107 高普考普通考試 測量製圖 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考核三角高程測量（Trigonometric Leveling）​之基本原理與全測站儀（Total Station）之外業施測架構。其核心在於利用全測站儀同時測量「斜距（$S$）」與「垂直角（$\alpha$ 或天頂距 $Z$）」，配合已知測站點高程（$H_A$）、儀器高（$i$）及目標稜鏡高（$t$），透過直角三角形邊角關係推算未知點高程（$H_B$）。長距離觀測時，需納入地球曲率（球差）與大氣折光（氣差）之綜合改正。

解題方法

1. 測量原理幾何示意圖

施測時，將全測站儀整置於已知高程 $H_A$ 之 $A$ 點，量取儀器橫軸中心至地面標石頂之高度 $i$；於未知高程之 $B$ 點架設稜鏡（覘標），量取稜鏡中心至地面標石頂之高度 $t$。以全測站儀照準稜鏡中心，測得斜距 $S$ 及垂直角 $\alpha$（仰角為正、俯角為負）或天頂距 $Z$。

 [稜鏡中心]
 *
 /|
 斜距 S / |
 (照準視線) / |
 / | 垂直距 Δh
 / α | (Δh = S·sinα)
 [儀器中心] O-----+ 水平基準線
 | | |
 | | |
 儀器高 | | | 稜鏡高(覘標高)
 i | | | t
 | | |
 v | v
 =======A=======+=====B======= 水準基準面
 已知點 未知點
 (高程 Ha) (高程 Hb)
 |<--- 平距 D --->|

2. 計算公式推導

(1) 垂直高差分量（$\Delta h$）計算： 由儀器中心至稜鏡中心之直角三角形幾何關係：

• 若觀測量為垂直角 $\alpha$（與水平線夾角，仰角為正、俯角為負）： $\Delta h = S \sin \alpha = D \tan \alpha$
• 若觀測量為天頂距 $Z$（與天頂方向夾角，$\alpha = 90^\circ - Z$）： $\Delta h = S \cos Z = D \cot Z$ 其中平距 $D = S \cos \alpha = S \sin Z$。

(2) 未知點高程（$H_B$）計算基本公式（短距離，忽略球氣差）： $H_B = H_A + i + \Delta h - t$ 帶入垂直角 $\alpha$： $H_B = H_A + i + S \sin \alpha - t$ 或帶入天頂距 $Z$： $H_B = H_A + i + S \cos Z - t$

(3) 長距離綜合球氣差改正公式： 當視線距離較長（通常視距大於 $300\text{ m}$）時，須考慮地球曲率（球差使視線偏高、目標偏低）與大氣折光（氣差使光線下彎、目標偏高）之綜合影響。球氣差綜合改正量 $C$ 定義為： $C = \frac{1-k}{2R} D^2$ 其中 $R$ 為地球平均曲率半徑（約 $6371\text{ km}$），$k$ 為大氣折光係數（一般取 $k \approx 0.13 \sim 0.14$）。 加計球氣差改正後之嚴密公式為： $H_B = H_A + i + S \sin \alpha - t + \frac{1-k}{2R} D^2$

3. 誤差來源分析

三角高程測量之誤差主要可依來源歸納為以下三大類：

核心觀念

本題屬於平面控制測量中的方向距離交會法（又稱方位角與距離交會法，Bearing-Distance Intersection），主要考查以下四大核心觀念與公式：

1. 坐標正算與方位角關係： 在平面直角坐標系統 $(E, N)$ 中，測量方位角 $\phi$ 是以正北方向（$N$ 軸）為基準順時針起算。由測站 $A(E_A, N_A)$ 至目標點 $P(E_P, N_P)$ 之坐標增量公式為： $E_P = E_A + D_{AP} \sin\phi_{AP}$ $N_P = N_A + D_{AP} \cos\phi_{AP}$ 其中方位角之觀測函數關係為： $\tan\phi_{AP} = \frac{E_P - E_A}{N_P - N_A} \quad (\text{且 } E_P - E_A > 0,\, N_P - N_A > 0 \text{ 位於第一象限})$

