111 高普考普通考試 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量測量平差法之基礎核心觀念，涵蓋三大重點：

1. 測量誤差之分類與特性：

• 系統誤差（Systematic Errors）：在相同觀測條件下，其大小與正負號遵循確定之物理、幾何規律或數學函數關係，具備「累積性」。可藉由儀器檢校、對稱觀測程序（如正倒鏡觀測）或數學公式改正消除。
• 偶然誤差（隨機誤差，Random Errors）：由微小且不可控之外界環境與人體感官限制等隨機因素所引起。個別觀測值之誤差無特定規律，但在大量觀測下服從常態分佈（高斯分佈），具備對稱性、單峰性、有界性與抵消性。無法完全消除，須以最小二乘平差求取最或是值並評定精度。
• 粗差（過失，Gross Errors）：因觀測者粗心、記錄錯誤、視差未消除或外界劇烈干擾所致。其數值顯著超出偶然誤差之正常範圍（通常大於 $3\sigma$），無規律可循。平差前必須進行檢核並「予以剔除」，絕不可計入平差計算。

2. 抗粗差統計量（中位數）：

• 中位數（Median）：將資料按大小排序後居於中間位置之數值。具備高度強健性（Robustness），不易受極端值或粗差影響。

3. 等權獨立觀測平差公式：

• 最或是值（算術平均值 $\hat{x}$）： $\hat{x} = \frac{\sum l_i}{n}$
• 殘差（改正數 $v_i$）： $v_i = l_i - \hat{x} \quad (\text{滿足 } \sum v_i = 0)$
• 觀測精度（單一觀測值中誤差 $m$）：採用貝塞爾公式（Bessel's Formula） $m = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}}$
• 最或是值中誤差（$m_{\hat{x}}$）： $m_{\hat{x}} = \pm \frac{m}{\sqrt{n}}$

解題方法

一、 測量誤差之三類及其特性說明

測量儀器觀測所得資料中，可能含有以下三類誤差：

1. 粗差（過失）：

• 特性：誤差值遠超出容許限差，無統計分佈規律，多由人為疏失或突發干擾所致。
• 處置：平差計算前須嚴格檢查並將其剔除，不可參與後續計算。

2. 系統誤差：

• 特性：在固定觀測條件下具一定規律性與累積性，大小與符號保持恆定或隨條件呈函數變化。
• 處置：藉由儀器檢校、觀測法（如正倒鏡平均）對消，或加入改正公式扣除。

3. 偶然誤差：

• 特性：具隨機性，各次誤差無法預測，但在大量觀測樣本下服從常態分佈特性（小誤差出現機率大於大誤差、正負誤差出現機率均等、誤差極限存在、誤差總和之極限趨近於零）。
• 處置：無法消除，透過平差法求取最或是值，並以中誤差評定其精度。

二、 本組資料之誤差類別分析與資料篩選

已知全測站儀某一方向之 6 筆觀測讀數為： $359^\circ59'58''、350^\circ59'59''、359^\circ59'59''、0^\circ0'0''、359^\circ59'58''、359^\circ59'59''$

1. 誤差類別辨識：

• 粗差：觀測值 $350^\circ59'59''$ 與其餘觀測值（均集中於 $360^\circ$ 附近）偏差高達約 $9^\circ$（$32,400''$），顯係觀測者誤讀或誤記度盤度數（將 $359^\circ$ 誤記為 $350^\circ$），屬於粗差。
• 偶然誤差：其餘 5 筆讀數圍繞在 $360^\circ00'00''$ 上下呈現小幅隨機跳動（$-2'' \sim 0''$），屬於偶然誤差。
• 系統誤差：若儀器視準軸、水平軸或度盤偏心未達完全校正，讀數中可能潛在帶有微小系統誤差；但在單一方向且無其他盤位對稱觀測資料下，無法分離出系統誤差。

2. 平差前置處理： 平差原理規定粗差必須先行剔除。故後續平差計算應剔除 $350^\circ59'59''$，取其餘 $n = 5$ 筆有效觀測值進行計算。

三、 數據計算步驟（四捨五入至整數秒小數點下一位）

1. 中位數（Median）計算

將觀測值按數值大小進行遞增排序。因 $0^\circ00'00''$ 即為 $360^\circ00'00''$：

• 以原始 6 筆資料計算（展現中位數之抗粗差性）： 排序為：$350^\circ59'59'' < 359^\circ59'58'' \le 359^\circ59'58'' < 359^\circ59'59'' \le 359^\circ59'59'' < 360^\circ00'00''$ 觀測個數 $n = 6$（偶數），中位數取第 3 與第 4 項之平均值： $\text{中位數} = \frac{359^\circ59'58'' + 359^\circ59'59''}{2} = 359^\circ59'58.5''$
• 以剔除粗差後之 5 筆有效資料計算： 排序為：$359^\circ59'58'' \le 359^\circ59'58'' < 359^\circ59'59'' \le 359^\circ59'59'' < 360^\circ00'00''$

