108 高普考普通考試 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考複合面積的形心與面積慣性矩。依圖中斜線範圍，面積由左側直角三角形、中央梯形及右側矩形組成；以圖示水平線為 $x$ 軸，計算各部分對 $x$ 軸的一次矩與二次矩。

解題方法

將斜線面積分成三部分：

中央梯形分成一個 $3\times6$ 矩形與一個底、高皆為 $3$ m 的直角三角形：

• 矩形：$A=18$，形心高度為 $3$ m，故 $Q_x=18(3)=54$，$I_x=\frac{3(6)^3}{3}=216$。
• 上方三角形：$A=4.5$，形心高度為 $6+3/3=7$ m，故 $Q_x=4.5(7)=31.5$。其對 $x$ 軸慣性矩為

核心觀念

本題考查平面桁架的支承反力、節點法與截面法。桿件受拉時以拉力表示，受壓時以壓力表示；斜桿與水平線夾角為 $45^\circ$，其垂直分力為桿力乘 $\sin45^\circ$。

圖中跨距共 $15\,\mathrm{m}$，向下集中力 $10P$ 作用於距 A 點 $6\,\mathrm{m}$ 的下弦節點。斜桿 $a,b,c,d$ 只能受拉，因此各受力方向若需承壓，該桿即不受力。

解題方法

一、求支承反力

外力均為鉛直力，故 B 點鉸支承的水平反力為零。對 A 點取矩：

因此

再由鉛直力平衡：

二、求 b 桿力

在 b 桿所在的左側斜桿跨格取截面。集中力位於該跨格右端，因此該處剪力為 $R_A=6P$。b 桿承受拉力，其鉛直分力平衡此剪力：

三、求 e 桿力

核心觀念

內鉸接 $C$ 點不能傳遞彎矩，因此 $M_C=0$；可將梁以 $C$ 分成左右兩段，先用右段求鉸接力，再對左段列平衡方程。剪力圖中，均佈載重使剪力線性變化；彎矩圖斜率等於剪力。

以下取向上反力為正，彎矩正號表示正彎矩（下凹）。

解題方法

1. 先分析右段 $CD$

$CD=10\,\mathrm{m}$，均佈載重合力為 $4(10)=40\,\mathrm{t}$，作用於跨中。對 $C$ 點取矩：

再由垂直力平衡，右段在 $C$ 點受向上鉸接力 $20\,\mathrm{t}$。

2. 分析左段 $A$ 至 $C$

$AB$ 段均佈載重合力為 $8(20)=160\,\mathrm{t}$，作用於距 $A$ 點 $10\,\mathrm{m}$ 處。左段在 $C$ 點受向下鉸接力 $20\,\mathrm{t}$。對 $A$ 點取矩：

垂直力平衡得：

剪力圖

令 $x$ 自 $A$ 點起算，剪力以左側梁段的垂直力代數和表示。

• $AB$ 段，$0<x<20$： $V=70-8x$ 因此 $V_{A^+}=70\,\mathrm{t}$，$V_{B^-}=70-8(20)=-90\,\mathrm{t}$。
• $B$ 點有向上反力 $110\,\mathrm{t}$，剪力向上跳 $110\,\mathrm{t}$，故 $V_{B^+}=20\,\mathrm{t}$。
• $BC$ 段沒有分布載重，剪力維持 $20\,\mathrm{t}$。
• $C$ 點剪力連續，$V_C=20\,\mathrm{t}$；$CD$ 段令 $s=x-30$，則 $V=20-4s$ 所以 $V_{D^-}=-20\,\mathrm{t}$。$D$ 點反力使剪力向上跳 $20\,\mathrm{t}$，回到零。

剪力圖主要縱座標依序為：

核心觀念

$EI=\infty$ 表示 $AC$、$CE$ 兩段不產生彎曲，可視為長度各為 $L$ 的剛桿；$A$、$C$、$E$ 為鉸接。發生側向挫屈時，兩剛桿以相反方向轉動，且端點 $A$、$E$ 的側向位移受支承限制。

$B$、$D$ 各有上下兩個剛度為 $k_s$ 的彈簧，因此每處的總側向彈簧剛度為 $2k_s$。臨界載重可由挫屈前後的位能平衡求得。

解題方法

令兩段剛桿各轉過小角度 $\theta$。由圖中尺寸，$AB=DE=d$、$AC=CE=L$。兩端的側向位移為零，因此 $B$、$D$ 的側向位移大小均為

四個彈簧的總應變能為