111 高普考普通考試 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 水準測量閉合差（Closure Error of Leveling）： 在往返水準測量中，往測高程差與返測高程差理論上數值相等、符號相反（$\Delta h_{\text{往}} = -\Delta h_{\text{返}}$）。往返測高程閉合差 $w$ 定義為環線閉合之代數和： $w = \sum \Delta h = \Delta h_{\text{往}} + \Delta h_{\text{返}}$ 亦即由 BM1 出發經 BM2 再返回 BM1 所累積之高程閉合差。

2. 閉合差容許值與精度表示式： 依工程測量及水準測量規範慣例，閉合差常以 $a\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$ 表示，其中 $K$ 為測線起訖點間之單程水準路線長（以公里 $\mathrm{km}$ 計）。當往測與返測之路線長度略有不同時，取其算術平均值： $K = \frac{K_{\text{往}} + K_{\text{返}}}{2}$ 由閉合差數值與路線長，可反求係數 $a$： $a = \frac{|w|}{\sqrt{K}}$

3. 高程差最概然值（平均值）： 水準測量觀測值之權（Weight, $P$）與路線長度成反比（$P \propto \frac{1}{L}$）。當往返測路線長度差異甚小（本題僅差 $0.04\text{ km}$）時，可直接取反向後數值之算術平均值；若以加權平均法計算，結果亦同。解題時須特別注意題目所求之方向性（起點至訖點）。

解題方法

1. 計算往返測閉合差

步驟一：計算閉合差絕對數值

• 往測（BM1 $\to$ BM2）：$\Delta h_{\text{往}} = +12.404\text{ m}$
• 返測（BM2 $\to$ BM1）：$\Delta h_{\text{返}} = -12.382\text{ m}$

閉合差 $w$ 為： $w = \Delta h_{\text{往}} + \Delta h_{\text{返}} = (+12.404) + (-12.382) = +0.022\text{ m} = +22\text{ mm}$ （閉合差大小為 $22\text{ mm}$）。

步驟二：求算單程水準路線長 $K$ 依測量規範，單程測線長取往返長度之平均值： $K = \frac{K_{\text{往}} + K_{\text{返}}}{2} = \frac{2.56 + 2.60}{2} = 2.58\text{ km}$

步驟三：計算係數 $a$ 並表示閉合差 $\sqrt{K} = \sqrt{2.58} \approx 1.60624$ 將閉合差以 $a\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$ 表示： $a = \frac{22}{\sqrt{2.58}} \approx \frac{22}{1.60624} \approx 13.6966$ 題目要求計算至小數點以下 1 位，四捨五入得 $a = 13.7$。

故往返測閉合差表示為 $13.7\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$（或附帶正號記為 $+13.7\ \mathrm{mm}\sqrt{K}$）。

2. 計算 BM2 到 BM1 高程差平均值

步驟一：統一觀測值方向至「BM2 到 BM1」 題目指定求「BM2 到 BM1」之高程差：

• 返測觀測值即為 BM2 到 BM1： $\Delta h_{\text{返}} = -12.382\text{ m}$
• 往測觀測值為 BM1 到 BM2（$+12.404\text{ m}$），反向推得 BM2 到 BM1 為：

核心觀念

平面坐標轉換是測量學與地理資訊系統（GIS）中，將圖形或點位由「來源坐標系 $(x, y)$」轉換至「目標坐標系 $(X, Y)$」的基本數學工具。其核心在於幾何變換中的自由度（Degrees of Freedom）控制，涵蓋四種基本幾何變更行為：

1. 平移（Translation）：改變原點位置（2個參數：$\Delta X, \Delta Y$）。
2. 旋轉（Rotation）：改變坐標軸方向（1個參數：旋轉角 $\theta$）。
3. 等比例縮放（Uniform Scale）：維持圖形長寬比相同之放大或縮小（1個尺度參數：$s$）。
4. 非等比例縮放與剪切歪斜（Differential Scale & Non-orthogonality / Shear）：各軸伸縮率不同（$s_x \neq s_y$）以及坐標軸夾角偏離 $90^\circ$（非正交剪切角 $\alpha$）。

