107 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為標準的平面靜定剛架反力求解與桿件內力圖（AFD、SFD、BMD）繪製題型，測驗考生以下基本核心觀念與力學原理：

1. 結構靜定性判別： 外反力未知數共 3 個（鉸支承 $B$ 提供 2 個反力，滾支承 $F$ 提供 1 個反力），全結構平面平衡方程式共 3 個（$\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0$），為外靜定剛架。
2. 二力桿件（Two-force member）之傳力特性： 兩側垂直柱 $BC$ 與 $EF$ 均無側向橫載重作用，端點鉸接或傳遞剪力時，可迅速研判柱身之軸力與剪力狀態。
3. 內力符號慣例（Sign Convention）：

• 軸力 $N$：桿件受拉為正（$+$），受壓為負（$-$）。
• 剪力 $V$：截面上使微小元素順時針旋轉者為正（$+$），即左上右下為正。
• 彎矩 $M$：使梁下緣纖維受拉、上緣受壓者為正（$+$），反之為負（$-$）。

4. 載重、剪力與彎矩之微分關係及跳躍性質：

• $\dfrac{dV}{dx} = -w(x) = 0 \implies$ 無分佈載重區段，剪力為水平常數線。
• $\dfrac{dM}{dx} = V(x) \implies$ 彎矩圖斜率即為剪力值。
• 梁上受外加集中力偶 $M_o$ 作用時，彎矩圖在此點會產生大小等於 $M_o$ 的垂直突變（跳躍）。

解題方法

一、 題目幾何與載重設定

依考卷圖一所示正交門形剛架：

• 支承型式：$B$ 點為鉸支承，$F$ 點為置於水平地面的滾支承。
• 尺寸標示：水平梁 $CDE$ 跨度為 $2L$，$D$ 點為梁之中點，即 $\overline{CD} = L$、$\overline{DE} = L$；垂直柱高 $\overline{BC} = h$、$\overline{EF} = h$（$B$、$F$ 支承位於同一水平面上）。
• 外加載重：於 $CE$ 桿件中之 $D$ 點施加順時針外加集中力偶 $M_o = 2PL$。

二、 求解支承反力

繪製全結構自由體圖（FBD），假設支承反力方向如下：

• $B$ 點水平反力 $B_x$（向右 $\rightarrow$）、垂直反力 $B_y$（向上 $\uparrow$）。
• $F$ 點垂直反力 $F_y$（向上 $\uparrow$）；水平反力 $F_x = 0$（水平面滾支承不提供水平拘束）。

1. 水平方向靜力平衡： $\sum F_x = 0 \implies B_x = 0$ 故 $B$ 點無水平反力。

2. 對 $B$ 點取力矩平衡（逆時針為正）： $\sum M_B = 0 \implies F_y \cdot (2L) - M_o = 0$ 代入 $M_o = 2PL$： $F_y \cdot (2L) - 2PL = 0 \implies F_y = P \quad (\uparrow \text{方向向上})$

3. 垂直方向靜力平衡： $\sum F_y = 0 \implies B_y + F_y = 0$ $B_y + P = 0 \implies B_y = -P = P \quad (\downarrow \text{方向向下})$

三、 柱桿件內部傳力與節點平衡

1. $BC$ 柱： 底端 $B$ 點受力 $B_x = 0$、$B_y = P \ (\downarrow)$。全柱無橫向載重，剪力 $V_{BC} = 0$、彎矩 $M_{BC} = 0$。柱身軸力為純拉力 $N_{BC} = +P$。 經 $C$ 剛節點傳力至梁端 $C$ 點：垂直向下外力 $P \ (\downarrow)$，水平力與彎矩皆為 0。
2. $EF$ 柱： 底端 $F$ 點受力 $F_x = 0$、$F_y = P \ (\uparrow)$。剪力 $V_{EF} = 0$、彎矩 $M_{EF} = 0$。柱身軸力為純壓力 $N_{EF} = -P$。 經 $E$ 剛節點傳力至梁端 $E$ 點：提供向上支承力 $P \ (\uparrow)$，水平力與彎矩皆為 0。