2. 距離觀測幾何關係： 由測站 $B(E_B, N_B)$ 至目標點 $P(E_P, N_P)$ 之歐氏距離觀測方程式為： $S_{BP} = \sqrt{(E_P - E_B)^2 + (N_P - N_B)^2}$

3. 幾何交會構形與多解性（二義性）： 直線（方向線）與圓（等距離軌跡）相交，在解析幾何上為一元二次方程式，可能產生無實數解、單一相切解或相異雙解。若基線垂距小於圓半徑且半徑小於基線長，幾何上必定產生「雙解」。

4. 平差理論之多餘觀測數（自由度）： 待定參數為 2 個（$E_P, N_P$），觀測量為 2 個（$\phi_{AP}, S_{BP}$），多餘觀測數 $r = n - u = 2 - 2 = 0$。

解題方法

步驟一：列出觀測方程式

設未知點 $P$ 之坐標為 $(E_P, N_P)$。觀測方程式即將觀測量表達為未知參數之數學函數：

1. 方位角觀測方程式（以 $A$ 點為測站）： $\phi_{AP} = \arctan\left(\frac{E_P - E_A}{N_P - N_A}\right) = 60^\circ 00' 00''$ 整理為線性代數關係式： $\frac{E_P - 100.00}{N_P - 20.00} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ 即： $(E_P - 100.00) - \sqrt{3}(N_P - 20.00) = 0 \quad (\text{條件：} E_P > 100.00,\, N_P > 20.00)$

2. 距離觀測方程式（以 $B$ 點為測站）： $S_{BP} = \sqrt{(E_P - E_B)^2 + (N_P - N_B)^2} = 90.00\,\mathrm{m}$ 平方後展開為二次方程式： $(E_P - 100.00)^2 + (N_P - 120.00)^2 = 90.00^2 = 8100.00$

步驟二：聯立求解 $P$ 點坐標

引進參數 $D_{AP}$（$A$ 至 $P$ 之平面距離，且 $D_{AP} > 0$），利用坐標正算將 $P$ 點坐標表示為 $D_{AP}$ 之參數式： $E_P = E_A + D_{AP} \sin 60^\circ = 100.00 + \frac{\sqrt{3}}{2} D_{AP}$ $N_P = N_A + D_{AP} \cos 60^\circ = 20.00 + \frac{1}{2} D_{AP}$

將上述參數式代入距離方程式 $(E_P - 100.00)^2 + (N_P - 120.00)^2 = 8100.00$： $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} D_{AP}\right)^2 + \left[\left(20.00 + \frac{1}{2} D_{AP}\right) - 120.00\right]^2 = 8100.00$ $\frac{3}{4} D_{AP}^2 + \left(\frac{1}{2} D_{AP} - 100.00\right)^2 = 8100.00$ $\frac{3}{4} D_{AP}^2 + \frac{1}{4} D_{AP}^2 - 100.00\, D_{AP} + 10000.00 = 8100.00$ $D_{AP}^2 - 100.00\, D_{AP} + 1900.00 = 0$

解一元二次方程式： $D_{AP} = \frac{-(-100.00) \pm \sqrt{(-100.00)^2 - 4(1)(1900.00)}}{2} = \frac{100.00 \pm \sqrt{10000.00 - 7600.00}}{2} = 50.00 \pm 10\sqrt{6}\,\mathrm{m}$

由於 $10\sqrt{6} \approx 24.4949\,\mathrm{m}$，兩根均為正實數，故本題存在兩組合理實數解：

1. $D_{AP1} = 50.00 + 10\sqrt{6} \approx 74.495\,\mathrm{m}$
2. $D_{AP2} = 50.00 - 10\sqrt{6} \approx 25.505\,\mathrm{m}$

分別計算對應之 $P$ 點平面坐標：

• 第一組解 ($P_1$)： $E_{P1} = 100.00 + (50.00 + 10\sqrt{6}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 100.00 + 25\sqrt{3} + 15\sqrt{2} \approx 100.00 + 43.301 + 21.213 = 164.51\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題旨在測驗國家考試「測量學概要」中，平面控制測量與碎部測量的核心基本功——光線法（Radial Method / 輻射法）之點位測定與誤差傳播分析。涉及之核心觀念包括：

