112 高普考普通考試 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

距離為唯一未知數，六次觀測彼此獨立且精度相同，因此可用最小二乘法估計距離。等權觀測同一未知量時，最或是值就是算術平均數：

$$\hat{s}=\bar{s}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}s_i$$

單次觀測的單位權中誤差，以殘差平方和除以自由度 $n-1$ 計算；最或是值（平均數）的標準偏差，則為單次觀測標準偏差除以 $\sqrt{n}$：

$$m_0=\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n-1}}, \qquad m_{\bar{s}}=\frac{m_0}{\sqrt{n}} =\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n-1)}}$$

解題方法

先計算六次觀測的平均數：

$$\bar{s} =\frac{10.104+10.096+10.103+10.298+10.097+10.100}{6} =\frac{60.598}{6} =10.0996667\ \mathrm{m}$$

各觀測的殘差定義為 $v_i=s_i-\bar{s}$。為方便計算，以下將殘差以毫米表示；相對於平均數 $10.0996667\ \mathrm{m}$，殘差約為：

核心觀念

橢圓面積為 $S=\pi ab$。若半長軸、半短軸的中誤差分別為 $m_a$、$m_b$，且兩者誤差互不相關，則依誤差傳播定律：

$$m_S^2=\left(\frac{\partial S}{\partial a}\right)^2m_a^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial b}\right)^2m_b^2$$

其中 $\frac{\partial S}{\partial a}=\pi b$、$\frac{\partial S}{\partial b}=\pi a$。

解題方法

題目給定 $a=10\ \mathrm{m}\pm0.10\ \mathrm{m}$、$b=5\ \mathrm{m}\pm0.05\ \mathrm{m}$，故 $m_a=0.10\ \mathrm{m}$、$m_b=0.05\ \mathrm{m}$。

先計算面積：

$$S=\pi ab=\pi(10)(5)=50\pi\approx157.08\ \mathrm{m}^2$$

再代入誤差傳播公式：

核心觀念

本題考查海洋測量最低標準中特等水深的不確定度計算，以及信心區間由 $95\%$ 換算為 $68\%$。題目給的 $a=0.25\ \mathrm{m}$ 是固定水深誤差，$b=0.0075$ 是從屬水深誤差因子，$d$ 是測點水深。

題目公式表示 $95\%$ 信心區間下的誤差限制值：

$$E_{95}=\sqrt{a^2+(b d)^2}$$

在誤差近似常態分布時，$95\%$ 信心區間約為 $\pm1.96\sigma$，而 $68\%$ 信心區間約為 $\pm1\sigma$，所以：

$$E_{68}=\frac{E_{95}}{1.96}$$

海水面標高為 $100\ \mathrm{m}$，水深標高為 $80\ \mathrm{m}$、$60\ \mathrm{m}$，因此水深分別為：

$$d_{80}=100-80=20\ \mathrm{m},\qquad d_{60}=100-60=40\ \mathrm{m}$$

解題方法

先依海水面與測點標高的差，求出各測點水深，再代入 $95\%$ 誤差公式，最後除以 $1.96$ 換算為 $68\%$ 信心區間。

標高 $80\ \mathrm{m}$ 處，水深 $d=20\ \mathrm{m}$：

核心觀念

四邊形內角和為 $360^\circ$，故四個角的觀測值應滿足

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ.$$

題目指定 $\alpha,\beta,\gamma$ 為未知參數，因此 $\delta$ 不另列為未知數，而由角度閉合條件表示為

$$\delta=360^\circ-\alpha-\beta-\gamma.$$

本題以四個等權、互不相關的角度觀測，間接平差求三個未知角及其協方差矩陣。

解題方法

令觀測值向量為

$$\boldsymbol{l}= \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} X_\alpha\\ X_\beta\\ X_\gamma \end{bmatrix}.$$

四個觀測方程式寫成

$$\begin{aligned} \alpha+v_\alpha&=X_\alpha,\\ \beta+v_\beta&=X_\beta,\\ \gamma+v_\gamma&=X_\gamma,\\ \delta+v_\delta&=360^\circ-X_\alpha-X_\beta-X_\gamma. \end{aligned}$$

其中 $v_\alpha,v_\beta,v_\gamma,v_\delta$ 為觀測改正數。矩陣形式為

$$\boldsymbol{v}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-1&-1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} - \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta\\ \gamma\\ \delta-360^\circ \end{bmatrix}.$$

令角度閉合差為

$$f=\alpha+\beta+\gamma+\delta-360^\circ.$$

等權且不相關，故權矩陣 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{I}$。平差改正數須滿足

$$v_\alpha+v_\beta+v_\gamma+v_\delta=-f.$$

使改正數平方和最小時，四個改正數平均分配：

$$v_\alpha=v_\beta=v_\gamma=v_\delta=-\frac{f}{4}.$$

前三個平差後角即為未知參數解：

$$\begin{aligned} \hat X_\alpha&=\alpha-\frac{f}{4},\\ \hat X_\beta&=\beta-\frac{f}{4},\\ \hat X_\gamma&=\gamma-\frac{f}{4}. \end{aligned}$$

未知參數解之中誤差

設單一角度觀測的單位權中誤差為 $\sigma_0$。設計矩陣為

$$\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-1&-1 \end{bmatrix},$$

則