112 高普考普通考試 土木工程 測量學概要 考古題詳解

112 年・高普考・普通考試・土木工程
試題代碼 測量學概要

第 一 題25 分

臺灣現行於地籍測量所採用的坐標系統主要仍為 TWD67 與 TWD97，請說明這兩種坐標系統在架構上的主要差異？同一地點若同時具備 TWD67 與 TWD97 的投影坐標，請問兩種坐標值在 EE、NN 方向大概各相差了多少？

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核心觀念

本題考查大地基準與平面投影坐標系統的差異。臺灣的 TWD67、TWD97 都常以二度分帶橫麥卡托投影表示平面坐標；主要差異在於兩者所依據的地球基準、橢球體與控制網架構不同。

  • TWD67：以埔里虎子山一等三角點為起算基準，採用早期地面三角測量建立控制網，使用 International 1924 橢球體。
  • TWD97：以衛星定位測量建立的國家坐標系統，採用地心大地基準及 GRS80 橢球體，控制網與全球地心參考架構相連。

因此，兩者雖可使用相同的投影方式，坐標值仍會因大地基準與橢球體不同而有顯著差異。

解題方法

先區分「大地基準」與「地圖投影」：橫麥卡托投影是將地球位置換算為平面坐標的方法；TWD67、TWD97 則使用不同的基準與控制網。題目問的是同一地點在兩系統下的投影坐標差，因此回答差值的方向與量級即可，不必用投影公式重新計算。

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第 二 題25 分

利用全測站進行下圖之導線測量，所獲得各角之觀測數據分別為：

∠A=89∘57′39′′\angle A=89^\circ57'39''、∠B=90∘7′52′′\angle B=90^\circ7'52''、∠C=89∘53′23′′\angle C=89^\circ53'23''、∠D=90∘0′58′′\angle D=90^\circ0'58''。

此外，各邊長的觀測數據分別為：

AB=100.035 mAB=100.035\ \mathrm{m}、BC=129.812 mBC=129.812\ \mathrm{m}、CD=100.242 mCD=100.242\ \mathrm{m}、DA=129.861 mDA=129.861\ \mathrm{m}。

請分別計算下列問題：

（一）本導線之折角閉合差為何？（5 分）

（二）本導線之位置閉合差為何？（15 分）

（三）本導線之閉合比數為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查閉合導線的：

  1. 折角閉合差：觀測內角總和與理論值之差。
  2. 位置閉合差：各邊經緯距代數和所形成的坐標閉合誤差。
  3. 閉合比數：導線總長與位置閉合差的比值。

四邊形內角理論總和為：

(n−2)×180∘=(4−2)×180∘=360∘(n-2)\times 180^\circ=(4-2)\times180^\circ=360^\circ

（一）折角閉合差

觀測角總和為：

∑θ=89∘57′39′′+90∘07′52′′+89∘53′23′′+90∘00′58′′=359∘59′52′′\begin{aligned} \sum\theta &=89^\circ57'39''+90^\circ07'52''\\ &\quad+89^\circ53'23''+90^\circ00'58''\\ &=359^\circ59'52'' \end{aligned}

因此折角閉合差：

fθ=∑θ−360∘=359∘59′52′′−360∘=−8′′f_\theta=\sum\theta-360^\circ =359^\circ59'52''-360^\circ =-8''

故其大小為 8′′8''，表示觀測角總和比理論值少 8′′8''。

（二）位置閉合差

依圖取導線方向為 A→B→C→D→AA\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A，令 ABAB 方位角為 0∘0^\circ。各邊左轉角為：

δ=180∘−θ\delta=180^\circ-\theta

所得各邊方位角如下：

邊方位角
ABAB0∘00′00′′0^\circ00'00''
BCBC270∘07′52′′270^\circ07'52''
CDCD180∘01′15′′180^\circ01'15''
DADA90∘02′13′′90^\circ02'13''

經緯距公式為：

ΔE=Lsin⁡α\Delta E=L\sin\alpha ΔN=Lcos⁡α\Delta N=L\cos\alpha

其中 α\alpha 為方位角。

各邊經緯距

邊ΔE\Delta E（m）ΔN\Delta N（m）
ABAB0.0000.000+100.035+100.035
BCBC−129.812cos⁡7′52′′-129.812\cos7'52''−129.812sin⁡7′52′′-129.812\sin7'52''
CDCD−100.242sin⁡1′15′′-100.242\sin1'15''−100.242cos⁡1′15′′-100.242\cos1'15''
DADA+129.861cos⁡2′13′′+129.861\cos2'13''−129.861sin⁡2′13′′-129.861\sin2'13''

計算得：

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第 三 題25 分

如圖，已知一灌溉埤塘之等深線分布，等深線間隔為 55 公尺，最深點之深度為 −20-20 公尺。各等深線包括之面積如下表：

等深線（m）面積（m2\mathrm{m}^2）
00420420
−5-5270270
−10-10150150
−15-156767
−18-183737
−20-201717

