111 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查桁架的節點平衡與支承反力。桁架節點皆為樞接，構件只承受軸力；對整體桁架及個別節點分別套用平面力系平衡式：

以下以構件受拉為正；計算結果為正表示受拉，為負表示受壓。圖中斜桿的水平、垂直投影均為 $1.5\text{ m}$，所以斜桿與水平線成 $45^\circ$，其方向分量各為構件軸力的 $1/\sqrt{2}$。

解題方法與計算

（一）支承垂直反力

取向上為正，整體桁架的垂直力平衡為：

以 $A$ 點取矩，逆時針為正。圖中 $A$ 至 $D$ 的水平距離為 $6\text{ m}$，集中力 $4\text{ kN}$ 作用於距 $A$ 點 $3\text{ m}$ 處，$2\text{ kN}$ 作用於 $E$ 點，距 $A$ 點 $6\text{ m}$；$G$ 點的荷重作用線通過 $A$，力矩為零：

代回垂直力平衡式：

因此，$A$ 點與 $D$ 點的垂直反力均向上。由於外力皆為垂直力，水平反力為 $A_x=0$。

（二）構件 $FE$、$FC$、$BC$ 內力

先由 $D$ 點節點求出相鄰構件內力。以拉力為正，$CD$ 為 $D$ 點斜桿，$ED$ 為垂直桿：

所以 $ED$ 受壓 $4\text{ kN}$。

核心觀念與解題方法

本題考查剛架的整體平衡，以及依構件局部座標求剪力、彎矩。先把整個剛架視為一個自由體，求支承反力；再分別取 $BC$ 與 $AB$ 構件自由體，求接頭內力與各構件的剪力、彎矩。

取逆時針力矩為正。$AB$ 與水平線夾角為 $60^\circ$，且 $A$ 到 $B$ 的水平投影為 $3\,\text{m}$，因此

$BC$ 長 $5\,\text{m}$，其均佈載重合力為

作用於距 $B$ 點 $2.5\,\text{m}$ 處。

（一）支承垂直反力

$A$ 為滾接支承，只有垂直反力 $A_y$；$C$ 為鉸支承，有水平反力 $C_x$ 與垂直反力 $C_y$。整個剛架沒有外加水平力，因此

以 $A$ 點取矩，$C$ 與 $A$ 的水平距離為 $3+5=8\,\text{m}$；均佈載重合力距 $A$ 為 $3+2.5=5.5\,\text{m}$：

再由垂直力平衡：

（二）$AB$ 與 $BC$ 的剪力圖、彎矩圖

以下以構件由左往右為座標方向，取左段自由體上的正剪力向上、正彎矩為逆時針。$AB$ 則依構件方向 $A\to B$ 取局部座標；其局部正剪力方向為構件左側法線方向。

構件 $BC$

先取 $BC$ 構件自由體。$C$ 點對構件的反力向上 $13.75\,\text{kN}$。由垂直力平衡，$B$ 點對 $BC$ 的垂直力為

以 $B$ 點取矩，求 $B$ 點作用於 $BC$ 的端矩：

負號表示此端矩為順時針，大小為 $18.75\,\text{kN}\cdot\text{m}$。

令 $x$ 為距 $B$ 點的距離，$0\le x\le5\,\text{m}$。在距 $B$ 點 $x$ 的截面取左段自由體，可得

核心觀念

本題評量單筋矩形梁在彎矩作用下之**極限強度設計法（USD）**分析，依據命題當年（民國 111 年）適用之「混凝土結構設計規範」（以內政部頒布之極限設計法與應變控制設計為準）。

1. 基本假定與惠特尼（Whitney）等值矩形應力塊：

• 混凝土極限壓應變取 $\epsilon_u = 0.003$。
• 混凝土抗壓應力分佈以寬度 $b$、深度 $a$、大小為 $0.85f'_c$ 之等值矩形塊表示。
• 應力塊深度 $a$ 與中性軸深度 $c$ 之關係為 $a = \beta_1 c$。當 $f'_c \le 280\ \text{kgf/cm}^2$ 時，$\beta_1 = 0.85$。

2. 斷面內力平衡：

• 混凝土壓力：$C_c = 0.85 f'_c a b$
• 鋼筋拉力：$T = A_s f_s$（若鋼筋降伏則 $f_s = f_y$）
• 由水平力平衡 $C_c = T$ 解得等值應力塊深度 $a$。

3. 應變相容與強度折減係數 $\phi$：

• 最外層拉力鋼筋應變 $\epsilon_t = \epsilon_u \left(\frac{d - c}{c}\right)$。
• 當 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時，斷面屬於拉力控制斷面（Tension-controlled section），強度折減係數 $\phi = 0.90$。

4. 設計彎矩強度：

• 標稱彎矩強度：$M_n = A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right)$
• 設計彎矩強度：$\phi M_n = \phi \cdot M_n$

解題方法

步驟一：材料參數與等值應力塊參數確認

• 梁寬 $b = 25\ \text{cm}$
• 有效深度 $d = 50\ \text{cm}$
• 拉力鋼筋量 $A_s = 14\ \text{cm}^2$
• 混凝土規定抗壓強度 $f'_c = 280\ \text{kgf/cm}^2$
• 鋼筋規定降伏強度 $f_y = 4200\ \text{kgf/cm}^2$
• 鋼筋彈性模數 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \text{kgf/cm}^2$（鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} \approx 0.00206$）