核心觀念

本題融合「平面直角坐標反算方位角」、「導線方位角推算」與「誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）」三大測量平差基礎核心：

1. 坐標反算方位角（Coordinate Inverse Problem）： 平面直角坐標系統中，以北方為基準（$0^\circ$），順時鐘方向計量之夾角為方位角 $\phi$。由測線起點 $A(E_A, N_A)$ 至終點 $B(E_B, N_B)$ 之增量為： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A, \quad \Delta N_{AB} = N_B - N_A$ 象限角 $R = \arctan\left(\left|\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right|\right)$，再依坐標增量之正負符號化算為全圓方位角 $\phi_{AB}$。
2. 導線方位角推算（Azimuth Propagation）： 在測站架站觀測順時鐘折角（右角 $\beta$），推算前視測線之方位角通式為： $\phi_{\text{前}} = \phi_{\text{後}} \pm 180^\circ + \beta$ （若結果 $\ge 360^\circ$ 則減去 $360^\circ$；若 $< 0^\circ$ 則加上 $360^\circ$）。
3. 誤差傳播定律（線性函數）： 設各觀測量彼此獨立（互不相關，協方差 $\sigma_{ij} = 0$），若待求量 $Y$ 為觀測量 $X_i$ 之線性組合 $Y = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \dots + c$，則其方差為： $\sigma_Y^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial Y}{\partial X_i}\right)^2 \sigma_{X_i}^2$

解題方法

一、點位坐標定義說明與基準方位角 $\phi_{AB}$ 計算

平面坐標點對依測量學通用直角坐標慣例，第一分量為東坐標（橫坐標 $E$）、第二分量為北坐標（縱坐標 $N$）：

• $A$ 點：$(E_A, N_A) = (900.000\ \mathrm{m}, 1250.000\ \mathrm{m})$
• $B$ 點：$(E_B, N_B) = (1000.000\ \mathrm{m}, 1000.000\ \mathrm{m})$

計算 $A \to B$ 坐標增量： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 1000.000 - 900.000 = +100.000\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 1000.000 - 1250.000 = -250.000\ \mathrm{m}$

判斷所在象限： $\Delta E > 0$（向東）且 $\Delta N < 0$（向南），測線 $AB$ 位於第四象限（東南東南偏南方向，即 SE 象限）。

計算象限角 $R$： $R = \arctan\left(\left|\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right|\right) = \arctan\left(\frac{100.000}{250.000}\right) = \arctan(0.4) \approx 21.801409^\circ = 21^\circ 48' 05.07''$

化算為全圓方位角 $\phi_{AB}$： $\phi_{AB} = 180^\circ - R = 180^\circ - 21^\circ 48' 05.07'' = 158^\circ 11' 54.93'' \approx 158^\circ 11' 55''$

二、相關點位略圖

點位展點幾何關係如下：$A$ 點位於左上方，$B$ 點位於右下方，測線 $AB$ 往東南方延伸；在 $B$ 點順鐘向旋轉約 $198^\circ$ 抵達接近正南方之 $C$ 點；在 $C$ 點順鐘向旋轉約 $193^\circ 30'$ 抵達南南西方之 $D$ 點。

 北方 ↑
 |
 A (900, 1250) |
 * |
 \ |
 \ φ_AB = 158°11'55"
 \ |
 \ |
 *------v------------------
 B (1000, 1000)
 | \
 | ) ∠ABC = 197°59'59" (順鐘向)
 | /
 | 
 | φ_BC = 176°11'54"
 |
 * C
 \ \
 \ ) ∠BCD = 193°29'59" (順鐘向)
 \ /
 \ 
 \ φ_CD = 189°41'53"
 \
 * D

三、推算各測線方位角

1. 求 $BC$ 方位角 ($\phi_{BC}$)：

• 測站架於 $B$，後視 $A$ 點之反方位角： $\phi_{BA} = \phi_{AB} + 180^\circ = 158^\circ 11' 54.93'' + 180^\circ = 338^\circ 11' 54.93''$
• 順時鐘方向觀測折角 $\angle ABC = 197^\circ 59' 59''$，前視 $C$ 之方位角為： $\phi_{BC} = \phi_{BA} + \angle ABC - 360^\circ = 338^\circ 11' 54.93'' + 197^\circ 59' 59'' - 360^\circ$ $\phi_{BC} = 536^\circ 11' 53.93'' - 360^\circ = 176^\circ 11' 53.93'' \approx 176^\circ 11' 54''$

2. 求 $CD$ 方位角 ($\phi_{CD}$)：

• 測站架於 $C$，後視 $B$ 點之反方位角： $\phi_{CB} = \phi_{BC} + 180^\circ = 176^\circ 11' 53.93'' + 180^\circ = 356^\circ 11' 53.93''$
• 順時鐘方向觀測折角 $\angle BCD = 193^\circ 29' 59''$，前視 $D$ 之方位角為： $\phi_{CD} = \phi_{CB} + \angle BCD - 360^\circ = 356^\circ 11' 53.93'' + 193^\circ 29' 59'' - 360^\circ$ $\phi_{CD} = 549^\circ 41' 52.93'' - 360^\circ = 189^\circ 41' 52.93'' \approx 189^\circ 41' 53''$