解算各轉換模型時，每個二維已知公共點（控制點）可列出 2 個獨立方程式（$X$ 與 $Y$ 各 1 式），因此解算 $N$ 個未知參數至少需要 $\lceil N/2 \rceil$ 個公共點。若已知點數超過最低需求，則需藉由最小二乘法（Least Squares Method）進行平差求解。

解題方法

針對題意要求之三種坐標轉換，依公式推導、參數意義及實務應用時機逐一說明：

1. 平面三參數正交轉換（Orthogonal / Rigid Body Transformation，又稱剛體轉換）

• 幾何特性：幾何形狀、角度及長度完全不變（尺度 $s = 1$），僅涉及剛體的平面剛性移動與轉動。
• 參數個數與意義：共 3 個參數。
• 平移參數：$\Delta X, \Delta Y$（2 個）
• 旋轉參數：旋轉角 $\theta$（1 個）
• 數學公式： 矩陣形式： $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \end{bmatrix}$ 代數展開形式： $X = x\cos\theta - y\sin\theta + \Delta X$ $Y = x\sin\theta + y\cos\theta + \Delta Y$
• 解算條件：至少需 2 個公共點（提供 4 個方程式，可解 3 個未知數並有 1 個多餘觀測）。
• 應用時機實例：
• 結構物剛體位移監測或機械設備精密安裝定位：當監測對象（如剛構橋樑箱梁段、高鐵預鑄節塊或機具基座）自身形變極小可視為剛體，工程師需將物體本體坐標系轉換至現場施工坐標系以分析整體位移與轉角時，嚴格限制長度不能被任意縮放。

2. 四參數相似轉換（Similarity / Helmert Transformation，又稱赫爾默特轉換）

• 幾何特性：保持幾何角度不變（保角轉換 Conformal），各方向尺度縮放比例均勻相同（$s_x = s_y = s$），圖形大小可變但形狀保持相似。
• 參數個數與意義：共 4 個參數。
• 平移參數：$\Delta X, \Delta Y$（2 個）
• 旋轉參數：旋轉角 $\theta$（1 個）
• 均勻尺度參數：$s$（1 個）
• 數學公式： 標準矩陣形式： $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \end{bmatrix}$ 實務常令 $a = s\cos\theta$、$b = s\sin\theta$ 轉化為線性方程： $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \end{bmatrix}$ 代數展開形式： $X = ax - by + \Delta X$ $Y = bx + ay + \Delta Y$
• 解算條件：至少需 2 個公共點（提供 4 個方程式，恰可唯一解出 4 個參數）。
• 應用時機實例：

核心觀念

本題旨在評量細部測量中「偏心測量（Offset Surveying）」的原理與實務計算能力，核心概念涵蓋：

1. 雙距偏心測量（Distance-Distance Offset Method）之定義：當待定點（如建築物角點、樹木中心、深坑設施）因物理障礙無法直接架設反射稜鏡，或儀器無法直接瞄準量距時，於待定點附近設置兩個可通視且可直接量測的輔助偏心點，藉由量測兩輔助點至待定點之水平距離，進而推算待定點位置的作業方法。
2. 距離交會法（Distance Intersection）原理：利用已知基線長度與兩條交會邊長構成之三角形，應用「三角形餘弦定理（Law of Cosines）」解算夾角。
3. 坐標正算（Coordinate Forward Computation）：利用已知點坐標、邊長及邊方位角，推求待定點之平面直角坐標（$X, Y$ 或 $E, N$）。

