整體水平方向平衡：

即 $B_x$ 實際方向為向左 $4P$。

核心觀念

本題檢核的是梁內同一層平行主筋的最小淨間距。以命題當年（民國 110 年）的混凝土結構設計規範為準，梁主筋間的淨距不得小於下列三者的最大值：

其中 $d_b$ 為主筋直徑，$d_{\text{agg}}$ 為粗粒料標稱最大粒徑。現行規範已於民國 112 年修正，並自民國 113 年起生效；本題仍依命題當年的規範判斷。

解題方法

先求閉合肋筋內側可供主筋配置的寬度，再扣除四支主筋所占寬度，將剩餘寬度分成四支鋼筋間的三個淨間距。

保護層 $4\text{ cm}$ 是量至肋筋外側，因此每側還須扣除 D13 肋筋直徑 $1.27\text{ cm}$。肋筋內側寬度為：

四支 D25 主筋所占寬度為：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁的剪力設計，以及閉合箍筋的有效剪力鋼筋面積。依民國 110 年《混凝土結構設計規範》，設計剪力強度須滿足

一般剪力設計取 $\phi=0.75$。混凝土剪力強度採

垂直箍筋的剪力強度為

其中 $A_v$ 是間距 $s$ 內箍筋兩肢的總截面積。題目給定淨保護層與鋼筋直徑，須先求箍筋中心線所圍束的寬度，才能據以檢核箍筋最大間距。

解題方法

1. 求箍筋中心線所圍束的寬度

梁寬 $b=30\ \mathrm{cm}$，兩側淨保護層各為 $4\ \mathrm{cm}$，箍筋直徑為 $1.27\ \mathrm{cm}$。箍筋中心線間的水平距離為

閉合矩形箍筋有兩個垂直肢穿越剪力裂縫，因此

2. 計算混凝土剪力強度

3. 由剪力強度求間距上限

所需名義剪力強度為

因此所需箍筋承擔的剪力為