107 高普考普通考試 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查三角高程測量（Trigonometric Leveling）​之基本學理與實務應用：

1. 全測站儀（Total Station）之測量特性：全測站儀結合電子測距儀（EDM）與電子經緯儀，可同時精準測量測站與目標間之斜距 $S$、水平角與垂直角（或天頂距 $Z$）。
2. 高程傳遞原理：由已知點高程 $H_a$、儀器高 $i$、稜鏡（目標）高 $t$ 及透過三角幾何推得之垂直高差分量 $V$，建立高程傳遞方程式以推求未知點高程 $H_b$。
3. 曲率與折光修正（球氣差）：當觀測距離較長（通常視距大於 $100\text{ m}$ 至 $300\text{ m}$）時，須考量地球表面曲率（球差）與大氣折光（氣差）對高程差的綜合影響。
4. 誤差傳播與來源分析：測量成果包含儀器結構誤差、人為觀測/操作誤差及自然環境干擾等系統與偶然誤差。

解題方法

一、 幾何原理示意圖

在已知點 $A$ 架設全測站儀，未知點 $B$ 立反射稜鏡，觀測幾何關係如下：

 [全測站儀橫軸中心]
 * 
 /| \
 / | \
 / | \ 斜距 S
 天頂距 Z / | \
 / | \
 / | \
 *------|--------* [稜鏡中心]
 水平視線 | |
 | |
 | | 稜鏡高 t
 | 垂直 |
 儀器高 i | 分量 V |
 | |
 | |
 地面 A 點 v v 地面 B 點
 (高程 Ha) ======▲========▲===== (高程 Hb)
 | |
 | |
 | |
 ----------------+--------+------------------ 基準面 (Datum, H=0)

二、 符號定義

• $H_a$：已知點 $A$ 之高程
• $H_b$：待求點 $B$ 之高程
• $i$：儀器高（$A$ 點標石頂面至全測站儀橫軸中心之垂直高度）
• $t$：目標高／稜鏡高（$B$ 點標石頂面至反射稜鏡中心之垂直高度）
• $S$：全測站儀橫軸中心至稜鏡中心之空間斜距（Slope Distance）
• $\alpha$：垂直仰俯角（水平視線為 $0^\circ$，仰角為正、俯角為負）
• $Z$：天頂距（Zenith Angle，鉛垂天頂方向為 $0^\circ$，$Z = 90^\circ - \alpha$）
• $V$：儀器中心至稜鏡中心之垂直距離分量
• $D$：水平距離（平距），$D = S \cos \alpha = S \sin Z$
• $C_r$：地球曲率差與大氣折光差之綜合改正值（球氣差）

三、 演算推導與計算公式

1. 基本高程公式（視距較短，略去球氣差時） 垂直距離分量 $V$ 可由斜距與角度計算：

• 若觀測仰俯角 $\alpha$：$V = S \sin \alpha$
• 若觀測天頂距 $Z$：$V = S \cos Z$

由圖中幾何高低關係，自基準面起算： $H_b = H_a + i + V - t$ 代入三角關係式得： $H_b = H_a + i + S \sin \alpha - t$ 或 $H_b = H_a + i + S \cos Z - t$

2. 長距離觀測公式（考量球氣差修正） 地球曲率使遠處目標視線相對大地水準面升高（球差 $C = \frac{D^2}{2R}$），而大氣折光使視線下折彎曲（氣差 $r = k \frac{D^2}{2R}$，其中 $k$ 為大氣折光係數，$R$ 為地球平均曲率半徑）。 綜合球氣差改正值 $C_r$ 為： $C_r = C - r = \frac{1-k}{2R} D^2 \approx 0.0675 \times \left(\frac{D}{1000}\right)^2 \quad (\text{單位：} D \text{ 為公尺}，C_r \text{ 為公尺})$

