108 高普考普通考試 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查地面方向與地圖座標方向之間的角度關係。磁偏角用來連結磁北與真北；製圖角用來連結真北與坐標北（亦稱方格北、製圖北）。

以下採用共同約定：方位角均自北方向起算，順時針為正；角度向東偏為正，向西偏為負。

 真北 N
 ↑
 磁北 Nₘ / \ 坐標北 Nᵍ
 / \
 磁偏角 D 製圖角 γ
 （向東為正；向西為負）

 三方向的夾角以同一測站為頂點

定義及用途

磁偏角 $D$：同一地點的真北方向與磁北方向之間的水平夾角。磁北在真北以東時，磁偏角為東偏、$D>0$；磁北在真北以西時，為西偏、$D<0$。磁偏角會隨地點與時間改變。使用羅盤測得磁方位角時，須依當地磁偏角改算為真方位角，才能與真北基準的測量成果相互比較。

製圖角（子午線收斂角）$\gamma$：真北方向與地圖上坐標北方向之間的水平夾角。坐標北是地圖投影坐標網格的北方向；投影後，它一般不與當地真子午線重合。採本題約定，坐標北在真北以東時 $\gamma>0$，在西時 $\gamma<0$。

核心觀念

1. 天頂距全圓周式垂直度盤定義： 天頂距（Zenith Distance, $Z$）以天頂方向為 $0^\circ$，水平視線方向正鏡讀數為 $90^\circ$、倒鏡讀數為 $270^\circ$。
2. 垂直度盤指標差（Index Error, $i$）： 當垂直度盤指標存在安裝或歸零偏差時，設指標差為 $i$。

• 正鏡觀測讀數：$Z_L = Z + i$
• 倒鏡觀測讀數：$Z_R = (360^\circ - Z) + i$
• 兩式相加可消去天頂距真值 $Z$： $Z_L + Z_R = 360^\circ + 2i \implies i = \frac{Z_L + Z_R - 360^\circ}{2}$

3. 改正後天頂距： $Z = Z_L - i = 360^\circ - (Z_R - i) = \frac{Z_L + (360^\circ - Z_R)}{2}$
4. 誤差傳播定律與顯著性分析： 指標差 $i$ 係由兩個獨立觀測值 $Z_L$ 與 $Z_R$ 組合計算而得，其本身亦含有觀測偶差（隨機誤差）。 若單次垂直角觀測標準誤差為 $\sigma_v = \pm 5''$，依誤差傳播定律可求得指標差之標準誤差 $\sigma_i$。 判斷指標差是否顯著，依測量平差與統計檢定慣例，檢驗 $|i|$ 是否落於偶差合理波動區間（通常以 $2\sigma$ 或 $3\sigma$ 為檢驗界限）。

解題方法

(一) 計算指標差改正後之垂直角（天頂距）

1. 求指標差 $i$： 正鏡讀數 $Z_L = 78^\circ 46' 30''$ 倒鏡讀數 $Z_R = 281^\circ 13' 25''$

將兩者相加： $Z_L + Z_R = 78^\circ 46' 30'' + 281^\circ 13' 25'' = 359^\circ 59' 55''$

代入指標差公式： $i = \frac{(Z_L + Z_R) - 360^\circ}{2} = \frac{359^\circ 59' 55'' - 360^\circ 00' 00''}{2} = \frac{-5''}{2} = -2.5''$

2. 計算改正後之天頂距 $Z$： 以正鏡讀數扣除指標差： $Z = Z_L - i = 78^\circ 46' 30'' - (-2.5'') = 78^\circ 46' 32.5''$

（以倒鏡驗算：$Z = 360^\circ - (Z_R - i) = 360^\circ - (281^\circ 13' 25'' - (-2.5'')) = 360^\circ - 281^\circ 13' 27.5'' = 78^\circ 46' 32.5''$，結果一致）

(二) 分析指標差是否顯著

1. 計算指標差之標準誤差 $\sigma_i$： 由指標差函數 $i = \frac{1}{2}Z_L + \frac{1}{2}Z_R - 180^\circ$，已知 $Z_L$ 與 $Z_R$ 為相互獨立之觀測值，且標準誤差均為 $\sigma_v = \pm 5''$。 根據誤差傳播定律：

核心觀念

1. 水準測量誤差傳播定律（長度與誤差之關係）： 在水準測量中，各測站之觀測彼此獨立且精度相同。若路線總長度為 $S$，測站數與距離成正比，根據誤差傳播定律：

• 高程差之方差（Variance，變方 $\sigma^2$）與施測長度 $S$ 成正比： $\sigma^2 \propto S \implies \sigma^2 = k \cdot S$
• 高程差之中誤差（標準差 $\sigma$）與施測長度的平方根成正比： $\sigma \propto \sqrt{S} \implies \sigma = \sigma_0 \sqrt{S}$ 其中 $\sigma_0$ 為「單位長度（通常為每公里 $1\text{ km}$）之高程差中誤差」。

2. 觀測精度之比較基準： 欲比較不同儀器之施測精度，必須在相同觀測條件（相同施測長度基準）下評定。在相同距離下，中誤差（或變方）愈小者，其觀測精度愈高。

3. 觀測量之權（Weight）定義： 觀測量之權 $P$ 與其方差（變方 $\sigma^2$）成反比： $P \propto \frac{1}{\sigma^2} \implies P_1 \sigma_1^2 = P_2 \sigma_2^2 = \text{常數}$

