111 高普考普通考試 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查複合斷面的形心與形心軸慣性矩。先以各矩形的面積與形心位置求整體形心：

$\bar y=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$

再用平行軸定理求通過整體形心的 $x'$ 軸慣性矩：

$I_{x'}=\sum\left(I_{x_c,i}+A_i(y_i-\bar y)^2\right)$

其中 $I_{x_c,i}$ 是各矩形對自身水平形心軸的慣性矩，矩形公式為 $I_{x_c}=\frac{bh^3}{12}$。

解題方法

以底板下緣為 $y=0$。圖示的 $8\ \mathrm m$ 是上翼板下緣至底板下緣的高度；底板厚 $2\ \mathrm m$，因此側板高度為 $8-2=6\ \mathrm m$。將斷面分成上翼板、左右側板及下翼板：

總面積為

$A=20+12+24=56\ \mathrm{m^2}$

故整體形心高度為

接著求各部分對 $x'$ 軸的慣性矩。各矩形的自身形心軸慣性矩與形心距離為：

核心觀念

本題考查平面桁架的節點法與支承反力。理想桁架中，桿件只承受軸力；各節點可視為受力平衡的質點，分別列：

$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$

計算時先假設未知桿力皆為拉力；算得正值表示拉力，負值表示壓力。由圖中幾何尺寸，斜桿的水平、垂直投影為 $4\ \mathrm{m}$、$3\ \mathrm{m}$，因此長度為 $5\ \mathrm{m}$，方向比例為 $4/5$、$3/5$。

解題方法

從只含兩根未知桿力的節點 $C$ 開始，再依序解 $B$、$D$，最後由節點 $A$ 求支承反力。圖中支承 $A$ 為鉸支承，反力分量為 $A_x、A_y$；$E$ 處的支承反力由節點 $E$ 平衡決定。

1. 節點 $C$：求 $BC$

令桿力以拉力為正。節點 $C$ 有桿件 $BC、CD$，並受向下 $15\ \mathrm{kN}$：

$\sum F_y=0:\quad -\frac{3}{5}F_{BC}-15=0$

$F_{BC}=-25\ \mathrm{kN}$

所以 $BC$ 為 $25\ \mathrm{kN}$ 壓力。

再由水平方向平衡：

$\sum F_x=0:\quad -F_{CD}-\frac{4}{5}F_{BC}=0$

代入 $F_{BC}=-25\ \mathrm{kN}$，得 $F_{CD}=20\ \mathrm{kN}$，為拉力。

2. 節點 $B$：求 $BD、AB$

節點 $B$ 受向右 $20\ \mathrm{kN}$，且桿件 $BC$ 已知：

$\sum F_y=0:\quad F_{BD}+\frac{3}{5}F_{BC}=0$

$F_{BD}=15\ \mathrm{kN}$

所以 $BD$ 為 $15\ \mathrm{kN}$ 拉力。

水平方向：

$\sum F_x=0:\quad -F_{AB}+\frac{4}{5}F_{BC}+20=0$

代入 $F_{BC}=-25\ \mathrm{kN}$：

$F_{AB}=0$

核心觀念

本題考查簡支梁的支承反力、剪力與彎矩函數，以及剪力圖和彎矩圖的關係：

• 剪力等於截面一側外力的代數和；集中力或支承反力會使剪力圖產生跳躍。
• 彎矩等於截面一側外力對截面的力矩代數和；集中力不會使彎矩圖跳躍。
• 均佈載重使剪力沿梁長線性變化，彎矩則呈二次曲線；且 $\frac{dM}{dx}=V$。

取向上力為正，並以正彎矩代表下凹彎曲。令 $x$ 自 A 點向右量，單位為 m。

解題方法

全長均佈載重為 $5\ \mathrm{kN/m}$，總力為 $50\ \mathrm{kN}$，作用於距 A 點 $5\ \mathrm{m}$ 處。由整體平衡：

再由鉛直力平衡：

在各段取截面，對截面左側列外力平衡，可得剪力函數：

其中 $x=3$ 的集中力使剪力向下跳 $30\ \mathrm{kN}$；$x=8$ 的支承反力使剪力向上跳 $42.5\ \mathrm{kN}$。主要剪力值為：

彎矩函數由截面左側外力對截面取矩：

各段端點與重要位置的彎矩為：

剪力圖與彎矩圖

核心觀念

1. 平面應力之廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law for Plane Stress）： 在均質等向性（homogeneous and isotropic）材料之雙軸平面應力狀態（$\sigma_z = 0, \tau_{xy} = 0$）下，應力與應變關係為： $\varepsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu \sigma_y)$ $\varepsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu \sigma_x)$ $\varepsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$ 其中 $E$ 為彈性模數（Modulus of Elasticity），$\nu$ 為柏松比（Poisson's Ratio）。

2. 面內最大剪應變（In-plane Maximum Shear Strain）： 當剪應力 $\tau_{xy} = 0$ 時，$x$ 軸與 $y$ 軸即為主應力方向，其對應的垂直應變 $\varepsilon_x$ 與 $\varepsilon_y$ 即為面內主應變（$\varepsilon_1, \varepsilon_2$）。 由應變莫爾圓（Mohr's Circle for Strain），面內最大工程剪應變 $\gamma_{\max}$ 等於面內兩主應變之差： $\gamma_{\max} = |\varepsilon_1 - \varepsilon_2| = |\varepsilon_x - \varepsilon_y|$

解題方法

（一）求解板的彈性模數 $E$ 及柏松比 $\nu$

1. 列出廣義虎克定律關係式： 已知雙軸應力 $\sigma_x = 31\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_y = 17\ \mathrm{MPa}$，對應應變 $\varepsilon_x = 240\times 10^{-6}$、$\varepsilon_y = 85\times 10^{-6}$。 $240\times 10^{-6} = \frac{1}{E}(31 - 17\nu) \quad \implies \quad E(240\times 10^{-6}) = 31 - 17\nu \quad \cdots\ (1)$ $85\times 10^{-6} = \frac{1}{E}(17 - 31\nu) \quad \implies \quad E(85\times 10^{-6}) = 17 - 31\nu \quad \cdots\ (2)$

2. 聯立求解柏松比 $\nu$： 將式 $(1)$ 除以式 $(2)$ 以消去 $E$： $\frac{240\times 10^{-6}}{85\times 10^{-6}} = \frac{31 - 17\nu}{17 - 31\nu}$ 化簡分數比值 $\frac{240}{85} = \frac{48}{17}$： $48(17 - 31\nu) = 17(31 - 17\nu)$ $816 - 1488\nu = 527 - 289\nu$ $816 - 527 = (1488 - 289)\nu$ $289 = 1199\nu \quad \implies \quad \nu = \frac{289}{1199} \approx 0.241$

3. 求解彈性模數 $E$： 將 $\nu = \frac{289}{1199}$ 代回式 $(1)$： $E = \frac{31 - 17\left(\frac{289}{1199}\right)}{240\times 10^{-6}} = \frac{\frac{37169 - 4913}{1199}}{240\times 10^{-6}} = \frac{32256}{1199 \times 240\times 10^{-6}} = \frac{134400}{1199}\ \mathrm{MPa} \approx 112093.4\ \mathrm{MPa}$ 換算為常見單位： $E \approx 112.1\ \mathrm{GPa} \quad (\text{或 } 1.121\times 10^5\ \mathrm{MPa})$

（二）求解鋼板的面內最大剪應變 $\gamma_{\max}$