108 高普考普通考試 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

此題考三鉸結構的靜力平衡。鉸接處 $B$ 不能傳遞彎矩，因此可將結構在 $B$ 處分成左右兩段，分別對 $B$ 取矩，再配合整體的水平力與垂直力平衡，求支承反力及鉸接力。

依圖取 $A$、$C$ 支承同高，$B$ 高出支承 $16\ \mathrm{m}$。水平距離為 $AB=40\ \mathrm{m}$、$BC=40\ \mathrm{m}$。

解題方法

以向右、向上為正方向。設支承反力為 $A_x,A_y,C_x,C_y$，並以 $B$ 為左右兩段的取矩點。

左段的集中力 $80\ \mathrm{kN}$ 距 $B$ 水平向左 $20\ \mathrm{m}$。對左段取 $B$ 點力矩：

因此：

右段均佈載重的合力為：

作用於載重範圍中點，距 $B$ 水平向右 $20\ \mathrm{m}$。對右段取 $B$ 點力矩：

因此：

整體的水平力與垂直力平衡式為：

由 $C_x=-A_x$、$C_y=480-A_y$ 代入兩段力矩方程式：

解得：

所以：

核心觀念

本題考懸臂端外伸梁的彎矩圖與正、負彎矩判定。正彎矩依題意定義為使梁底部受拉的彎矩；外伸段向下均佈載重會使支承處產生負彎矩。圖示的兩端 $50\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力偶方向相反，因此結構與載重對稱。

$B$、$C$ 處的圓圈表示梁與柱以鉸接相連，柱底 $E$、$F$ 也為鉸支承；柱只傳遞支承反力，不提供梁端彎矩。柱長 $6\ \mathrm{m}$ 不影響本題的彎矩計算。

解題方法

令全梁均佈載重強度 $w=20\ \mathrm{kN/m}$，中間跨長為 $BC=2L$，兩側外伸段各長 $5\ \mathrm{m}$。

先由左側外伸段求 $B$ 處彎矩。以左段對 $B$ 取矩，外伸段載重合力為 $20(5)=100\ \mathrm{kN}$，作用點距 $B$ 為 $2.5\ \mathrm{m}$；再納入 $A$ 端順時針力偶 $50\ \mathrm{kN\cdot m}$：

由對稱性，$M_C=-200\ \mathrm{kN\cdot m}$。因此最大負彎矩量值為 $200\ \mathrm{kN\cdot m}$。

核心觀念

本題旨在檢核鋼筋混凝土單筋矩形梁斷面配置拉力鋼筋是否符合規範要求。依據命題當年（民國 108 年）之「結構混凝土設計規範」（現行規範雖歷經修正，但受彎構材之抗彎強度與應變檢核原理維持一致），梁斷面拉力鋼筋檢核須涵蓋以下四項關鍵規定：

1. 等價矩形應力塊參數 $\beta_1$： 當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，$\beta_1 = 0.85$；當 $f'_c > 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，每增加 $70\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\beta_1$ 減小 $0.05$（但不得小於 $0.65$）： $\beta_1 = 0.85 - 0.05 \times \frac{f'_c - 280}{70}$
2. 斷面平衡與應變控制： 由內力水平平衡 $C = T$（$0.85 f'_c a b = A_s f_y$）求出應力塊深度 $a$ 與中性軸深度 $c = a / \beta_1$。 最外層受拉鋼筋之極限淨拉應變 $\epsilon_t$ 須滿足延展性最低限制 $\epsilon_t \ge 0.004$；若 $\epsilon_t \ge 0.005$，則屬「拉力控制斷面」，強度折減係數 $\phi = 0.90$。
3. 最低鋼筋量規定 ($A_{s,\min}$)： 為防止斷面開裂即脆性斷裂，配置鋼筋量須滿足： $A_{s,\min} = \max\left(\frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d, \; \frac{14}{f_y} b d\right)$
4. 設計彎矩強度檢核： 斷面設計彎矩強度必須大於或等於設計載重產生之設計彎矩：$\phi M_n \ge M_u$。
5. 鋼筋間距與排置限制： 梁內縱向鋼筋之淨間距不得小於鋼筋直徑 $d_b$、粗粒料最大粒徑之 $4/3$ 倍及 $2.5\ \mathrm{cm}$，以確保混凝土澆置密實。