核心觀念

本題屬於平面控制測量中的方向距離交會法（又稱方位角與距離交會法，Bearing-Distance Intersection），主要考查以下四大核心觀念與公式：

1. 坐標正算與方位角關係： 在平面直角坐標系統 $(E, N)$ 中，測量方位角 $\phi$ 是以正北方向（$N$ 軸）為基準順時針起算。由測站 $A(E_A, N_A)$ 至目標點 $P(E_P, N_P)$ 之坐標增量公式為： $E_P = E_A + D_{AP} \sin\phi_{AP}$ $N_P = N_A + D_{AP} \cos\phi_{AP}$ 其中方位角之觀測函數關係為： $\tan\phi_{AP} = \frac{E_P - E_A}{N_P - N_A} \quad (\text{且 } E_P - E_A > 0,\, N_P - N_A > 0 \text{ 位於第一象限})$

2. 距離觀測幾何關係： 由測站 $B(E_B, N_B)$ 至目標點 $P(E_P, N_P)$ 之歐氏距離觀測方程式為： $S_{BP} = \sqrt{(E_P - E_B)^2 + (N_P - N_B)^2}$

3. 幾何交會構形與多解性（二義性）： 直線（方向線）與圓（等距離軌跡）相交，在解析幾何上為一元二次方程式，可能產生無實數解、單一相切解或相異雙解。若基線垂距小於圓半徑且半徑小於基線長，幾何上必定產生「雙解」。

4. 平差理論之多餘觀測數（自由度）： 待定參數為 2 個（$E_P, N_P$），觀測量為 2 個（$\phi_{AP}, S_{BP}$），多餘觀測數 $r = n - u = 2 - 2 = 0$。

解題方法

步驟一：列出觀測方程式

設未知點 $P$ 之坐標為 $(E_P, N_P)$。觀測方程式即將觀測量表達為未知參數之數學函數：

1. 方位角觀測方程式（以 $A$ 點為測站）： $\phi_{AP} = \arctan\left(\frac{E_P - E_A}{N_P - N_A}\right) = 60^\circ 00' 00''$ 整理為線性代數關係式： $\frac{E_P - 100.00}{N_P - 20.00} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ 即： $(E_P - 100.00) - \sqrt{3}(N_P - 20.00) = 0 \quad (\text{條件：} E_P > 100.00,\, N_P > 20.00)$

2. 距離觀測方程式（以 $B$ 點為測站）： $S_{BP} = \sqrt{(E_P - E_B)^2 + (N_P - N_B)^2} = 90.00\,\mathrm{m}$ 平方後展開為二次方程式： $(E_P - 100.00)^2 + (N_P - 120.00)^2 = 90.00^2 = 8100.00$

步驟二：聯立求解 $P$ 點坐標

引進參數 $D_{AP}$（$A$ 至 $P$ 之平面距離，且 $D_{AP} > 0$），利用坐標正算將 $P$ 點坐標表示為 $D_{AP}$ 之參數式： $E_P = E_A + D_{AP} \sin 60^\circ = 100.00 + \frac{\sqrt{3}}{2} D_{AP}$ $N_P = N_A + D_{AP} \cos 60^\circ = 20.00 + \frac{1}{2} D_{AP}$

將上述參數式代入距離方程式 $(E_P - 100.00)^2 + (N_P - 120.00)^2 = 8100.00$： $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} D_{AP}\right)^2 + \left[\left(20.00 + \frac{1}{2} D_{AP}\right) - 120.00\right]^2 = 8100.00$ $\frac{3}{4} D_{AP}^2 + \left(\frac{1}{2} D_{AP} - 100.00\right)^2 = 8100.00$ $\frac{3}{4} D_{AP}^2 + \frac{1}{4} D_{AP}^2 - 100.00\, D_{AP} + 10000.00 = 8100.00$ $D_{AP}^2 - 100.00\, D_{AP} + 1900.00 = 0$

解一元二次方程式： $D_{AP} = \frac{-(-100.00) \pm \sqrt{(-100.00)^2 - 4(1)(1900.00)}}{2} = \frac{100.00 \pm \sqrt{10000.00 - 7600.00}}{2} = 50.00 \pm 10\sqrt{6}\,\mathrm{m}$