四、 $CDE$ 桿件內力方程式推導

取 $CDE$ 梁，以 $C$ 點為原點（$x = 0$），向右為正方向，建立座標軸 $x$（$0 \le x \le 2L$）：

1. 軸力 $N(x)$： 沿梁全長無軸向外力作用，故： $N(x) = 0 \quad (0 \le x \le 2L)$

核心觀念

本題考查靜定桁架之「靜力平衡分析」、「零桿判別」以及利用「虛功法（單位荷重法）」計算桁架節點位移。主要涉及以下力學定義與公式：

1. 整體與節點靜力平衡方程式： 平面靜定結構滿足三平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 零桿判別準則：

• 兩非共線桿件相交於無外力作用之節點，兩桿軸力必均為零。
• 三桿相交於無外力作用之節點，若其中兩桿共線，則不共線之第三桿軸力必為零。

3. 虛功法（單位荷重法，Unit Load Method）計算節點位移： $\Delta = \sum_{i=1}^{m} \frac{S_i u_i L_i}{EA}$ 式中 $S_i$ 為外力作用下之真實桿件軸力，$u_i$ 為欲求位移點沿位移方向施加單位力 $1$ 所產生之虛擬桿件軸力，$L_i$ 為桿長，$E$ 為楊氏係數，$A$ 為斷面積。

解題方法

原卷圖二為標準三節間平行弦普氏桁架（Pratt Truss），底弦節點由左至右依序為 $A, B, C, D$，頂弦節點依序為 $E, F, G, H$；設各節間長度均為 $L$、桁架高度為 $h$；$A$ 點為鉸支承，$D$ 點為滾支承；於底弦節點 $C$ 處受向右之水平外力 $P$。

（一）求支撐反力與所有桿件軸力

1. 整體平衡求支承反力

• 設 $A$ 點水平反力 $A_x$（向左）、垂直反力 $A_y$（向上）；$D$ 點垂直反力 $D_y$（向上）。
• 對 $A$ 點取力矩平衡：外力 $P$ 作用於底弦節點 $C$，其作用線恰好通過底弦（$y=0$），對 $A$ 點力臂為 $0$： $\sum M_A = 0 \implies D_y \cdot (3L) - P \cdot 0 = 0 \implies D_y = 0$
• 垂直方向靜力平衡： $\sum F_y = 0 \implies A_y + D_y = 0 \implies A_y = 0$
• 水平方向靜力平衡： $\sum F_x = 0 \implies -A_x + P = 0 \implies A_x = P \text{（向左，}\leftarrow\text{）}$

2. 各節點桿件軸力分析

• 節點 $D$：支承反力為 $0$，僅連接水平桿 $CD$ 與垂直桿 $DH$： $\sum F_y = 0 \implies F_{DH} = 0$ $\sum F_x = 0 \implies F_{CD} = 0$
• 節點 $H$：連接水平桿 $GH$、垂直桿 $DH$（已證為 $0$）與斜桿 $CH$： $\sum F_y = 0 \implies F_{CH} \sin\theta = 0 \implies F_{CH} = 0$ $\sum F_x = 0 \implies -F_{GH} - F_{CH} \cos\theta = 0 \implies F_{GH} = 0$
• 節點 $G$：連接頂弦桿 $FG, GH$（已證為 $0$）、垂直桿 $CG$ 與斜桿 $FC$： 由垂直與水平平衡可推得： $F_{CG} = 0, \quad F_{FG} = 0$
• 節點 $C$：受向右水平外力 $P$。相鄰桿件中，$CD=0, CH=0, CG=0$： $\sum F_x = 0 \implies -F_{BC} + P + F_{CD} = 0 \implies F_{BC} = +P \text{（張力）}$
• 節點 $B$：垂直無剪力，斜桿 $FC=0$、垂直桿 $BF=0$： $\sum F_x = 0 \implies -F_{AB} + F_{BC} = 0 \implies F_{AB} = +P \text{（張力）}$
• 其餘節點（$A, E, F$）： 同理可得頂弦桿 $EF=0$、垂直桿 $AE=0$、斜桿 $EB=0$。
• 軸力結果整理： 全桁架僅下弦桿 $AB$ 與 $BC$ 承受軸力 $+P$（受拉），其餘所有桿件均為零桿。

