110 高普考普通考試 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

各組平均數觀測的是同一角度，且各組平均數的權與測回數成正比，因此以測回數作為權，採用加權平均求角度的最或是值：

其中 $p_i$ 為第 $i$ 組的權。

解題方法

四組角度的度、分均相同，只需將秒數加權平均。各組測回數作為權：

核心觀念

本題考查水準測量往返閉合差的精度與測線長度之關係。允許誤差依測線長度的平方根變化：

其中 $k$ 為測線長度（公里），$a$ 為精度係數。同一標準要求下，$a$ 不變，因此允許誤差與 $\sqrt{k}$ 成正比。

解題方法

已知 $k_1=2$ 公里時，允許標準差為 $\pm14$ mm：

當測線長度為 $k_2=4$ 公里時，設允許誤差為 $\pm e_2$，則：

兩式相除，可消去相同的精度係數 $a$：

核心觀念

本題考間接觀測平差：以三個相鄰方向角作為未知數，再把六個觀測角表示成未知角的線性組合。圖中六個觀測量依序為：

令未知數向量為

因為較大的角等於所含相鄰角之和，例如 $\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$，可據此列出觀測方程式。

解題方法

採用間接觀測平差，將觀測方程式寫為 $\mathbf{l}+\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}$。六個觀測角與三個未知角的關係依序為：

因此，依題目指定的 $l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6$ 順序，設計矩陣為：

核心觀念

本題考查隨機變數線性組合的變方傳播。若

且 $L_1,L_2,L_3$ 的變方—協變方矩陣為 $\boldsymbol{\Sigma}$，則

其中 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)^{\mathsf T}$。矩陣的對角元素是各變數的變方，非對角元素是變數間的協變方；因此計算時必須納入協變方。

解題方法

本題係數向量為

先用協變方矩陣乘上係數向量：

核心觀念

本題考閉合水準網的間接觀測平差。未知數是點 $P_1$、$P_2$ 的高程，觀測量是三段高程差。各路線高程差的權與路線長度成反比：

因而路線越長，觀測權越小；平差時需使各觀測改正數符合閉合條件，並使加權平方和最小。

解題方法

依圖中箭頭方向，三段觀測分別為 $A\to P_1$、$P_1\to P_2$、$P_2\to A$。令平差後高程差為 $h_i+v_i$，其中 $v_i$ 是觀測改正數。閉合條件為：

原觀測閉合差為：

所以改正數須滿足：

間接觀測平差使 $\sum p_i v_i^2$ 最小，其中 $p_i=1/S_i$。在閉合條件下，最小二乘改正數與路線長度成正比，因此：

代入 $S_1=2$ km、$S_2=2$ km、$S_3=1$ km：