由於 $10\sqrt{6} \approx 24.4949\,\mathrm{m}$，兩根均為正實數，故本題存在兩組合理實數解：

1. $D_{AP1} = 50.00 + 10\sqrt{6} \approx 74.495\,\mathrm{m}$
2. $D_{AP2} = 50.00 - 10\sqrt{6} \approx 25.505\,\mathrm{m}$

分別計算對應之 $P$ 點平面坐標：

• 第一組解 ($P_1$)： $E_{P1} = 100.00 + (50.00 + 10\sqrt{6}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 100.00 + 25\sqrt{3} + 15\sqrt{2} \approx 100.00 + 43.301 + 21.213 = 164.51\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題考查土木測量工程中「光線法（輻射法／支導線法）平面點位測設」之外業觀測程序、坐標幾何計算及「誤差傳播定律（Law of Error Propagation）」之應用。

1. 二維平面直角測量坐標系統： 台灣測量工程慣用縱軸為 $X$ 軸（向北為正，North），橫軸為 $Y$ 軸（向東為正，East）。坐標方位角 $\phi$ 由正北方向（$X$ 軸正向）起算，依順時針方向旋轉至測線，範圍為 $0^\circ \sim 360^\circ$。
2. 光線法（Radiation Method）： 在已知控制點架設全站儀，後視另一已知點定向（測定或設定起始方位角），隨後照準待測新點，觀測水平角與平距，藉由極坐標幾何直接推算新點之直角坐標。
3. 誤差傳播定律： 設待測點坐標為獨立觀測量（平距 $S$、水平角 $\beta$）之非線性函數，利用一階泰勒展開式全微分，導出觀測量之隨機誤差（中誤差）對新點坐標中誤差及點位誤差之影響公式。

解題方法

一、 示意圖與幾何符號定義

設已知兩點為 $A(X_A, Y_A)$ 與 $B(X_B, Y_B)$，兩點間相互通視。選擇在已知點 $A$ 架設全站儀，後視已知點 $B$ 定向，測定待測新點 $P(X_P, Y_P)$。

 X (正北 North)
 ▲
 │ ● P (待測新點)
 │ /
 │ /
 │ / 平距 S
 │ /
 │ φ_AP /
 │ ┌────────────/
 │ │ β (順時針)/
 │ │ ┌──────/
 ●─┴───┼─────/────────► Y (正東 East)
 A │ / 
 (測站) │ / 
 \ │ /
 \ │ /
 \ ▼/
 \ 
 \ φ_AB
 \
 ● B (後視已知點)

符號說明：

• $A(X_A, Y_A)$：測站已知點坐標。
• $B(X_B, Y_B)$：後視已知點坐標。
• $P(X_P, Y_P)$：待測定之新點坐標。
• $\phi_{AB}$：測站 $A$ 至後視點 $B$ 之坐標方位角。
• $\beta$：以測線 $AB$ 為基準，順時針旋轉至視線 $AP$ 之水平夾角（$\angle BAP$）。
• $\phi_{AP}$：測線 $AP$ 之坐標方位角。
• $S$：測站 $A$ 至待測新點 $P$ 之水平距離。

二、 外業測定新點之作業步驟

1. 整置儀器（安置測站與稜鏡）：

• 於已知點 $A$ 架設全站儀，精確進行定心（對中）與整平。量取儀器高 $i$。
• 於已知點 $B$ 與待測新點 $P$ 分別架設反射稜鏡，嚴格整平對準點位，量取稜鏡高。

2. 後視定向（Backsight Orientation）：

• 望遠鏡照準後視已知點 $B$ 之稜鏡中心。
• 將水平度盤讀數配置為零（歸零法），或直接將水平度盤讀數設定為已知方位角 $\phi_{AB}$。

3. 前視觀測（Foresight Observation）：

• 順時針轉動儀器照準待測新點 $P$ 之稜鏡中心。
• 讀取水平角 $\beta$（若後視配置為 $\phi_{AB}$，則直接讀取方位角 $\phi_{AP}$）。
• 啟動全站儀測距功能，測得斜距與天頂距（或垂直角），自動化算並記錄水平距離 $S$。
• 為減小儀器軸系誤差，水平角觀測宜採用正鏡（盤左）、倒鏡（盤右）兩位置取平均值。

