109 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考共軛梁法求連續梁位移。共軛梁的荷重為實梁彎矩圖除以 $EI$，共軛梁剪力對應實梁轉角，共軛梁彎矩對應實梁撓度。實梁鉸接處彎矩為零，但垂直位移仍須連續。

取向下為位移正方向。梁上各段的 $EI=1{,}000{,}000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$。

解題方法

先利用內鉸將梁分段求反力，再依各段 $M/EI$ 圖求位移。

1. 求支承反力

$d$ 至 $e$ 段長 $4\ \mathrm m$，中央 $f$ 點承受 $60\ \mathrm{kN}$ 向下載重，因此兩端反力為

$R_d=R_e=30\ \mathrm{kN}\quad(\text{向上})$

作用在左側梁段的 $d$ 點力則為 $30\ \mathrm{kN}$ 向下。對 $b$ 至 $d$ 段取 $b$ 點力矩：

$3R_c-30(5)=0 \quad\Rightarrow\quad R_c=50\ \mathrm{kN}$

再由垂直力平衡：

$R_b+50-30=0 \quad\Rightarrow\quad R_b=-20\ \mathrm{kN}$

也就是 $b$ 至 $d$ 段在 $b$ 點受向下 $20\ \mathrm{kN}$；作用在左側懸臂 $a$ 至 $b$ 段的反力相反，為向上 $20\ \mathrm{kN}$。

2. 求 $b$ 點位移

$a$ 至 $b$ 為長 $3\ \mathrm m$ 的懸臂，端點受向上 $20\ \mathrm{kN}$。其 $M/EI$ 圖為三角形，共軛梁上對應的端點彎矩，亦即實梁端點撓度，其大小為該三角形對 $b$ 點的一次矩：

方向向上。依向下為正的約定，$y_b=-180/EI$；而 $y_c=0$。

3. 由共軛梁關係求 $d$ 點位移

以 $b$ 為 $x=0$、$d$ 為 $x=5\ \mathrm m$。$b$ 至 $d$ 段的實梁彎矩為

核心觀念

平面桁架各節點皆符合力平衡。解題時以拉力為正，桿件受壓時所得數值為負。先用整體平衡與節點 $a$ 求支承反力，再由右側節點逐步求桿件內力。

圖中桁架斜桿的水平、垂直投影皆為 $2\,\mathrm{m}$，故斜桿與水平夾角為 $45^\circ$，其分力可用 $N/\sqrt{2}$ 計算。

解題方法

一、支承反力

令向右、向上為正。由整體水平力平衡：

所以 $A_x=-6\,\mathrm{kN}$，即 $a$ 點水平反力為 $6\,\mathrm{kN}$ 向左。

在節點 $a$，斜桿力記為 $N_{a1}$。其水平分力須平衡 $A_x$：

垂直方向平衡得：

因此 $a$ 點垂直反力為 $6\,\mathrm{kN}$ 向下。

再用整體垂直力平衡：

以 $a$ 點取矩；$g$ 點垂直載重的水平力臂為 $4\,\mathrm{m}$，$f$ 點水平載重距 $a$ 點高 $2\,\mathrm{m}$：

解得：

即 $b$ 點反力向上 $39\,\mathrm{kN}$，$c$ 點反力向下 $21\,\mathrm{kN}$。

二、桿件 $ef$ 內力

由節點 $c$ 平衡。斜桿 $fc$ 的垂直分力平衡 $c$ 點向下的反力：

核心觀念

本題考雙腹版 T 型梁的彎矩強度分析，以及依極限狀態時拉力鋼筋應變判定斷面類別。以命題當年（民國 109 年）法規的等值矩形應力塊計算，取 $\beta_1=0.85$。

圖示翼版寬 $60\ \mathrm{cm}$、厚 $15\ \mathrm{cm}$；兩腹版各寬 $15\ \mathrm{cm}$，合計寬 $30\ \mathrm{cm}$。因壓力塊深度會超過翼版厚度，超出翼版的部分只能計入兩腹版的混凝土面積。

解題方法

拉力鋼筋總拉力為

混凝土等值應力為

先判斷壓力塊是否位於翼版內。若壓力塊深度為 $15\ \mathrm{cm}$，其面積為 $60(15)=900\ \mathrm{cm^2}$，不足以平衡拉力所需的混凝土壓力面積：

因此壓力塊超出翼版，設其深度為 $a$，壓力區面積為翼版面積加上兩腹版超出翼版部分的面積：

解得

壓力塊形心距梁頂的距離，由翼版和腹版超出部分分別取矩：

故標稱彎矩強度為

核心觀念

以剪力強度條件 $\phi(V_c+V_s)\ge V_u$ 設計箍筋。閉合矩形箍筋有兩支垂直箍筋肢，因此 $A_v=2A_{D13}$。此外，箍筋間距須符合規範上限；當所需剪力筋強度 $V_s>1.06\sqrt{f'_c}b_wd$ 時，間距上限為 $\min(d/4,30\text{ cm})$，否則為 $\min(d/2,60\text{ cm})$。

解題方法

由斷面圖，梁寬 $b_w=30\text{ cm}$；總深度為 $9+42+9=60\text{ cm}$，有效深度為

箍筋面積為

混凝土剪力強度：

剪力圖由柱面 $40\text{ tf}$ 線性降至跨中 $20\text{ tf}$，兩者相距 $300\text{ cm}$，故每公分下降 $20/300=0.0667\text{ tf}$。

**梁兩側區段 $S_1$：**剪力設計取距柱面 $d=51\text{ cm}$ 的臨界斷面：

所需箍筋剪力強度為

由 $V_s=A_vf_{yt}d/s$ 得強度所需間距：