1. 測站整置與後視定向：利用兩個已知點建立基準坐標與基準方位角（方位定向）。
2. 極坐標至二維直角坐標之轉換：藉由觀測水平角（$\beta$）與水平距離（$S$），推算待測點之坐標增量（$\Delta E, \Delta N$）與平面坐標。
3. 誤差傳播定律（Error Propagation Law）：分析觀測量（距離與角度）之偶然誤差，如何經由非線性坐標函數傳播至各坐標分量誤差（$\sigma_E, \sigma_N$）及點位誤差（$\sigma_P$），並探討縱向（徑向）誤差與橫向（切向）誤差之幾何特性。

解題方法

一、幾何示意圖

設有兩個互相通視之已知平面控制點 $A(E_A, N_A)$ 與 $B(E_B, N_B)$，於 $A$ 點架設全站儀，後視 $B$ 點，前視測定新點 $P(E_P, N_P)$。

 N (北)
 ↑
 | • P (新點: Ep, Np)
 | /
 | / S (水平距離)
 | /
 | / 
 | / ) β (水平夾角)
 | /
 | • A (測站已知點: EA, NA)
 | / 
 | / 
 | / 
 | • B (後視已知點: EB, NB)
 +----------------------------→ E (東)

• $A(E_A, N_A)$：測站點（儀器架設點）
• $B(E_B, N_B)$：後視基準點
• $P(E_P, N_P)$：待測新點
• $\phi_{AB}$：測站 $A$ 至後視點 $B$ 之已知坐標方位角
• $\phi_{AP}$：測站 $A$ 至新點 $P$ 之待求坐標方位角
• $\beta$：由方向線 $AB$ 順時針旋轉至方向線 $AP$ 之水平夾角
• $S$：測站 $A$ 至新點 $P$ 之水平距離

二、光線法測定新點之作業步驟

1. 儀器架設與整置（定心、定平）：

• 於已知點 $A$ 架設全站儀，利用光學（或雷射）求心器精準對準點位中心（定心）。
• 調整腳架與基座腳螺栓，依據圓氣泡與管狀水準氣泡（或電子雙軸補償水準器）使儀器精確水平（定平）。
• 於已知點 $B$ 與待測新點 $P$ 架設稜鏡，使稜鏡中心嚴格鉛垂於標石中心。

2. 後視定向（準照後視點）：

• 望遠鏡瞄準後視已知點 $B$ 之稜鏡中心。
• 將水平度盤設置為零度（$0^\circ00'00''$，歸零法），或直接置入 $A$ 至 $B$ 之已知坐標方位角 $\phi_{AB}$（方位角法）。
• 進行正鏡（盤左）與倒鏡（盤右）觀測取平均，以消除儀器視準軸誤差、橫軸傾斜誤差等盤面系統誤差。

3. 前視觀測（照準新點）：

• 順時針轉動照準儀，瞄準待測新點 $P$ 之稜鏡中心。
• 讀取水平度盤讀數，計算由 $AB$ 轉至 $AP$ 之水平夾角 $\beta$（若直接置入方位角則直接讀取 $\phi_{AP}$）。
• 啟動測距功能，量測斜距與天頂距（或垂直角），全站儀內部自動進行傾斜改正與氣象改正（大氣折光與地球曲率改正），計算得測站 $A$ 至新點 $P$ 之水平距離 $S$。

4. 檢核作業：

• 重新照準後視已知點 $B$（歸零檢核），確認水平度盤讀數變動量在容許誤差範圍內（通常在 $\pm 5''$ 以內），確保測站無鬆動或旋轉位移。

三、新點平面坐標之計算公式

1. 計算後視邊方位角 $\phi_{AB}$： 依據已知點 $A(E_A, N_A)$ 與 $B(E_B, N_B)$ 坐標計算反算方位角： $\phi_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{E_B - E_A}{N_B - N_A}\right)$ （計算時須根據 $\Delta E_{AB} = E_B - E_A$ 與 $\Delta N_{AB} = N_B - N_A$ 之正負符號判斷象限，轉換為 $0^\circ \sim 360^\circ$ 之方位角）。