3. 桁架受力與反力圖示

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）之內政部《混凝土結構設計規範》（以 ACI 318 為藍本）為準，主要評量鋼筋混凝土梁剪力設計之三大核心法規觀念與力學計算：

1. 設計剪力 $V_u$ 與臨界斷面：

• 載重組合採 $U = 1.2D + 1.6L$（現行法規載重係數亦相同）。
• 一般支承條件下，當支承反力在構材端部產生受壓、載重作用於梁頂面且支承面至距離 $d$ 間無集中載重時，設計剪力得取距支承面 $d$ 處之剪力值。

2. 無配置剪力鋼筋之斷面限制：

• 混凝土剪力名義強度簡化式：$V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b d$（單位：$\mathrm{kgf/cm^2}, \mathrm{cm}$）。
• 剪力強度折減係數 $\phi = 0.75$。
• 依規範規定，為防止混凝土在無剪筋時發生突發性斜拉脆性破壞，構件除特定淺梁或版外，當 $V_u > 0.5\phi V_c$ 時必須配置剪力鋼筋。因此「無配置剪力鋼筋」之安全上限為 $V_u \le \frac{1}{2}\phi V_c$。

3. 最少量剪力鋼筋之強度貢獻：

• 規範規定最小剪力鋼筋面積： $A_{v,\min} = 0.2 \frac{\sqrt{f'_c}}{f_y} b s \ge 3.5 \frac{b s}{f_y}$
• 對應之最小剪筋名義強度： $V_{s,\min} = \frac{A_{v,\min} f_y d}{s} = \max\left(0.2\sqrt{f'_c},\ 3.5\right) b d$
• 當外力 $V_u$ 完全由混凝土與最少量剪力鋼筋承擔時，極限狀態為 $\phi(V_c + V_{s,\min}) = V_u$。

解題方法

（一）此梁設計剪力 $V_u$ 之計算式

1. 設計均布載重 $w_u$： 根據載重組合： $w_u = 1.2 W_d + 1.6 W_l$

2. 支承面處剪力 $V_{u,\text{face}}$： 簡支梁淨跨距為 $L$，在對稱均布載重作用下，梁端支承面處之剪力為： $V_{u,\text{face}} = \frac{w_u L}{2} = \frac{(1.2 W_d + 1.6 W_l) L}{2}$

3. 距支承面 $d$ 處之臨界斷面設計剪力 $V_u$： 依規範規定，若構件滿足「支承反力使構件端部產生壓力」、「載重施加於梁頂面」且「支承面至距其 $d$ 處無集中載重」之條件，設計剪力得取距支承面 $d$ 處之剪力： $V_u = w_u \left( \frac{L}{2} - d \right) = (1.2 W_d + 1.6 W_l)\left( \frac{L}{2} - d \right)$

（二）無配置剪力鋼筋時，剪力控制之最小混凝土斷面

1. 材料參數與基本強度：

• $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \implies \sqrt{f'_c} = \sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• $\phi = 0.75$
• $V_u = 12\ \mathrm{tf} = 12{,}000\ \mathrm{kgf}$
• 混凝土名義剪力強度： $V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b d = 0.53 \times \sqrt{280} \times b d \approx 8.869 b d\ (\mathrm{kgf})$
• 混凝土設計剪力強度： $\phi V_c = 0.75 \times 8.869 b d \approx 6.651 b d\ (\mathrm{kgf})$

2. 規範門檻判定（法規標準解）： 依規範規定，梁構材在未配置任何剪力鋼筋時，設計剪力不得大於混凝土設計剪力強度之一半，即： $V_u \le \frac{1}{2} \phi V_c$ 代入數值： $12{,}000 \le \frac{1}{2} \times 6.651 b d = 3.326 b d$ $b d \ge \frac{12{,}000}{3.326} \approx 3608.2\ \mathrm{cm^2}$

