112 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查桁架節點法與零力桿件判定。

零力桿件是指在「目前載重、支承及理想桁架假設」下，軸力為零的桿件。常用判斷原則如下：

1. 節點無外力、無支承反力，且僅連接兩根不共線桿件時，兩桿均為零力桿件。
2. 節點受外力，若某方向僅有一根桿件提供平衡力，且外力在該方向沒有分量，則該桿件為零力桿件。

桁架桿件僅承受軸向拉力或壓力，節點須滿足：

解題方法與零力桿件判定

桁架各節點位置為：

• $A、B、C$ 位於下弦
• $F、E、D$ 位於上弦
• $AF、BE、CD$ 為垂直桿
• $AE、EC$ 為斜桿

1. 判定 $AF$

在 $F$ 點，外力 $P_1=9\ \mathrm{kN}$ 為水平方向，連接桿件為 $AF$ 與 $FE$。

由 $F$ 點之垂直方向平衡：

因 $F$ 點沒有垂直外力，且 $FE$ 為水平桿，垂直方向只有 $AF$ 可提供作用力，因此：

所以 $AF$ 為零力桿件。

2. 判定 $ED$ 與 $CD$

在 $D$ 點沒有外力，也沒有支承反力，且僅連接兩根不共線桿件 $ED$ 與 $CD$。

依零力桿件判定原則：

因此 $ED$ 與 $CD$ 均為零力桿件。

3. 其餘桿件不為零力桿件

為確認零力桿件範圍，可先求支承反力。取 $A$ 點力矩：

再由垂直力平衡：

由水平力平衡：

支承反力及外力均須由其他桿件傳遞，因此 $AB、BC、BE、AE、EC、FE$ 均承受非零軸力。其軸力結果如下，可作為驗算：

核心觀念

本題使用共軛梁法與疊加法：

• 真實梁彎矩圖的縱 ordinates 除以 $EI$，可視為共軛梁的荷載。
• 真實梁某截面的撓度，等於共軛梁同一截面的彎矩。
• 端彎矩作用下，簡支梁的彎矩圖為三角形。
• 兩端彎矩可利用疊加原理分成兩個「單端受彎矩」的荷載情況。

（一）共軛梁法

取 $x$ 自左支承 $A$ 起算，$0\le x\le L$。

1. 真實梁彎矩圖

由支承反力平衡，真實梁內力彎矩呈線性分布，大小為

因此共軛梁荷載為

此為左端最大、右端為零的三角形荷載，令

則三角形荷載總量為

其合力作用位置距離 $A$ 為 $L/3$。

2. 共軛梁支承反力

共軛梁同樣為簡支梁。由力矩平衡，

所以

3. 求共軛梁中點彎矩

在 $x=L/2$ 處，左側三角形荷載為

共軛梁中點彎矩為

代入 $R_A^*=q_0L/3$：

且

故

由共軛梁法，真實梁中點撓度大小為

公式次方說明

題目影像所列為

核心觀念

本題考查單筋矩形梁受彎設計的鋼筋比上下限：最大鋼筋比控制梁的延性，最小鋼筋比避免配筋不足造成突然破壞。以命題當年（民國 112 年）適用的《混凝土結構設計規範》（110 年版）為準；112 年版《建築物混凝土結構設計規範》自民國 113 年 1 月 1 日起生效，已屬後續修訂版本。

鋼筋比定義為

其中 $A_s$ 為受拉鋼筋面積，$b$ 為梁寬，$d$ 為有效深度。

解題方法

最大鋼筋比：以受拉鋼筋應變下限控制

命題當年規範以極限狀態下最外側受拉鋼筋應變至少達 $0.004$，作為梁的延性控制條件。依平截面假設，混凝土極限壓應變取 $0.003$，則中性軸深度 $c$ 與有效深度 $d$ 的比例為

等值矩形應力塊深度為 $a=\beta_1c$。由截面內力平衡，混凝土壓力等於鋼筋拉力：

代入 $a=\beta_1(3d/7)$，並以 $\rho_{\max}=A_{s,\max}/(bd)$ 表示：

其中 $\beta_1$ 為等值矩形壓力塊係數，依規範隨 $f'_c$ 決定。此上限使梁在混凝土壓碎前，受拉鋼筋已有足夠應變與變形能力，能提供延性及破壞前的警示。

核心觀念

平衡鋼筋比 $\rho_b$ 是單筋矩形梁達到平衡破壞時的拉力鋼筋面積與混凝土有效受拉面積之比：

平衡狀態下，混凝土壓力合力與鋼筋拉力相等，且拉力鋼筋恰好達到降伏應變 $\varepsilon_y=f_y/E_s$。依矩形應力塊，混凝土壓力合力為 $0.85f'_cba$，其中 $a=\beta_1c$；鋼筋拉力為 $A_{s,b}f_y$。

解題方法

採用平衡應變條件先求中性軸深度，再由截面力平衡求平衡鋼筋比。

取鋼筋彈性模數 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，混凝土極限壓應變 $\varepsilon_{cu}=0.003$。由應變相似：

因此：

題給 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，依矩形應力塊係數規定，$\beta_1=0.85$，故：