2. 計算前視邊方位角 $\phi_{AP}$： 由後視方位角加上順時針觀測之水平夾角 $\beta$： $\phi_{AP} = \phi_{AB} + \beta$ （若計算值大於 $360^\circ$，則減去 $360^\circ$；若小於 $0^\circ$，則加上 $360^\circ$）。

3. 計算平面坐標增量 $\Delta E_{AP}$、$\Delta N_{AP}$： $\Delta E_{AP} = S \sin\phi_{AP}$ $\Delta N_{AP} = S \cos\phi_{AP}$

4. 計算新點 $P$ 平面坐標： $E_P = E_A + \Delta E_{AP} = E_A + S \sin\phi_{AP}$ $N_P = N_A + \Delta N_{AP} = N_A + S \cos\phi_{AP}$

四、距離誤差及角度誤差對新點平面坐標誤差之影響分析

假設已知點 $A$ 之坐標及已知方位角 $\phi_{AB}$ 視為無誤差，新點 $P$ 坐標之誤差完全由觀測水平距離之誤差 $dS$ 與觀測水平角（方位角）之誤差 $d\phi$ 引起（其中 $d\phi = d\beta$，其單位化為弧度 $\text{rad}$）。

1. 全微分關係式

對坐標計算公式取全微分： $dE_P = \frac{\partial E_P}{\partial S} dS + \frac{\partial E_P}{\partial \phi} d\phi = \sin\phi_{AP} \cdot dS + S \cos\phi_{AP} \cdot d\phi$ $dN_P = \frac{\partial N_P}{\partial S} dS + \frac{\partial N_P}{\partial \phi} d\phi = \cos\phi_{AP} \cdot dS - S \sin\phi_{AP} \cdot d\phi$

2. 坐標分量之中誤差

設測距中誤差為 $\sigma_S$，測角中誤差為 $\sigma_\beta$（以秒為單位時寫為 $\sigma_\beta''$，弧度為 $\sigma_\phi = \frac{\sigma_\beta''}{\rho''}$，其中 $\rho'' \approx 206265''$），且假設測距與測角互相獨立（協方差 $\sigma_{S\beta} = 0$）。依據誤差傳播定律：

核心觀念

1. 單點定位（Single Point Positioning, SPP）之定義： 僅使用單一地面 GPS 接收儀，直接接收 4 顆以上衛星發射的測距碼信號（通常為 C/A 碼或 P 碼虛擬距離），藉由「空間距離後方交會」（Space Resection）原理計算測站天線相對於 WGS-84 地球中心坐標系的三維坐標 $(X, Y, Z)$。
2. 靜態測量（Static Mode）機制： 接收儀固定於已知或待定測點上長時間靜止觀測（數分鐘至數小時），透過多歷元（Multi-epoch）連續取樣累積大量多餘觀測量，藉由最小二乘法平差（Least Squares Adjustment）有效濾除與削弱偶然誤差（如隨機雜訊、殘餘多路徑誤差），提升坐標解算精度。
3. 時錶誤差與自由度： 衛星時錶雖受原子鐘控制，但接收儀多採用石英鐘，存在顯著且隨時間變化的鐘差。因此未知數包含 3 個空間坐標未知數與 1 個接收儀鐘差未知數，總計 4 個未知參數，單一歷元至少需同時鎖定 4 顆幾何分佈良好的衛星方能定解。

解題方法

本題為典型概念與公式推導型申論題，答題架構分為兩大部分：第一部分闡述「單點定位靜態測量基本概念」；第二部分推導並列出「非線性觀測方程式」及其「線性化誤差方程式（Taylor Expansion）」。

