108 年高普考普通考試測量製圖考古題與詳解

Question 1

假設觀測向量為 $$ X=[x\ \ y\ \ z]^T $$ 其方差－協方差矩陣為 $$ \Sigma{XX}= \begin{bmatrix} 4.0 & -1.0 & 0.0\ -1.0 & 2.0 & 2.0\ 0.0 & 2.0 & 5.0 \end{bmatrix} $$ 試求觀測量 $x$、$y$ 及 $z$ 的標準差，以及其協方差 $\sigma{xy}$、$\sigma{xz}$ 及 $\sigma{yz}$。

Accepted Answer

核心觀念

方差－協方差矩陣的對角線元素是各觀測量的變異數，非對角線元素是兩觀測量間的協方差：

\Sigma_{XX}= \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{xy} & \sigma_y^2 & \sigma_{yz}\\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_z^2 \end{bmatrix}

標準差為變異數的正平方根，即 $\sigma_x=\sqrt{\sigma_x^2}$ 。

解題方法

將題目矩陣與上述形式逐項對照：

\Sigma_{XX}= \begin{bmatrix} 4.0 & -1.0 & 0.0\\ -1.0 & 2.0 & 2.0\\ 0.0 & 2.0 & 5.0 \end{bmatrix}

對角線元素給出變異數：

Question 2

有一矩形宗地長（$L$）、寬（$W$）的觀測數據如下表所示，試求該矩形之面積及其標準差。 【矩形宗地之長、寬觀測數據表】 | 參數 | 長（$L$） | 寬（$W$） | |---|---:|---:| | 觀測次數 | 5 | 4 | | 觀測量（m） | 248.47、248.58、248.52、248.41、248.49 | 120.46、120.53、120.43、120.55 |

Accepted Answer

核心觀念 長、寬各有多次等精度觀測，先以算術平均估計真值，再由觀測殘差求「平均值的標準差」。面積為 $A=LW$；依誤差傳播定律，若長、寬觀測互不相關，則 $$ \sigmaA=\sqrt{W^2\sigmaL^2+L^2\sigmaW^2} $$ 其中 $\sigmaL$、$\sigmaW$ 是長、寬平均值的標準差。 解題方法 長的平均值為 $$ \bar L=\frac{248.47+248.58+248.52+248.41+248.49}{5} =248.494	ext{ m} $$ 長觀測的殘差平方和為 $$ \sum vL^2 =\sum(Li-\bar L)^2 =0.01572	ext{ m}^2 $$ 因此，長平均值的標準差為 $$ \sigmaL=\sqrt{\frac{\sum vL^2}{nL(nL-1)}} =\sqrt{\frac{0.01572}{5(5-1)}} =0.02804	ext{ m} $$ 寬的平均值為 $$ \bar W=\frac{120.46+120.53+120.43+120.55}{4} =120.4925	ext{ m} $$ 寬觀測的殘差平方和為 $$ \sum vW^2 =\sum(Wi-\bar W)^2 =0.009675	ext{ m}^2 $$

Question 3

已知 3 點的觀測數據如下表所示。若欲用此 3 點的數據擬合拋物線方程式 $y=ax^2+b$ 。表中之 $y$ 為觀測值，假設其間互不相關而且是等權。試以最小二乘法間接觀測平差法，求參數 $a$ 、 $b$ 及其標準差。

【已知 3 點的觀測數據表】

點號	A	B	C
$x$	1	2	3
$y$	7.50	20.50	42.00

Accepted Answer

核心觀念

本題以間接觀測平差法，將觀測值 $y$ 表示為參數 $a,b$ 的線性函數：

y=ax^2+b

雖然原式有 $x^2$ ，但 $x$ 為已知量，因此對未知參數 $a,b$ 而言是線性模型。三筆觀測等權且互不相關，所以權矩陣為 $P=I$ 。參數協方差矩陣由

\Sigma_{\hat{\boldsymbol{x}}} =\hat{\sigma}_0^{\,2}(A^TPA)^{-1}

求得，其中 $\hat{\sigma}_0^{\,2}$ 是單位權中誤差的估值。

解題方法

令參數向量為 $\boldsymbol{x}=[a\ \ b]^T$ ，觀測向量為 $\boldsymbol{l}=[7.50\ \ 20.50\ \ 42.00]^T$ 。依三個 $x$ 值建立設計矩陣：

A= \begin{bmatrix} 1&1\\ 4&1\\ 9&1 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{l}= \begin{bmatrix} 7.50\\ 20.50\\ 42.00 \end{bmatrix}

最小二乘估計為

\hat{\boldsymbol{x}}=(A^TPA)^{-1}A^TP\boldsymbol{l}

因 $P=I$ ，有

A^TA= \begin{bmatrix} 98&14\\ 14&3 \end{bmatrix}, \qquad A^T\boldsymbol{l}= \begin{bmatrix} 467.5\\ 70 \end{bmatrix}

解法方程式

\begin{bmatrix} 98&14\\ 14&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat a\\ \hat b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 467.5\\ 70 \end{bmatrix}

得到

\hat a=\frac{845}{196}=4.311224, \qquad \hat b=\frac{45}{14}=3.214286

Question 4

有一扇形的土地（如下圖所示），測量了該扇形的圓心角 $	heta$、半徑 $r$ 及圓弧長 $L$；有關觀測值及觀測精度如下表所示。試以最小二乘法間接觀測平差法求該扇形面積及其標準差。 【扇形土地的觀測值及觀測精度表】 | 參數 | 觀測值 | 標準差 | |---|---:|---:| | 圓心角 $	heta$ | $30^\circ$ | $\pm 6''$ | | 半徑 $r$ | $38.00\ \mathrm{m}$ | $\pm 0.02\ \mathrm{m}$ | | 圓弧長 $L$ | $20.00\ \mathrm{m}$ | $\pm 0.02\ \mathrm{m}$ | 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查間接觀測平差：圓心角 $	heta$、半徑 $r$、圓弧長 $L$ 三項觀測值必須符合扇形幾何關係 $$ L=r	heta,\qquad A=\frac12r^2	heta $$ 式中 $	heta$ 必須以弧度表示。三項觀測值有一項冗餘，可用最小二乘法依各觀測的標準差加權平差，再由平差後的 $\hat r,\hat	heta$ 求面積及其標準差。 解題方法 先將圓心角觀測值與標準差換算成弧度： $$ 	heta0=30^\circ=\frac{\pi}{6}=0.5235988\ \mathrm{rad} $$ $$ \sigma	heta=6''	imes\frac{\pi}{180	imes3600} =2.9089	imes10^{-5}\ \mathrm{rad} $$ 令未知數為 $x=(	heta,r)^T$，觀測方程為 $$ \begin{aligned} 	heta0+v	heta&=	heta,\ r0+vr&=r,\ L0+vL&=r	heta. \end{aligned} $$ 以觀測值作為初值，第三式的初始閉合差為 $$ r0	heta0-L0 =38\left(\frac{\pi}{6}ight)-20 =-0.1032465\ \mathrm{m}. $$ 第三式線性化後，對 $	heta,r$ 的偏導數分別為 $r,	heta$。以各觀測標準差的倒數平方作權，進行間接觀測平差，迭代至改正數收斂，得到約：

108 高普考普通考試測量製圖測量平差法概要考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

其他考古題

測量製圖《測量平差法概要》其他年度

108 高普考普通考試 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

第 二 題25 分

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

其他考古題

測量製圖《測量平差法概要》其他年度

108 高普考普通考試測量製圖測量平差法概要考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分