107 高普考普通考試 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量測量平差中參數估計值的統計特性與誤差傳播分析，核心觀念包含：

1. 參數相關（Parameter Correlation）：在最小二乘平差解算中，待定參數之估計值為隨機變數。當兩參數間的估計誤差不相互獨立，存在某種伴隨變化的線性相依關係時，即稱為參數相關。
2. 共變方差矩陣（Covariance Matrix）：由間接平差求得之參數解 $\hat{X} = (A^T P A)^{-1} A^T P L$ 其共變方差矩陣為： $\Sigma_{\hat{X}\hat{X}} = \sigma_0^2 Q_{\hat{X}\hat{X}} = \sigma_0^2 (A^T P A)^{-1}$ 式中，對角線元素 $\sigma_i^2 = \sigma_0^2 q_{ii}$ 為參數 $X_i$ 的方差（Variance）；非對角線元素 $\sigma_{ij} = \sigma_0^2 q_{ij}$ 為參數 $X_i$ 與 $X_j$ 的共變方差（Covariance）。
3. 相關係數（Correlation Coefficient）：將共變方差標準化（去除量綱）後的無因次統計指標，用以定量描述兩隨機變數間線性相關程度與方向。

解題方法

一、參數相關（Correlated）之定義

1. 統計學意涵： 在平差模型中，設有兩待定參數估計值 $\hat{X}_i$ 與 $\hat{X}_j$，若兩者之共變方差不為零，即： $\text{Cov}(\hat{X}_i, \hat{X}_j) = \sigma_{ij} \neq 0$ 則稱此兩參數在統計上具有相關性（Correlated）。此時兩參數並非相互獨立，一個參數估計誤差的大小與正負，會伴隨並影響另一個參數估計誤差的分布。
2. 測量幾何意涵： 在測量控制網或觀測條件中，參數相關通常源於網形幾何結構不良或觀測幾何約束不足（例如交會角過於尖銳或平鈍）。此時調整某一參數的數值，會直接牽動另一參數以滿足觀測條件方程式，使得單一參數無法被獨立、精準地分離測定。

二、判斷參數相關性之統計指標

指示參數間相關性的標準統計指標為相關係數（Correlation Coefficient），通常以符號 $\rho_{ij}$（或樣本符號 $r_{ij}$）表示。其數學計算公式如下： $\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i \cdot \sigma_j} = \frac{\sigma_0^2 q_{ij}}{\sqrt{\sigma_0^2 q_{ii}} \cdot \sqrt{\sigma_0^2 q_{jj}}} = \frac{q_{ij}}{\sqrt{q_{ii} \cdot q_{jj}}}$

• $\sigma_{ij}$：參數 $X_i$ 與 $X_j$ 之共變方差（Covariance）。
• $\sigma_i, \sigma_j$：分別為參數 $X_i$ 與 $X_j$ 之標準差（中誤差）。
• $q_{ij}, q_{ii}, q_{jj}$：參數權逆陣（協因數陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = (A^T P A)^{-1}$）中對應的行列元素。
• $\sigma_0^2$：單位權方差（在分子與分母中可完全相消，故相關係數純粹取決於法方程式矩陣之幾何結構）。

三、如何利用該指標判定參數之相關性高低

相關係數之取值範圍滿足 Cauchy-Schwarz 不等式，其界限為 $-1 \le \rho_{ij} \le 1$。判定標準依符號與絕對值區分如下：

核心觀念

本題考核測量平差法之基礎核心——同測站角度觀測之「條件平差法」（Condition Adjustment）。

1. 觀測量數與幾何自由度：

• 測站共發出 4 條方向線（測線），由幾何定義可知，4 條方向線構成的獨立夾角數（即必要觀測數）為 $u = 4 - 1 = 3$。
• 題目給定 5 個角度觀測量 $a_1 \sim a_5$（觀測數 $n = 5$），各觀測量獨立且等權（權矩陣 $P = I$）。
• 多餘觀測數（自由度）為 $r = n - u = 5 - 3 = 2$，因此平差系統存在 2 個獨立的幾何條件方程式。

2. 幾何條件關係判定： 依據測量製圖幾何配置，4 條方向線由西向東依序展開：第 1 條為西北測線、第 2 條為正北方向、第 3 條為東北中間測線、第 4 條為正東方向。 各角度觀測量之組合關係為：