解題方法

(一) 甲類與乙類水準儀器設備之施測精度比較

以「每公里（$1\text{ km} = 1000\text{ m}$）之水準測量」作為統一比較的基準長度 $S_0 = 1\text{ km}$：

1. 甲類設備：

• 施測長度 $S_甲 = 1\text{ km}$。
• 高程差中誤差 $\sigma_甲 = \pm 15\text{ mm}$。
• 每公里方差 $\sigma_{0,甲}^2$： $\sigma_{0,甲}^2 = \frac{\sigma_甲^2}{S_甲} = \frac{15^2}{1} = 225\text{ mm}^2/\text{km}$
• 每公里中誤差 $\sigma_{0,甲}$： $\sigma_{0,甲} = \sqrt{225} = 15\text{ mm/}\sqrt{\text{km}}$

2. 乙類設備：

• 施測長度 $S_乙 = 100\text{ m} = 0.1\text{ km}$。
• 高程差中誤差 $\sigma_乙 = \pm 5\text{ mm}$。
• 因方差與長度成正比，推算每公里方差 $\sigma_{0,乙}^2$： $\sigma_{0,乙}^2 = \frac{\sigma_乙^2}{S_乙} = \frac{5^2}{0.1} = \frac{25}{0.1} = 250\text{ mm}^2/\text{km}$
• 每公里中誤差 $\sigma_{0,乙}$： $\sigma_{0,乙} = \sqrt{250} \approx 15.81\text{ mm/}\sqrt{\text{km}}$

3. 精度比較： 比較相同長度（$1\text{ km}$）下的中誤差： $\sigma_{0,甲} = 15\text{ mm} < \sigma_{0,乙} \approx 15.81\text{ mm}$

核心觀念

本題旨在測驗考生對全球導航衛星系統（Global Navigation Satellite System, GNSS）​基本架構與作業特性的理解，核心考核重點包含：

1. 主要衛星導航系統之辨識：掌握全球現役主流 GNSS 系統名稱及其主導國家／組織。
2. 多星系定位（Multi-GNSS Positioning）優勢分析：

• 空間幾何分布與精度因子：幾何精度因子（GDOP、PDOP）的幾何意義與數學關係式： $\text{GDOP} = \sqrt{\text{PDOP}^2 + \text{TDOP}^2}$ 多星系大幅增加天空可視衛星數量，改善衛星空間幾何分布，降低 DOP 值，直接提升三維定位精度。
• 觀測幾何強度與多餘觀測數：多星系增加觀測方程式數量，提高多餘觀測數（Redundancy, $r = n - u$），有利於粗差偵測與資料可靠度（Reliability）檢定。
• 抗遮蔽性與可用度（Availability）：在嚴苛環境（如高樓林立之都市叢林、深山峽谷、林木覆蓋區）中，單星系易因可視衛星少於 4 顆而斷訊，多星系能維持連續解算。
• 載波相位整數未知數（模糊度）解算：提供更多頻率與觀測量，顯著加速動態即時定位（RTK）之整數未知數初始化（Ambiguity Resolution）時間並提高成功率。

解題方法

本題為典型的論述型試題，答題關鍵在於「結構清晰、專有名詞準確、論理具備測量學專業深度」：

1. 第 (一) 小題（衛星系統列舉）： 直接列出全球四大核心系統（四大天王：GPS、GLONASS、Galileo、BDS），並精確標明其主導國家／組織與英文全銜／簡稱，展現專業嚴謹度（任選三種即可，建議答滿四大系統並標註其一為補充）。
2. 第 (二) 小題（多星系定位優勢）： 不可僅空泛回答「比較準」、「收得到訊號」，必須由測量專業架構切入，依序從「可視衛星數與抗遮蔽」、「空間幾何構形與 DOP 值」、「多餘觀測與可靠度／粗差檢定」、「整數模糊度初始化速度」、「系統獨立備援能力」五大維度條列闡述，並適度帶入定位基本數學幾何概念。

選項分析

本題非選擇題，為申論問答題。針對題意評分標準與要點剖析如下：

• 第 (一) 小題評分要點：
• 必須為「全覆蓋／全球型」導航衛星系統（GNSS）。區域性系統如日本 QZSS（準天頂）、印度 NavIC（IRNSS）亦屬衛星導航範疇，但列舉全球性四大系統最不易產生評閱爭議。
• 第 (二) 小題核心得分要點：
• 點出「DOP 值降低」：評閱委員的核心採分點。單寫「精度提高」給基本分，寫出「衛星幾何分布均勻使 PDOP/GDOP 顯著降低」方得高分。
• 點出「都市叢林（Urban Canyons）作業能力」：實務工程測量最受重視的效益。
• 點出「多餘觀測數與 RAIM（接收機自主完整性監測）」：展現高階控制測量與測量平差理論深度。

解題技巧

1. 記憶口訣：

• 四大星系記國名：美（GPS）、俄（GLONASS）、歐（Galileo）、中（北斗 BDS）。
• 多星系五大優勢口訣：「多、好、準、快、穩」：
• 多（衛星數量多、抗遮蔽力強）
• 好（幾何形狀好、DOP 值低）
• 準（多餘觀測多、檢核精度高）
• 快（模糊度搜尋快、RTK 初始化加速）
• 穩（系統備援穩、無單一失效風險）

2. 常見陷阱與加分關鍵：

• 系統時鐘差未知數陷阱：在單星系中，單點定位未知數為 4 個（3 個坐標未知數 $X, Y, Z$ 加上 1 個接收機對該星系的時鐘差 $\Delta t_1$）。