試問：

（一）以辛普森公式（稜柱體法）和梯形公式（平均斷面法）計算該埤塘的總蓄水量。（15 分）

（二）該埤塘的取水口位於深度 −18-18 公尺，此深度以下非有效蓄水量，以梯形公式（平均斷面法）計算該埤塘的有效蓄水量。（10 分）

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核心觀念

本題利用不同深度等深線所包圍的水平面積，計算埤塘蓄水量。

相鄰等深線間的水體，可視為由兩個水平斷面所夾成的體積：

  • 梯形公式（平均斷面法）：
V=h2(Ai+Ai+1)V=\frac{h}{2}(A_i+A_{i+1})
  • 辛普森公式（稜柱體法）：
V=h3(A0+An+4∑A奇數+2∑A偶數)V=\frac{h}{3}\left(A_0+A_n+4\sum A_{\text{奇數}}+2\sum A_{\text{偶數}}\right)

其中 AA 為各深度等深線所包圍的面積，hh 為等深線間距。

本題深度 00 至 −20-20 公尺之間，每隔 55 公尺的面積可供辛普森公式使用；深度 −18-18 公尺則用於計算有效蓄水量。

解題方法

（一）總蓄水量

1. 辛普森公式（稜柱體法）

取深度 0、−5、−10、−15、−200、-5、-10、-15、-20 公尺，間距為：

h=5 mh=5\text{ m}

各面積為：

A0=420,A1=270,A2=150,A3=67,A4=17A_0=420,\quad A_1=270,\quad A_2=150,\quad A_3=67,\quad A_4=17

套用辛普森公式：

VS=53[A0+A4+4(A1+A3)+2A2]V_S=\frac{5}{3} \left[ A_0+A_4+4(A_1+A_3)+2A_2 \right] VS=53[420+17+4(270+67)+2(150)]V_S=\frac{5}{3} \left[ 420+17+4(270+67)+2(150) \right] VS=53(420+17+1348+300)V_S=\frac{5}{3}(420+17+1348+300) VS=53(2085)=3475 m3V_S=\frac{5}{3}(2085) =3475\text{ m}^3

因此，以辛普森公式計算：

VS=3475 m3\boxed{V_S=3475\text{ m}^3}

2. 梯形公式（平均斷面法）

分段計算各相鄰等深線間的體積：

深度 00 至 −5-5 公尺

V0∼−5=52(420+270)=1725 m3V_{0\sim -5} =\frac{5}{2}(420+270) =1725\text{ m}^3

深度 −5-5 至 −10-10 公尺

V−5∼−10=52(270+150)=1050 m3V_{-5\sim -10} =\frac{5}{2}(270+150) =1050\text{ m}^3

深度 −10-10 至 −15-15 公尺

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第 四 題25 分

利用 GNSS 技術進行快速且高精度的定位已相當成熟，請分別繪圖說明即時動態定位（Real Time Kinematic, RTK）及 e-GNSS 的定位原理及架構，並請說明相較於 RTK，e-GNSS 主要有哪些優點？

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核心觀念

本題考查兩種即時載波相位差分定位的基準資料來源、資料傳輸方式與作業架構：

  • 傳統 RTK：以一部設在已知點上的實體基準站，搭配一部移動站同步觀測衛星；基準站將觀測資料或改正數即時傳給移動站。
  • e-GNSS：以多部實體基準站組成連續運作的基準站網，由控制中心估計區域性誤差，並依移動站位置產生虛擬參考站（VRS）資料，再透過行動網路提供移動站定位。

兩者皆利用基準端與移動端的同步 GNSS 觀測，以差分方式消除兩端共同的衛星軌道、衛星鐘差及大部分大氣延遲等誤差，並以載波相位觀測值解算整數模糊度，取得公分級定位成果。

載波相位差分的概念可簡寫為：

基準站觀測值+基準站已知坐標⟶差分改正資訊⟶移動站解算坐標\text{基準站觀測值}+\text{基準站已知坐標} \longrightarrow \text{差分改正資訊} \longrightarrow \text{移動站解算坐標}

解題方法

作答時依序說明兩種方法的「觀測端—資料鏈路—解算端」，再比較 e-GNSS 相較於傳統 RTK 的作業優勢。圖中要呈現基準站與移動站如何取得及傳送資料，並指出 e-GNSS 的核心在於多站網路與虛擬參考站。

一、傳統 RTK 的定位原理及架構

基準站架設於已知坐標點，與移動站同步接收相同衛星訊號。基準站利用已知坐標與觀測值計算差分改正資訊，經無線電或其他通訊鏈路傳送給移動站。移動站結合自身觀測值及基準站資料，進行即時載波相位差分解算。

 GNSS 衛星
 ↙ ↘
 同步觀測值 ↙ ↘ 同步觀測值
 ↓ ↓
 實體基準站（已知點） 移動站（待測點）
 │ ↑
 └─改正資料───┘
 無線電／資料鏈路
 ↓
 載波相位差分、整數模糊度解算
 ↓
 移動站即時坐標

若以同一衛星的基準站及移動站觀測值作單差，再對兩顆衛星的單差作雙差，可削弱接收機鐘差與衛星鐘差的影響。RTK 的效果仰賴兩站同時觀測相同衛星，且基準站到移動站的距離不宜過長，因為距離增加時，大氣等誤差的空間相關性會降低，整數模糊度固定也較困難。

二、e-GNSS 的定位原理及架構

e-GNSS 是以多部固定 GNSS 基準站構成的網路型 RTK 系統。各基準站持續觀測衛星，將資料傳至控制中心；控制中心利用網內多站資料估計區域性衛星軌道、電離層及對流層等誤差。移動站透過行動網路連線，傳送概略位置資訊；系統依其位置建立鄰近的虛擬參考站，產生等效於該虛擬站的觀測資料或改正資訊，回傳給移動站進行 RTK 解算。

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