三、 新點平面坐標計算公式

1. 計算後視測線 $AB$ 之坐標方位角 $\phi_{AB}$： $\Delta X_{AB} = X_B - X_A, \quad \Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A$ $\phi_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) \quad (\text{依所處象限調整為 } 0^\circ \sim 360^\circ)$

2. 計算前視測線 $AP$ 之坐標方位角 $\phi_{AP}$： $\phi_{AP} = \phi_{AB} + \beta$ （若 $\phi_{AP} \ge 360^\circ$，則扣除 $360^\circ$）

3. 計算新點 $P$ 之平面直角坐標： 坐標增量公式為： $\Delta X_{AP} = S \cos \phi_{AP}$ $\Delta Y_{AP} = S \sin \phi_{AP}$ 新點 $P$ 坐標為： $X_P = X_A + \Delta X_{AP} = X_A + S \cos \phi_{AP}$ $Y_P = Y_A + \Delta Y_{AP} = Y_A + S \sin \phi_{AP}$

四、 距離誤差及角度誤差對新點平面坐標誤差之影響分析

假設已知點 $A, B$ 為精確無誤差之基準點，新點 $P$ 坐標之誤差僅源自外業觀測量：測距平距中誤差 $\sigma_S$，以及測角中誤差 $\sigma_\beta$（即方位角中誤差 $\sigma_{\phi_{AP}} = \sigma_\beta$）。角度單位轉換為弧度，若角度以秒為單位，則 $\sigma_\beta = \frac{\sigma_\beta''}{\rho''}$，其中 $\rho'' \approx 206265''$。測距與測角視為獨立互不相關之隨機變數。

1. 一階微分展開（泰勒級數一階項）

對坐標計算公式進行全微分： $dX_P = \frac{\partial X_P}{\partial S} dS + \frac{\partial X_P}{\partial \beta} d\beta = \cos \phi_{AP} \cdot dS - S \sin \phi_{AP} \cdot d\beta$ $dY_P = \frac{\partial Y_P}{\partial S} dS + \frac{\partial Y_P}{\partial \beta} d\beta = \sin \phi_{AP} \cdot dS + S \cos \phi_{AP} \cdot d\beta$

核心觀念

1. 單點定位（Single Point Positioning, SPP）之定義： 僅使用單一地面 GPS 接收儀，直接接收 4 顆以上衛星發射的測距碼信號（通常為 C/A 碼或 P 碼虛擬距離），藉由「空間距離後方交會」（Space Resection）原理計算測站天線相對於 WGS-84 地球中心坐標系的三維坐標 $(X, Y, Z)$。
2. 靜態測量（Static Mode）機制： 接收儀固定於已知或待定測點上長時間靜止觀測（數分鐘至數小時），透過多歷元（Multi-epoch）連續取樣累積大量多餘觀測量，藉由最小二乘法平差（Least Squares Adjustment）有效濾除與削弱偶然誤差（如隨機雜訊、殘餘多路徑誤差），提升坐標解算精度。
3. 時錶誤差與自由度： 衛星時錶雖受原子鐘控制，但接收儀多採用石英鐘，存在顯著且隨時間變化的鐘差。因此未知數包含 3 個空間坐標未知數與 1 個接收儀鐘差未知數，總計 4 個未知參數，單一歷元至少需同時鎖定 4 顆幾何分佈良好的衛星方能定解。

解題方法

本題為典型概念與公式推導型申論題，答題架構分為兩大部分：第一部分闡述「單點定位靜態測量基本概念」；第二部分推導並列出「非線性觀測方程式」及其「線性化誤差方程式（Taylor Expansion）」。