因 $f'_c = 280\ \text{kgf/cm}^2 \le 280\ \text{kgf/cm}^2$，取： $\beta_1 = 0.85$

步驟二：假定拉力鋼筋降伏，求等值應力塊深度 $a$

假定受拉鋼筋達降伏（$f_s = f_y$）： 混凝土總壓力 $C_c = 0.85 f'_c a b$ 鋼筋總拉力 $T = A_s f_y = 14 \times 4200 = 58,800\ \text{kgf}$

由斷面軸向力平衡條件 $C_c = T$： $0.85 f'_c a b = A_s f_y$ $0.85 \times 280 \times a \times 25 = 58,800$ $5,950 \times a = 58,800$ $a = \frac{58,800}{5,950} \approx 9.882\ \text{cm}$

中性軸深度 $c$ 為： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{9.882}{0.85} \approx 11.626\ \text{cm}$

步驟三：檢核拉力鋼筋應變 $\epsilon_t$ 與確定折減係數 $\phi$

由線性應變分佈檢核最外層拉力鋼筋應變 $\epsilon_t$： $\epsilon_t = \epsilon_u \left(\frac{d - c}{c}\right) = 0.003 \times \left(\frac{50 - 11.626}{11.626}\right) = 0.003 \times 3.3007 \approx 0.00990$

檢核結果：

1. $\epsilon_t = 0.00990 > \epsilon_y \approx 0.00206$，拉力鋼筋確定降伏，原假設成立。
2. $\epsilon_t = 0.00990 \ge 0.005$，斷面屬於拉力控制斷面，具極佳之延展性。
3. 強度折減係數： $\phi = 0.90$

步驟四：檢核最小鋼筋量 $A_{s,\min}$

規範規定梁之最小鋼筋量為： $A_{s,\min} = \max\left(\frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d,\ \frac{14}{f_y} b d\right)$

• $\frac{0.8\sqrt{280}}{4200} \times 25 \times 50 = \frac{0.8 \times 16.733}{4200} \times 1250 \approx 3.98\ \text{cm}^2$

核心觀念

本題以命題當年（民國 111 年）內政部頒布之《混凝土結構設計規範》（以及結構混凝土設計規範）為準。

鋼筋混凝土梁承受剪力時，係以「桁架模式（Truss Analogy）」進行力學傳遞：剪力鋼筋（垂直或傾角箍筋）作為承受拉力的「垂直拉桿」，而斜裂縫間的混凝土則作為承受壓力的「斜向壓桿（Concrete Struts）」。剪力強度主要由混凝土提供之剪力強度 $V_c$ 與剪力鋼筋提供之剪力強度 $V_s$ 共同承擔。

規範限制 $V_s$ 之上限值，其核心在於防止構件發生「無預警的脆性斜壓破壞（腹部壓碎，Web Crushing）」，確保構件破壞前具備足夠延性，並兼顧施工性與使用性。

解題方法

本題為標準的規範申論題，答題架構應分為三大部分逐層論述：

1. 剪力鋼筋提供之剪力計算強度 $V_s$ 上限值

依據《混凝土結構設計規範》，剪力鋼筋之計算剪力強度 $V_s$ 不得大於下列上限值：

• 公制單位（$f'_c$ 單位為 $\text{kgf/cm}^2$）： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d$

• SI 制單位（$f'_c$ 單位為 $\text{MPa}$）： $V_{s,\max} = 0.66\sqrt{f'_c} b_w d$ （或寫作 $\frac{2}{3}\sqrt{f'_c} b_w d$）

其中：

• $f'_c$：混凝土規定抗壓強度。
• $b_w$：梁腹寬度。
• $d$：梁之有效深度。

2. 訂定此上限值之目的

規範限制 $V_s \le V_{s,\max}$，主要基於下列三項工程與力學考量：

1. 防止混凝土斜壓桿發生脆性壓碎破壞（Web Crushing） 在桁架模型中，若配置過多的剪力鋼筋（$V_s$ 過大），剪力鋼筋的拉力容量將遠大於混凝土斜向壓桿之抗壓容量。在剪力鋼筋尚未降伏前，斜裂縫間之混凝土斜壓桿會因受過大之主壓應力而先被壓碎，導致構件發生突發性、無徵兆的脆性破壞。訂定上限可確保斜向壓桿不致過載，維持結構安全。

2. 控制剪力裂縫寬度與維護使用性（Serviceability） 過高的剪力應力狀態下，即使內部鋼筋尚未破壞，混凝土梁腹在正常使用載重下亦會產生過寬的斜向裂縫。這不僅有損外觀，還會導致水分與有害物質侵入、加速鋼筋銹蝕，降低構件的耐久性。

3. 避免鋼筋過度擁擠以確保施工品質（Congestion & Constructability） 若允許 $V_s$ 無限制增加，設計者勢必透過過密排列箍筋（過小間距）或增加多肢箍筋來符合計算需求。這將導致鋼筋嚴重擁擠，阻礙粗骨材通過，澆置時容易產生蜂窩、空洞等施工缺陷，反而實質降低混凝土強度與握裹力。

3. 設計時若 $V_s$ 超過上限值之處置方式

當斷面之剪力需求計算出 $V_s > V_{s,\max}$ 時，代表該斷面「無法僅靠增加剪力鋼筋（增密箍筋）」來解決剪力不足之問題。設計者應採取以下處置步驟：

1. 加大構件斷面尺寸（首選處置） 增大梁腹寬度 $b_w$ 或增加有效深度 $d$。由於混凝土剪力容量 $V_c$ 及上限值 $V_{s,\max}$ 皆與斷面尺寸 $b_w d$ 成正比，擴大斷面尺寸可有效降低混凝土主壓應力，使重新計算後的 $V_s$ 降至上限值以內