一、單點定位靜態測量基本概念

1. 測距原理： 衛星在發播信號時刻 $t^s$ 傳送測距碼，接收儀於接收時刻 $t_r$ 記錄該信號，信號傳播時間乘以真空光速 $c$ 即為「虛擬距離」（Pseudorange, $P$）。因接收儀與衛星時錶未嚴格同步，測得之距離包含鐘差等誤差項，故稱「虛擬」距離。
2. 空間幾何交會： 各衛星於空間中的軌道三維坐標 $(X^s, Y^s, Z^s)$ 可由衛星廣播星曆（Broadcast Ephemeris）精確解算為已知值；地面點坐標 $(X_r, Y_r, Z_r)$ 為待定未知數。以衛星為球心、虛擬距離（經鐘差改正後）為半徑繪球，多個球面交會於地面接收儀天線相位中心。
3. 靜態觀測之平差增益： 相較於單歷元動態導航解，靜態測量在點位不變條件下，將多歷元觀測值聯合組成超定方程組（Overdetermined System），以高斯-馬可夫模型（Gauss-Markov Model）進行間接觀測平差，求得測站坐標之最佳無偏估計值。

二、觀測方程式推導與建立

1. 非線性觀測方程式

測站 $r$ 在特定歷元對衛星 $s$ 之虛擬距離觀測方程式表示為：

$P_r^s = \rho_r^s + c \cdot \delta t_r - c \cdot \delta t^s + I_r^s + T_r^s + \varepsilon_r^s$

式中各參數意義如下：

• $P_r^s$：接收儀至衛星之虛擬距離觀測值（公尺）。
• $\rho_r^s$：測站天線至衛星之幾何真距（公尺），其空間歐幾里得距離為： $\rho_r^s = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2}$
• $(X^s, Y^s, Z^s)$：衛星於信號發射歷元之空間直角坐標（由星曆計算求得，為已知值）。
• $(X_r, Y_r, Z_r)$：待定地面測站三維空間直角坐標（未知數）。
• $c$：真空光速（常數，約 $2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}$）。
• $\delta t_r$：接收儀時錶偏差（Receiver Clock Bias，未知數）。
• $\delta t^s$：衛星時錶偏差（Satellite Clock Bias，可由廣播星曆鐘差多項式參數改正為已知值）。
• $I_r^s$：電離層延遲誤差（可利用雙頻觀測組合或 Klobuchar 模型改正）。
• $T_r^s$：對流層延遲誤差（可利用 Hopfield 或 Saastamoinen 模型改正）。
• $\varepsilon_r^s$：多路徑效應、天線相位中心偏差與隨機觀測雜訊等綜合誤差。

將已知的模型化改正項移至等號左側，定義已改正虛擬距離觀測值為：

$\tilde{P}_r^s = P_r^s + c \cdot \delta t^s - I_r^s - T_r^s$

簡化後的非線性觀測方程式為：

$\tilde{P}_r^s = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2} + c \cdot \delta t_r + \varepsilon_r^s$

2. 線性化方程式（泰勒展開）

幾何距離 $\rho_r^s$ 對待定坐標 $(X_r, Y_r, Z_r)$ 為非線性函數，需引入坐標近似值 $(X_{r0}, Y_{r0}, Z_{r0})$ 及時錶等效距離偏差近似值 $d t_{r0} = c \cdot \delta t_{r0}$ 進行一階泰勒展開。

令近似幾何距離為：

$\rho_{r0}^s = \sqrt{(X^s - X_{r0})^2 + (Y^s - Y_{r0})^2 + (Z^s - Z_{r0})^2}$

計算各未知數的一階偏導數（即視線方向餘弦 Direction Cosines）：

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial X_r} \Bigg|_0 = -\frac{X^s - X_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -l_r^s$

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial Y_r} \Bigg|_0 = -\frac{Y^s - Y_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -m_r^s$

$\frac{\partial \rho_r^s}{\partial Z_r} \Bigg|_0 = -\frac{Z^s - Z_{r0}}{\rho_{r0}^s} = -n_r^s$

$\frac{\partial (c \cdot \delta t_r)}{\partial (c \cdot \delta t_r)} = 1$

設待求參數改正數為：

$x = \begin{bmatrix} \Delta X_r \\ \Delta Y_r \\ \Delta Z_r \\ c \cdot \Delta \delta t_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_r - X_{r0} \\ Y_r - Y_{r0} \\ Z_r - Z_{r0} \\ c \cdot \delta t_r - c \cdot \delta t_{r0} \end{bmatrix}$

對應衛星 $s$ 的線性化誤差方程式（Residual Equation）為：