解題方法

本題為申論與計算步驟題，解題結構依題目三個子問依序開展：

一、何謂雙距偏心測量？

雙距偏心測量係指在導線或細部點測量中，當目標點（待定點 $P$）無法直接擺設儀器或放置稜鏡（例如牆角、柱心、障礙物遮蔽處）時，於待定點附近平坦通視處選定兩處輔助偏心點（$A$ 點與 $B$ 點），利用全測站儀測得 $A$、$B$ 兩點之坐標後，再分別量測 $A$ 至 $P$ 及 $B$ 至 $P$ 的兩段水平距離，藉由「距離交會」幾何原理推求待定點 $P$ 平面坐標之偏心測量方法。

二、以此法求待定點坐標時，需要哪些觀測量？

欲精確推算待定點平面坐標，外業作業必須取得以下觀測量：

1. 輔助偏心點之定位觀測量：

• 測站點至輔助點 $A$ 之水平角（或方位角）與水平距離。
• 測站點至輔助點 $B$ 之水平角（或方位角）與水平距離。 （註：若直接使用全測站儀坐標測量模式，則為 $A$ 點與 $B$ 點之平面坐標 $(X_A, Y_A)$ 及 $(X_B, Y_B)$）。

2. 偏心距觀測量：

• 輔助點 $A$ 至待定點 $P$ 之水平距離 $d_A$（即線段長度 $\overline{AP}$）。
• 輔助點 $B$ 至待定點 $P$ 之水平距離 $d_B$（即線段長度 $\overline{BP}$）。

3. 相對幾何關係判別量（定性觀測）：

• 記錄待定點 $P$ 位於基線 $\vec{AB}$ 前進方向的左側或右側（因兩圓距離交會具有對稱雙解，必須由外業觀測記錄消除多值性）。

三、應用此法計算待定點坐標之步驟與推導

設平面直角坐標系統中，$X$ 軸為縱軸（北向），$Y$ 軸為橫軸（東向）。輔助點 $A(X_A, Y_A)$ 與 $B(X_B, Y_B)$ 坐標為已知，量得 $d_A = \overline{AP}$、$d_B = \overline{BP}$。

 P (待定點)
 / \
 dA / \ dB
 / α \
 A-------B
 D_AB (已知基線)

步驟 1：計算輔助點基線長度與方位角

• 基線長度 $D_{AB}$： $D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}$
• 基線方位角 $\phi_{AB}$： $\phi_{AB} = \arctan\left(\frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\right)$ （依 $\Delta X$、$\Delta Y$ 之正負號轉換至 $0^\circ \sim 360^\circ$ 之全圓方位角）

步驟 2：利用餘弦定理計算頂角 $\alpha = \angle BAP$ 在 $\triangle ABP$ 中，三邊長 $D_{AB}$、$d_A$、$d_B$ 均為已知，依餘弦定理： $d_B^2 = d_A^2 + D_{AB}^2 - 2 \cdot d_A \cdot D_{AB} \cdot \cos\alpha$ 移項可得頂角 $\alpha$： $\cos\alpha = \frac{d_A^2 + D_{AB}^2 - d_B^2}{2 \cdot d_A \cdot D_{AB}}$ $\alpha = \arccos\left(\frac{d_A^2 + D_{AB}^2 - d_B^2}{2 \cdot d_A \cdot D_{AB}}\right)$

步驟 3：計算測線 $AP$ 之方位角 $\phi_{AP}$ 根據外業所記錄待定點 $P$ 相對於基線向量 $\vec{AB}$ 之方位關係：

核心觀念

本題考查誤差傳播與協方差、相關係數。由圖可知，$a$ 是兩個矩形的總寬，$d$ 是矩形 $F$ 的寬，$c$ 是 $F$ 的高，$b$ 是 $E$ 高出 $F$ 的部分，因此：

對互不相關的觀測量，使用一階誤差傳播公式：

兩個函數的協方差則為：

解題方法

已知各觀測量的標準差為：

先對面積函數分別求偏導數：

因此，$E$ 面積的變異數為：