解題方法

步驟一：基本參數整理與 $\beta_1$ 計算

• 斷面幾何：$b = 35\ \mathrm{cm}$，$d = 53\ \mathrm{cm}$。
• 設計需求：$M_u = 60\ \mathrm{tf\cdot m} = 6.0 \times 10^6\ \mathrm{kgf\cdot cm}$。
• 鋼筋配置：6 支 D29，總面積 $A_s = 6 \times 6.47 = 38.82\ \mathrm{cm^2}$。
• 材料強度：$f'_c = 350\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 計算參數 $\beta_1$： $\beta_1 = 0.85 - 0.05 \times \frac{350 - 280}{70} = 0.80$

步驟二：斷面受力平衡與中性軸深度 假設拉力鋼筋達到降伏（$f_s = f_y$），由受壓混凝土合力 $C$ 等於受拉鋼筋合力 $T$： $C = T \implies 0.85 f'_c a b = A_s f_y$ $a = \frac{A_s f_y}{0.85 f'_c b} = \frac{38.82 \times 4200}{0.85 \times 350 \times 35} = \frac{163044}{10412.5} \approx 15.66\ \mathrm{cm}$ 計算中性軸深度 $c$： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{15.66}{0.80} \approx 19.57\ \mathrm{cm}$

步驟三：鋼筋降伏確認、極限淨拉應變與延展性檢核 以有效深度 $d = 53\ \mathrm{cm}$ 作為最外層受拉鋼筋深度 $d_t$ 之保守下限估算淨拉應變： $\epsilon_t = \left(\frac{d_t - c}{c}\right) \times 0.003 = \left(\frac{53 - 19.57}{19.57}\right) \times 0.003 \approx 0.00512$

• 降伏驗證：鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{4200}{2.04 \times 10^6} \approx 0.00206$。因 $\epsilon_t \approx 0.00512 > \epsilon_y$，鋼筋降伏假設成立。
• 延展性檢核：$\epsilon_t = 0.00512 \ge 0.004$，滿足規範對梁構材之最低延展性限制。
• 斷面分類：因 $\epsilon_t \ge 0.005$，屬於「拉力控制斷面」，強度折減係數取 $\phi = 0.90$。

步驟四：最低鋼筋量檢核 依規範計算受彎構材之最低拉力鋼筋量： $A_{s,\min} = \max\left(\frac{0.8\sqrt{350}}{4200} \times 35 \times 53, \; \frac{14}{4200} \times 35 \times 53\right)$ $\frac{0.8\sqrt{350}}{4200} \times 35 \times 53 = \frac{0.8 \times 18.71}{4200} \times 1855 \approx 6.61\ \mathrm{cm^2}$ $\frac{14}{4200} \times 35 \times 53 = \frac{1}{300} \times 1855 \approx 6.18\ \mathrm{cm^2}$

核心觀念

本題評量鋼筋混凝土矩形梁之剪力強度分析與剪力鋼筋（箍筋）間距設計。依命題當年（民國 108 年）適用之內政部《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100，現行法已修正為《結構混凝土設計規範》，但基本剪力計算原理與係數維持一致）為準，核心理論與公式如下：