• $a_1$ 為西北測線至正北之夾角；
• $a_2$ 為正北至東北測線之夾角；
• $a_3$ 為東北測線至正東之夾角；
• $a_4$ 為西北測線至東北測線之大夾角（涵蓋 $a_1$ 與 $a_2$）；
• $a_5$ 為正北至正東之夾角（涵蓋 $a_2$ 與 $a_3$）。 平差後各角度估計值 $\hat{a}_i$ 必須嚴格滿足幾何閉合條件：

3. 最小二乘條件平差原理： 設各角度之改正數為 $v_i$，則平差值 $\hat{a}_i = a_i + v_i$。在等權條件下，平差目標為使改正數平方和最小（$\sum v_i^2 = \min$）。 利用拉格朗日乘子法（連繫數法）解法方程式： $B V + W = 0$ $M K + W = 0 \implies K = -M^{-1} W$ $V = B^T K$ 其中 $B$ 為條件方程式係數矩陣，$W$ 為閉合差向量，$M = B B^T$ 為法方程式係數矩陣，$K$ 為連繫數向量。

解題方法

步驟一：列出條件方程式與計算閉合差

設各角平差值為 $\hat{a}_i = a_i + v_i$（$i = 1, 2, 3, 4, 5$），滿足下列兩條件式：

整理為含改正數 $v$ 與閉合差 $w$ 之形式：

代入觀測值計算閉合差 $w_1$ 與 $w_2$： $w_1 = a_1 + a_2 - a_4 = 23.56^\circ + 56.89^\circ - 80.42^\circ = 80.45^\circ - 80.42^\circ = +0.03^\circ$ $w_2 = a_2 + a_3 - a_5 = 56.89^\circ + 33.13^\circ - 90.02^\circ = 90.02^\circ - 90.02^\circ = 0.00^\circ$

閉合差向量： $W = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} +0.03^\circ \\ 0.00^\circ \end{bmatrix}$

步驟二：建立矩陣方程式

條件式之矩陣形式為 $B V + W = 0$，其中：

因等權觀測，權矩陣 $P = I_{5\times 5}$，法方程式係數矩陣 $M = B P^{-1} B^T = B B^T$：

步驟三：求解法方程式（求連繫數 $K$）

求矩陣 $M$ 之反矩陣 $M^{-1}$： $\det(M) = 3 \times 3 - 1 \times 1 = 8$ $M^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

求解連繫數 $K = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix} = -M^{-1} W$：

步驟四：計算各角度改正數 $V$

利用 $V = B^T K$ 計算各觀測量之改正數：

核心觀念

本題評量之核心為誤差傳播定律（Law of Error Propagation）​與微積分之條件極值應用：

1. 線性函數之誤差傳播： 若觀測量 $x_1, x_2$ 互為獨立（協變異數 $\sigma_{x_1 x_2} = 0$），函數 $y = f(x_1, x_2)$ 之變異數傳播公式為： $\sigma_y^2 = \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)^2 \sigma_{x_1}^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)^2 \sigma_{x_2}^2$
2. 常數項之性質： 關係式中之固定常數（$+9$）不具隨機變異性，其偏導數為零，對函數之隨機誤差傳播無貢獻。
3. 條件極值求解： 欲使隨機誤差 $\sigma_y$ 最小化，等價於使變異數 $\sigma_y^2$ 最小化。在滿足條件約束式（$a + b = 8$）下，可採代入消去法或拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）​求一階導數為零之極值解。

解題方法

步驟一：建立隨機誤差（變異數）傳播方程式

已知關係式為： $y = ax_1 + bx_2 + 9$

分別對隨機變數 $x_1$ 與 $x_2$ 偏微分： $\frac{\partial y}{\partial x_1} = a,\qquad \frac{\partial y}{\partial x_2} = b,\qquad \frac{\partial y}{\partial (9)} = 0$

題旨未特別提及兩觀測量之相關性，依測量平差常規假設 $x_1$ 與 $x_2$ 為獨立觀測量（$\sigma_{x_1 x_2} = 0$）。依誤差傳播定律，其變異數為： $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_{x_1}^2 + b^2 \sigma_{x_2}^2$

代入已知標準差 $\sigma_{x_1} = 1.0$ 與 $\sigma_{x_2} = 0.5$： $\sigma_y^2 = a^2(1.0)^2 + b^2(0.5)^2 = a^2 + 0.25b^2$