四、方位角之中誤差推導與計算

題目已知：

• $\sigma_{\phi_{AB}} = \pm 3.0''$
• $\sigma_{\angle ABC} = \pm 3.0''$
• $\sigma_{\angle BCD} = \pm 3.0''$ 各角度觀測量彼此獨立不相關。

核心觀念

本題涵蓋「測量平差法」中兩大基礎模型之理論比較與單一未知數之直接觀測平差（加權平均值）計算，核心觀念包含：

1. 平差模型本質：

• 直接觀測平差：直接對欲求之單一未知量進行重複觀測，未知數即為觀測量的最妥值（平差值）。
• 間接觀測平差（參數平差）：欲求之多個未知參數無法直接測得，透過觀測量與未知參數間之幾何／物理函數關係建立觀測方程式進行平差。
• 二者關聯：直接觀測平差為間接觀測平差在「未知數個數 $u=1$ 且設計矩陣 $\mathbf{A} = [1, 1, \dots, 1]^T$」時之特例。

2. 最小二乘原理：平差準則皆為加權殘差平方和最小，即 $\sum p_i v_i^2 = \mathbf{V}^T \mathbf{P} \mathbf{V} = \min$。
3. 觀測方程式與權之定義：

• 觀測方程式基本形式為：$\hat{L}_i = L_i + v_i = f(\hat{x})$，其中 $L_i$ 為觀測值、$v_i$ 為改正數、$\hat{x}$ 為最妥值。
• 加權平均值（最妥值）： $\hat{x} = \frac{\sum p_i L_i}{\sum p_i}$

4. 精度評定公式：

• 單位權中誤差（標準差）： $m_0 = \sqrt{\frac{\sum p_i v_i^2}{n - 1}}$
• 最妥值中誤差： $m_x = \frac{m_0}{\sqrt{P_x}} = \frac{m_0}{\sqrt{\sum p_i}} = \sqrt{\frac{\sum p_i v_i^2}{(n-1)\sum p_i}}$

解題方法

一、直接觀測平差與間接觀測平差之異同

1. 相同點：

• 理論基礎相同：兩者皆奠基於最小二乘法（Least Squares Principle），目標皆為使觀測量改正數的加權平方和達到極小（$\sum p v^2 = \min$）。
• 平差目的相同：皆在消除因「多餘觀測」（Redundant observations）所造成的幾何矛盾，求解未知量的最概然值（最妥值），並對平差結果進行精度評定（中誤差估計）。
• 統計性質相同：在隨機誤差服從常態分佈之假設下，平差求解所得皆具備最佳線性不偏估計（BLUE）之特性。

2. 相異點：

二、列出觀測方程式

給定兩點高差之平差值為 $x$，四段水準高差觀測值分別為： $L_1 = -1.253\ \mathrm{m},\quad L_2 = -1.250\ \mathrm{m},\quad L_3 = -1.247\ \mathrm{m},\quad L_4 = -1.251\ \mathrm{m}$

依據平差值等於觀測值加上改正數之定義（$\hat{L}_i = L_i + v_i = x$），整理可得改正數方程式（即觀測方程式）： $v_i = x - L_i$

代入各觀測值，列出四個觀測方程式如下： $v_1 = x - (-1.253) = x + 1.253$ $v_2 = x - (-1.250) = x + 1.250$ $v_3 = x - (-1.247) = x + 1.247$ $v_4 = x - (-1.251) = x + 1.251$

三、計算 $x$ 值及其中誤差

給定各段高差之權分別為 $p_1 = 3$、$p_2 = 1$、$p_3 = 2$、$p_4 = 4$。

1. 計算高差最妥值 $x$

總權重為： $\sum p_i = 3 + 1 + 2 + 4 = 10$

計算加權乘積項 $\sum p_i L_i$：

• $p_1 L_1 = 3 \times (-1.253) = -3.759$
• $p_2 L_2 = 1 \times (-1.250) = -1.250$
• $p_3 L_3 = 2 \times (-1.247) = -2.494$
• $p_4 L_4 = 4 \times (-1.251) = -5.004$

$\sum p_i L_i = (-3.759) + (-1.250) + (-2.494) + (-5.004) = -12.507\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題考查基線分量的最小二乘平差。將 $AB$ 與 $BD$ 的四個基線分量視為等權、互相獨立的觀測量，以 $B$ 點坐標 $(x,y)$ 為未知數。觀測方程採「觀測值加改正數等於計算值」：

四個觀測量求兩個未知數，自由度為 $4-2=2$。

解題方法

$AB$ 分量是由 $A$ 指向 $B$，$BD$ 分量則是由 $B$ 指向 $D$。依此列出觀測方程：

由 $AB$ 基線分量推得的 $B$ 坐標為：

由 $BD$ 基線分量推得的 $B$ 坐標為：

各分量等權，因此 $x$、$y$ 分別取兩個坐標估計值的平均：

代回觀測方程，可得改正數：