107 高普考普通考試 天文 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查無窮數列極限中的「$1^\infty$ 型未定式」以及自然對數底數 $e$ 的標準定義。

1. 自然底數 $e$ 的極限定義：

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e$$

2. 連續函數與極限的交換性： 若函數 $g(x) = x^k$ 在 $x = e$ 處連續，則：

$$\lim_{x\to\infty} [f(x)]^k = \left[\lim_{x\to\infty} f(x)\right]^k$$

3. 一般化速記公式： 若 $a, b \in \mathbb{R}$，則：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = e^{ab}$$

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解題方法

本題可採用「標準變數變換法」（法一）或「取對數搭配羅必達法則」（法二）求解。

【法一】指數律配對與變數代換（正規標準解法）

將指數 $4n$ 拆解成包含底數內部 $2n$ 的形式，使其直接契合自然底數 $e$ 的定義結構：

1. 改寫原式： 利用指數律 $(a^p)^q = a^{pq}$，將指數 $4n$ 改寫為 $(2n) \times 2$：

$$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{4n} = \left[\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^2$$

2. 變數變換： 令 $k = 2n$。當 $n \to \infty$ 時，顯然 $k \to \infty$。

3. 求極限： 利用連續函數的極限性質，將極限符號移入外層平方內部：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{4n} = \lim_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^2 = \left[\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^2$$

依據 $e$ 的定義，$\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k = e$。因此：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{4n} = e^2$$

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【法二】自然對數轉換法（通則解法，適用各類 $1^\infty$ 型）

核心觀念

1. 隱函數微分法（Implicit Differentiation）與切線斜率： 當曲線方程式由隱式關係 $F(x, y) = 0$ 給出，且不易化為顯函數 $y = f(x)$ 時，可將 $y$ 視為 $x$ 的可微函數，利用微積分連鎖律（Chain Rule）與乘積律（Product Rule）對等號兩邊逐項對 $x$ 微分，解出導函數 $\frac{dy}{dx}$。 在點 $(x_0, y_0)$ 處的切線斜率即為 $m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0, y_0)}$，再依點斜式建立切線方程式： $y - y_0 = m(x - x_0)$ 此外，亦可利用雙變數函數偏導函數公式求斜率： $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$

2. 高階導函數（Higher-Order Derivatives）與馬克勞林級數（Maclaurin Series）：

• 微分歸納法：計算函數前幾階導數，觀察係數與指數的遞迴規律，歸納出第 $n$ 階導函數通式 $f^{(n)}(x)$，再代入 $x = 0$。
• 泰勒／馬克勞林級數展開法：若函數在 $x = 0$ 附近的馬克勞林級數可透過幾何級數直接展開，則利用其係數對照公式 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = a_n$，可極速求出 $f^{(n)}(0) = n! \cdot a_n$。

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解題方法

（一）求通過點 $(1,2)$ 之切線方程式

1. 檢驗切點： 將 $(x, y) = (1, 2)$ 代入曲線方程式左式： $1^2 + 1 - (1)(2^3) + 2(2) + 2 = 1 + 1 - 8 + 4 + 2 = 0$ 等式成立，確認 $(1, 2)$ 確為曲線上的點。

2. 對方程式兩邊進行隱函數微分： 將等式 $x^2 + x - xy^3 + 2y + 2 = 0$ 兩邊對 $x$ 微分： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(xy^3) + \frac{d}{dx}(2y) + \frac{d}{dx}(2) = 0$ 其中 $-xy^3$ 應用乘積律與連鎖律： $2x + 1 - \left(1 \cdot y^3 + x \cdot 3y^2 \frac{dy}{dx}\right) + 2\frac{dy}{dx} + 0 = 0$ 展開並整理含有 $\frac{dy}{dx}$ 的項： $(2 - 3xy^2)\frac{dy}{dx} = y^3 - 2x - 1$ 解得導函數： $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - 2x - 1}{2 - 3xy^2}$

3. 計算點 $(1,2)$ 處的切線斜率 $m$： 將 $x = 1, y = 2$ 代入導函數： $m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)} = \frac{2^3 - 2(1) - 1}{2 - 3(1)(2^2)} = \frac{8 - 2 - 1}{2 - 12} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$

4. 建立切線方程式： 使用點斜式，通過點 $(1, 2)$ 且斜率為 $-\frac{1}{2}$： $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$ 兩邊同乘 $2$ 整理為一般式： $2y - 4 = -x + 1 \implies x + 2y - 5 = 0$

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核心觀念

本題評量多元微積分中「梯度」（Gradient）與「方向導數」（Directional Derivative）的核心幾何與代數性質。

1. 梯度向量定義： 若二元函數 $f(x,y)$ 在點 $(x,y)$ 處可微，則其梯度向量定義為各變數之一階偏導數所組成的向量：

$$\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$

2. 方向導數與梯度的關係： 設 $\mathbf{u}$ 為任意單位向量（即 $\|\mathbf{u}\| = 1$），則函數 $f$ 沿著 $\mathbf{u}$ 方向的方向導數 $D_{\mathbf{u}}f$ 可由梯度向量與 $\mathbf{u}$ 的內積求得：

$$D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}$$

3. 最大方向導數定理： 由向量內積的定義：

$$D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \|\nabla f(x,y)\| \|\mathbf{u}\| \cos\theta = \|\nabla f(x,y)\| \cos\theta$$