3. 純強度理論極限（補充比較）： 若不考慮規範強制配置最少剪筋之規定，純粹由極限強度 $\phi V_c \ge V_u$ 計算：

核心觀念

本題考核鋼筋混凝土單筋矩形梁在極限設計法（USD）下的正彎矩受彎構件配筋設計，依據命題當年（民國 107 年）適用之內政部《混凝土結構設計規範》（規範後續雖有修正整編，但本題依命題當年法規為準），核心觀念與依據公式如下：

1. 等值矩形應力塊（Whitney 應力塊）假設：

• 混凝土受壓應力合力：$C_c = 0.85 f'_c a b$。
• 鋼筋受拉合力（假定降伏）：$T = A_s f_y$。
• 應力塊深度 $a = \beta_1 c$，當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，$\beta_1 = 0.85$。

2. 設計彎矩強度與折減係數 $\phi$：

• 設計需求：$\phi M_n \ge M_u$。
• 彎矩強度折減係數 $\phi$ 取決於最外層鋼筋淨拉應變 $\epsilon_t$。當 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時屬於「拉力控制斷面」，$\phi = 0.90$。

3. 鋼筋量限制：

• 最小鋼筋量 $A_{s,\min}$（防止少筋脆性破壞）： $A_{s,\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d,\ \frac{14}{f_y} b d \right)$
• 延展性限制：為確保構件具備足夠延展性，受彎構件淨拉應變必須滿足 $\epsilon_t \ge 0.004$；若欲維持 $\phi=0.90$，則須 $\epsilon_t \ge 0.005$。

4. 鋼筋排置與梁寬檢核：

• 鋼筋淨間距 $s \ge \max(d_b,\ 2.5\ \mathrm{cm},\ \frac{4}{3}d_g)$（$d_g$ 為粗骨材最大粒徑，一般取 $1.9\ \mathrm{cm}$）。
• 梁寬需滿足保護層、箍筋及主筋淨間距之幾何排置要求。

解題方法

步驟一：單位轉換與基本參數

• 斷面幾何：$b = 35\ \mathrm{cm}$，$d = 55\ \mathrm{cm}$。
• 材料強度：$f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\beta_1 = 0.85$；$f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 設計彎矩：$M_u = 27\ \text{tf-m} = 27 \times 10^5\ \mathrm{kgf{\cdot}cm}$。

步驟二：計算所需公稱彎矩強度 $M_n$

假定斷面為拉力控制（$\phi = 0.90$）：

$M_n = \frac{M_u}{\phi} = \frac{27 \times 10^5}{0.90} = 30 \times 10^5\ \mathrm{kgf{\cdot}cm}$

步驟三：求解等值應力塊深度 $a$ 與理論鋼筋量 $A_{s,\text{req}}$

由內部力矩平衡：

$M_n = C_c \left( d - \frac{a}{2} \right) = 0.85 f'_c b a \left( d - \frac{a}{2} \right)$

代入數值：

$30 \times 10^5 = 0.85 \times 280 \times 35 \times a \left( 55 - 0.5a \right)$

$30 \times 10^5 = 8330 a \left( 55 - 0.5a \right)$

$4165 a^2 - 458150 a + 3000000 = 0$

同除以 $4165$：

$a^2 - 110 a + 720.29 = 0$

解一元二次方程式（取合理實根 $a < d$）：

$a = \frac{110 - \sqrt{110^2 - 4 \times 720.29}}{2} = \frac{110 - \sqrt{12100 - 2881.16}}{2} \approx 6.99\ \mathrm{cm}$

由水平力平衡 $T = C_c$：

$A_{s,\text{req}} = \frac{0.85 f'_c b a}{f_y} = \frac{8330 \times 6.99}{4200} \approx 13.86\ \mathrm{cm^2}$

步驟四：檢核拉力控制與 $\phi$ 值假設

1. 中性軸深度 $c$： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{6.99}{0.85} = 8.22\ \mathrm{cm}$
2. 最外層鋼筋淨拉應變 $\epsilon_t$： $\epsilon_t = \frac{d - c}{c} \times 0.003 = \frac{55 - 8.22}{8.22} \times 0.003 = 0.0171 > 0.005$ 確定為拉力控制斷面，原假設 $\phi = 0.90$ 正確，且鋼筋確實降伏。

步驟五：檢核最小鋼筋量 $A_{s,\min}$