一、單點定位靜態測量基本概念

1. 測距原理： 衛星在發播信號時刻 $t^s$ 傳送測距碼，接收儀於接收時刻 $t_r$ 記錄該信號，信號傳播時間乘以真空光速 $c$ 即為「虛擬距離」（Pseudorange, $P$）。因接收儀與衛星時錶未嚴格同步，測得之距離包含鐘差等誤差項，故稱「虛擬」距離。
2. 空間幾何交會： 各衛星於空間中的軌道三維坐標 $(X^s, Y^s, Z^s)$ 可由衛星廣播星曆（Broadcast Ephemeris）精確解算為已知值；地面點坐標 $(X_r, Y_r, Z_r)$ 為待定未知數。以衛星為球心、虛擬距離（經鐘差改正後）為半徑繪球，多個球面交會於地面接收儀天線相位中心。
3. 靜態觀測之平差增益： 相較於單歷元動態導航解，靜態測量在點位不變條件下，將多歷元觀測值聯合組成超定方程組（Overdetermined System），以高斯-馬可夫模型（Gauss-Markov Model）進行間接觀測平差，求得測站坐標之最佳無偏估計值。

二、觀測方程式推導與建立

1. 非線性觀測方程式

測站 $r$ 在特定歷元對衛星 $s$ 之虛擬距離觀測方程式表示為：

$P_r^s = \rho_r^s + c \cdot \delta t_r - c \cdot \delta t^s + I_r^s + T_r^s + \varepsilon_r^s$

式中各參數意義如下：

• $P_r^s$：接收儀至衛星之虛擬距離觀測值（公尺）。
• $\rho_r^s$：測站天線至衛星之幾何真距（公尺），其空間歐幾里得距離為： $\rho_r^s = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2}$
• $(X^s, Y^s, Z^s)$：衛星於信號發射歷元之空間直角坐標（由星曆計算求得，為已知值）。
• $(X_r, Y_r, Z_r)$：待定地面測站三維空間直角坐標（未知數）。
• $c$：真空光速（常數，約 $2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}$）。
• $\delta t_r$：接收儀時錶偏差（Receiver Clock Bias，未知數）。
• $\delta t^s$：衛星時錶偏差（Satellite Clock Bias，可由廣播星曆鐘差多項式參數改正為已知值）。
• $I_r^s$：電離層延遲誤差（可利用雙頻觀測組合或 Klobuchar 模型改正）。
• $T_r^s$：對流層延遲誤差（可利用 Hopfield 或 Saastamoinen 模型改正）。
• $\varepsilon_r^s$：多路徑效應、天線相位中心偏差與隨機觀測雜訊等綜合誤差。

將已知的模型化改正項移至等號左側，定義已改正虛擬距離觀測值為：

$\tilde{P}_r^s = P_r^s + c \cdot \delta t^s - I_r^s - T_r^s$

簡化後的非線性觀測方程式為：

$\tilde{P}_r^s = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2} + c \cdot \delta t_r + \varepsilon_r^s$

2. 線性化方程式（泰勒展開）

幾何距離 $\rho_r^s$ 對待定坐標 $(X_r, Y_r, Z_r)$ 為非線性函數，需引入坐標近似值 $(X_{r0}, Y_{r0}, Z_{r0})$ 及時錶等效距離偏差近似值 $d t_{r0} = c \cdot \delta t_{r0}$ 進行一階泰勒展開。

令近似幾何距離為：

$\rho_{r0}^s = \sqrt{(X^s - X_{r0})^2 + (Y^s - Y_{r0})^2 + (Z^s - Z_{r0})^2}$

計算各未知數的一階偏導數（即視線方向餘弦 Direction Cosines）：

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial X_r} \Bigg|_0 = -\frac{X^s - X_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -l_r^s$

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial Y_r} \Bigg|_0 = -\frac{Y^s - Y_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -m_r^s$

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial Z_r} \Bigg|_0 = -\frac{Z^s - Z_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -n_r^s$

$\frac{\partial (c \cdot \delta t_r)}{\partial (c \cdot \delta t_r)} = 1$

設待求參數改正數為：

$x = \begin{bmatrix} \Delta X_r \\ \Delta Y_r \\ \Delta Z_r \\ c \cdot \Delta \delta t_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_r - X_{r0} \\ Y_r - Y_{r0} \\ Z_r - Z_{r0} \\ c \cdot \delta t_r - c \cdot \delta t_{r0} \end{bmatrix}$

對應衛星 $s$ 的線性化誤差方程式（Residual Equation）為：