其中 $\theta$ 為梯度向量 $\nabla f(x,y)$ 與單位方向向量 $\mathbf{u}$ 的夾角。 因為 $-1 \le \cos\theta \le 1$，當 $\theta = 0$（即方向向量 $\mathbf{u}$ 與梯度 $\nabla f(x,y)$ 同向）時，$\cos\theta = 1$ 達到最大值。 因此，在點 $(x,y)$ 之最大方向導數的值，恰為該點梯度向量的長度（歐幾里得範數）：

$$\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \|\nabla f(x,y)\|$$

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解題方法

求 $f(x,y) = x^2 + y^2 - 3y + 2$ 在點 $(2,3)$ 之最大方向導數，具體推導步驟如下：

步驟一：求函數的一階偏導數 對 $x$ 取偏導數（將 $y$ 視為常數）：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 3y + 2) = 2x$$

對 $y$ 取偏導數（將 $x$ 視為常數）：

核心觀念

1. 馬克勞林級數（Maclaurin Series）： 函數 $f(x)$ 在 $c=0$ 之泰勒級數特稱為馬克勞林級數，其定義式為：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$$

2. 幾何級數（無窮等比級數）展開式： 對於公比 $|u| < 1$，標準等比級數展開式為：

$$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$$

3. 代數變換法： 對於有理分式函數，若可透過提公因數化為 $\frac{1}{1-u}$ 的形式，應直接利用已知幾何級數展開，再乘上分子多項式，避免直接對商式進行逐次高階微分以降低計算複雜度與出錯率。

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解題方法

本題為有理分式，若採定義直接對 $f(x) = \frac{x^2}{2-x}$ 連續求高階導數，計算量龐大；最適切的切入點為利用幾何級數展開式進行代數變換。

1. 改寫函數結構： 將分母提出常數 $2$，配成幾何級數標準型態 $\frac{1}{1-u}$：

$$f(x) = \frac{x^2}{2-x} = \frac{x^2}{2\left(1 - \frac{x}{2}\right)} = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}$$

2. 代入幾何級數展開式： 令公比 $u = \frac{x}{2}$。當 $|u| = \left|\frac{x}{2}\right| < 1$（即 $|x| < 2$）時，展開為：

$$\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}$$

3. 乘回分子項並整理一般項： 將 $\frac{x^2}{2}$ 乘入級數內部：

$$f(x) = \frac{x^2}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{2^{n+1}}$$

4. 展開形式與指標平移：

• 逐項展開形式：

核心觀念

1. 有理函數積分與部分分式法（Partial Fraction Decomposition）：當被積函數為分母可因式分解的真分式時，將其拆解為若干一次因式之分式和，再利用對數積分公式求解。
2. 定積分的連續性檢驗：計算定積分前，必須先檢驗被積函數在積分區間 $[0, 2]$ 內是否連續。分母 $x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)$ 的奇異點（分母為零之處）為 $x = 5$ 與 $x = -2$，皆不落在 $[0, 2]$ 內，因此本題為標準的常義定積分，非瑕積分。
3. 基本積分公式：

$$\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C$$

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解題方法

步驟一：因式分解分母

$$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$$

步驟二：部分分式拆解 設：

$$\frac{1}{x^2-3x-10} = \frac{1}{(x-5)(x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$$

通分後分子恆等式為：

$$1 = A(x+2) + B(x-5)$$

• 代入 $x = 5$，得 $1 = 7A \implies A = \frac{1}{7}$
• 代入 $x = -2$，得 $1 = -7B \implies B = -\frac{1}{7}$

因此：

$$\frac{1}{x^2-3x-10} = \frac{1}{7}\left(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2}\right)$$

步驟三：求反導函數並代入積分上下限

$$\begin{aligned} \int_0^2 \frac{1}{x^2-3x-10}\,dx &= \frac{1}{7} \int_0^2 \left(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2}\right)\,dx \\ &= \frac{1}{7} \Big[ \ln|x-5| - \ln|x+2| \Big]_0^2 \\ &= \frac{1}{7} \left[ \ln\left|\frac{x-5}{x+2}\right| \right]_0^2 \end{aligned}$$

代入上下限計算：

$$\begin{aligned} \frac{1}{7} \left( \ln\left|\frac{2-5}{2+2}\right| - \ln\left|\frac{0-5}{0+2}\right| \right) &= \frac{1}{7} \left( \ln\left|\frac{-3}{4}\right| - \ln\left|\frac{-5}{2}\right| \right) \\ &= \frac{1}{7} \left( \ln\frac{3}{4} - \ln\frac{5}{2} \right) \\ &= \frac{1}{7} \ln\left(\frac{3/4}{5/2}\right) \\ &= \frac{1}{7} \ln\left(\frac{3}{10}\right) \quad \left(\text{亦可寫為 } -\frac{1}{7}\ln\frac{10}{3}\right) \end{aligned}$$

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解題技巧

1. 覆蓋法（Heaviside Cover-up Method）：針對相異一次因式，求 $x-5$ 的係數時，只需將原式分母的 $(x-5)$ 遮住，把 $x=5$ 代入其餘部分：$\frac{1}{5+2} = \frac{1}{7}$；同理求 $x+2$ 係數，遮住 $(x+2)$ 代入 $x=-2$：$\frac{1}{-2-5} = -\frac{1}{7}$。考場上可於數秒內寫出拆解式。
2. 符號合理性檢驗：在區間 $[0, 2]$ 內，二次函數 $x^2-3x-10$ 恆為負值（因為兩根為 $-2$ 與 $5$），故被積函數恆小於 $0$。積分結果必為負數；由 $\frac{3}{10} < 1$ 可知 $\ln\frac{3}{10} < 0$，符號完全正確。

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第（二）題