1. 基本剪力強度設計要求： $\phi V_n \ge V_u \implies \phi(V_c + V_s) \ge V_u$ 其中，剪力強度折減因數 $\phi = 0.75$。
2. 混凝土剪力強度 $V_c$（簡化公式，公斤－公分制）： $V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b d$
3. 剪力鋼筋提供之名義剪力強度 $V_s$： $V_s = \frac{A_v f_{yt} d}{s}$ 其中 $A_v$ 為配置間距 $s$ 內垂直於梁軸之所有剪力鋼筋肢數截面積總和。使用「閉合箍筋」垂直穿過剪力裂縫時，為雙肢受剪（$A_v = 2 A_b$）。
4. 剪力防壓碎限制（梁斷面尺寸檢核）： 剪力鋼筋所提供之強度上限為 $V_s \le 2.12\sqrt{f'_c} b d$，避免斜向壓應力過大導致梁腹混凝土提早壓碎。
5. 剪力鋼筋最大間距 $s_{\max}$ 限制：

• 當 $V_s \le 1.06\sqrt{f'_c} b d$（即 $V_s \le 2V_c$）時： $s_{\max} \le \min\left(\frac{d}{2},\ 60\ \mathrm{cm}\right)$
• 當 $V_s > 1.06\sqrt{f'_c} b d$（即 $V_s > 2V_c$）時，最大間距須減半： $s_{\max} \le \min\left(\frac{d}{4},\ 30\ \mathrm{cm}\right)$

6. 最小剪力鋼筋量限制： $A_{v,\min} = 0.2\sqrt{f'_c}\frac{b s}{f_{yt}} \ge 3.5\frac{b s}{f_{yt}} \implies s \le \min\left(\frac{A_v f_{yt}}{0.2\sqrt{f'_c} b},\ \frac{A_v f_{yt}}{3.5 b}\right)$

解題方法

步驟一：基本參數整理與單位換算

• 梁寬 $b = 30\ \mathrm{cm}$
• 有效梁深 $d = 56\ \mathrm{cm}$
• 混凝土強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \implies \sqrt{f'_c} = \sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 剪力鋼筋降伏強度 $f_{yt} = 2800\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 設計剪力 $V_u = 36\ \mathrm{tf} = 36000\ \mathrm{kgf}$
• 剪力鋼筋面積：採用 D13 矩形閉合箍筋，受剪肢數為 2 肢： $A_v = 2 \times 1.27\ \mathrm{cm^2} = 2.54\ \mathrm{cm^2}$

步驟二：計算混凝土剪力承載力 $V_c$

$V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b d = 0.53 \times 16.733 \times 30 \times 56 = 14899\ \mathrm{kgf} \approx 14.90\ \mathrm{tf}$ 計算設計混凝土剪力承載力： $\phi V_c = 0.75 \times 14.90\ \mathrm{tf} = 11.18\ \mathrm{tf}$ 因為 $V_u = 36\ \mathrm{tf} > \phi V_c = 11.18\ \mathrm{tf}$，故必須配置剪力鋼筋承受剪力。

步驟三：計算剪力鋼筋所需承擔之強度 $V_s$ 及斷面尺寸檢核

依據強度設計準則 $\phi(V_c + V_s) \ge V_u$： $V_s \ge \frac{V_u}{\phi} - V_c = \frac{36000}{0.75} - 14899 = 48000 - 14899 = 33101\ \mathrm{kgf} \approx 33.10\ \mathrm{tf}$

檢核梁斷面是否具備足夠尺寸以防止斜向混凝土壓碎： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b d = 4 V_c = 4 \times 14899 = 59596\ \mathrm{kgf} \approx 59.60\ \mathrm{tf}$ 因為 $V_s = 33.10\ \mathrm{tf} \le V_{s,\max} = 59.60\ \mathrm{tf}$，故斷面尺寸合格。

步驟四：依剪力強度需求計算箍筋間距 $s_{\text{req}}$

由 $V_s = \dfrac{A_v f_{yt} d}{s}$： $s_{\text{req}} = \frac{A_v f_{yt} d}{V_s} = \frac{2.54 \times 2800 \times 56}{33101} = \frac{398272}{33101} \approx 12.03\ \mathrm{cm}$

步驟五：檢核最大間距 $s_{\max}$ 與最小剪力鋼筋量

1. 最大間距檢核門檻：