110 高普考普通考試 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

同一等級的直接水準測量，路線愈長，累積觀測誤差愈大；路線成果的權與路線長成反比：

因此，將三條路線所得的高程視為同一未知高程的獨立觀測，以加權平均求結點 $P$ 的最或然高程。觀測值的中誤差可由改正數估算；因為只求一個未知高程，自由度為 $n-1=2$。

解題方法

為便於計算，取權數與 $1/L_i$ 成正比的整數比：

加權平均高程為：

所以 $P$ 點高程最或然值約為 $63.6595\ \mathrm{m}$。

各路線改正數 $v_i=\hat H_P-H_i$ 為：

核心觀念

對向交互水準測量又稱互易水準測量，用於兩點之間有河流、山谷、交通障礙等阻隔，無法將水準儀架設在兩點中間，使儀器至兩支水準尺的視距相等時。其作法是在兩端附近各設一次儀器，分別觀測兩點水準尺，利用兩次高差的平均值求得較接近真實的高差。

設 $A$、$B$ 為待測兩點，兩次儀器架設的讀數如下：

• 儀器設於 $A$ 點附近：$a_1$ 為 $A$ 尺讀數，$b_1$ 為 $B$ 尺讀數。
• 儀器設於 $B$ 點附近：$a_2$ 為 $A$ 尺讀數，$b_2$ 為 $B$ 尺讀數。

若高差定義為 $\Delta H_{BA}=H_B-H_A$，則：

兩次觀測的差異也可用來估算儀器視準軸誤差及觀測環境影響：

其中 $e$ 為兩端視距不等所造成的高差誤差估計值；正負號依儀器視準軸誤差的定義而定。

作業程序

1. 在障礙物兩側選定穩固的 $A$、$B$ 點，分別豎立水準尺並使尺身垂直。
2. 將水準儀架設在 $A$ 點附近，使儀器至 $A$ 尺的距離遠小於至 $B$ 尺的距離；整平後讀取兩尺，記為 $a_1$、$b_1$。
3. 將水準儀移至 $B$ 點附近，使儀器至 $B$ 尺的距離遠小於至 $A$ 尺的距離；整平後讀取兩尺，記為 $a_2$、$b_2$。
4. 將兩次所得的高差 $(a_1-b_1)$ 與 $(a_2-b_2)$ 取平均，求出 $\Delta H_{BA}$。若要求 $A$ 點高於或低於 $B$ 點，依高差正負號判讀。

解題方法與誤差消除原理

核心觀念

本題考開放導線的方位角推算與坐標增量計算。方位角由北方向起算，順時針量至導線方向；各測站的右旋角，是由後視方向順時針轉至前視方向的角度。

已知後視方向方位角與右旋角時，先求各邊方位角，再以距離分解為東、北坐標增量：

其中 $D$ 為邊長，$\alpha$ 為該邊方位角。

解題方法與計算

$A\to N$ 方位角為 $5^\circ11'40''$。在 $A$ 站，從後視 $A\to N$ 順時針轉右旋角至 $A\to B$：

後續各站由「前一邊方位角加 $180^\circ$」求後視方向，再加該站右旋角，並化至 $0^\circ$ 至 $360^\circ$：

將各邊方位角與距離代入坐標增量公式：

核心觀念

本題考查不同精度觀測同一水平角時的加權平差。權重 $p_i$ 表示第 $i$ 個觀測值 $L_i$ 的相對可靠程度；權重愈大，該觀測值對最或然值的影響愈大。

設水平角的最或然值為 $x$，第 $i$ 個觀測值的剩餘誤差（改正數）為 $v_i$，則觀測方程式為

依最小二乘法，令加權平方和 $\sum_{i=1}^{n}p_i v_i^2$ 最小，可得加權平均值：

解題方法

先以權重加權各觀測量，除以權重總和，求得最或然值；再由最或然值與各觀測量的差求剩餘誤差。令

則各項計算如下：

1. 觀測量最或然值

2. 剩餘誤差（改正數）

依此定義，平差後觀測量為 $L_i+v_i=\hat{x}$。若採用「誤差」定義為觀測值減最或然值，則其符號相反，即 $L_i-\hat{x}$；計算精度時使用平方，結果不受符號影響。

3. 平均誤差

對各剩餘誤差取算術平均：

由於加權平均值一般不等於算術平均值，$\bar v$ 不一定為 $0$。

4. 單位權中誤差

觀測數為 $n$，未知數為 $1$，故自由度為 $n-1$。單位權中誤差為