步驟二：利用限制條件消元

已知約束條件為： $a + b = 8 \implies b = 8 - a$

核心觀念

1. 自由度（Degrees of Freedom, $df$ 或 $r$）： 在測量平差中，自由度又稱「多餘觀測數（Number of Redundant Observations）」。其本質為幾何上與統計上的雙重概念：

• 幾何意涵：為確定未知幾何模型或幾何圖形所需的「必要觀測數（$n_0$）」之外，所額外進行的多餘獨立觀測個數。此多餘量使模型具備自我檢核能力與閉合差計算基礎。
• 統計意涵：在平差後評估母體單位權變異數（$\sigma_0^2$）時，殘差平方和（$V^T P V$）所對應的獨立自由變動維度，在統計推論中作為卡方分佈（$\chi^2$）與 $t$ 分佈的自由度母數。

2. 自由度與觀測量個數之關係式： 設總獨立觀測量個數為 $n$，必要觀測量個數為 $n_0$，獨立待定未知參數個數為 $u$：

• 在無多餘未知數的一般參數平差模型中，必要觀測數 $n_0 = u$，自由度為： $r = n - u = n - n_0$
• 在條件平差模型中，條件方程式之個數即等於自由度： $r = c = n - n_0$
• 若為附有 $s$ 個幾何拘束條件之參數平差模型： $r = n - u + s$

3. 平差解之精度矩陣（共變方差矩陣）： 參數平差中未知數估計值 $\hat{X}$ 之共變方差矩陣為： $\Sigma_{\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 \cdot N^{-1} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1}$ 其中：

• 後驗單位權中誤差估計值：$\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{r}}$
• $A$ 為設計矩陣（Design Matrix），反映網形幾何結構。
• $P$ 為觀測量之權矩陣（Weight Matrix），反映觀測量之先驗精度。
• $N = A^T P A$ 為法方程式係數矩陣。

解題方法

一、自由度之意義

1. 提供幾何檢核與消除矛盾： 若觀測量個數 $n$ 恰好等於必要觀測量個數 $n_0$（即 $r = 0$），系統恰有一組唯一解。此時無法偵測觀測量中是否存在粗差，亦無法計算閉合差；當 $n > n_0$（即 $r > 0$）時，產生多餘觀測，觀測量間存在幾何矛盾，平差法（如最小二乘法）利用此幾何不符值求取最佳推估值，並能進行殘差分析與粗差偵測。
2. 作為統計檢定與後驗精度評估的基準： 在最小二乘平差中，觀測量的殘差向量 $V$ 並非完全獨立，其受幾何條件約束，獨立的自由維度即為 $r$。計算後驗單位權變異數時，自由度 $r$ 作為分母的除數（$\hat{\sigma}_0^2 = \frac{V^T P V}{r}$），為不偏估計量（Unbiased Estimator）之必要條件。此外，$r$ 越大，在假設檢定中的臨界值越低，檢定力（Power of Test）越高。

二、自由度與觀測量個數間的關係

1. 正比關係： 在固定幾何待定目標（即未知數個數 $u$ 或必要觀測數 $n_0$ 維持不變）的前提下，自由度 $r$ 與總觀測量個數 $n$ 呈嚴格的一對一線性遞增關係： $r = n - u$ 每增加一個獨立觀測量，$n$ 增加 $1$，自由度 $r$ 即同步增加 $1$。
2. 相依觀測量之限制： 增加的觀測量必須具備「幾何獨立性」。若新增加的觀測量為現有觀測量的嚴格線性組合（例如重複測量同一條邊卻未視為獨立觀測，或測量無助於解算未知數之附屬冗餘量且未引入幾何關聯），則設計矩陣的秩（Rank）不增加，實質自由度不變。

三、自由度越高，成果精度是否必然越佳？

結論：不必然越佳。

平差解算成果的精度（以未知數之共變方差矩陣 $\Sigma_{\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1}$ 表示），並非僅由自由度 $r$ 單一決定，而是由「觀測量本身品質」、「網形幾何結構（網形強度）」與「觀測量權分配」綜合決定。深入剖析如下：

1. 觀測量品質劣化之反效果（引入低精度觀測值）： 若增加的觀測量精度極差（先驗變異數極大）或混入粗差、未改正之系統誤差，會使殘差平方和 $V^T P V$ 急遽膨脹，造成後驗單位權中誤差 $\hat{\sigma}_0$ 顯著增大，導致最終參數共變方差矩陣