112 高普考普通考試 天文 微積分 考古題詳解

核心觀念

閉區間上的連續函數必有最大值與最小值。求 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的絕對極值，須比較：

1. 區間內使 $f'(x)=0$ 的臨界點；
2. 區間的兩個端點 $x=-3,3$。

解題方法

先求導數：

令 $f'(x)=0$，得臨界點 $x=2,-1$，兩者皆在 $[-3,3]$ 內。

分別計算臨界點與端點的函數值：

核心觀念

（一）冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-c)^n$ 的收斂半徑可用比值判別法求得；半徑內絕對收斂，半徑外發散，端點須分別代入原級數判斷。

（二）$f(x)$ 在 $x=0$ 的四階泰勒多項式為

（一）解題方法

令 $a_n=n$，使用比值判別法：

當 $|x-2|<1$ 時級數收斂，因此收斂半徑為 $R=1$，初步收斂範圍為 $1<x<3$。

檢查端點：

• $x=1$ 時，級數為 $\sum_{n=1}^{\infty}n(-1)^n$，其一般項 $n(-1)^n$ 不趨近 $0$，故發散。
• $x=3$ 時，級數為 $\sum_{n=1}^{\infty}n$，其一般項 $n$ 不趨近 $0$，故發散。

兩端皆不收斂，故收斂區間為 $(1,3)$。

（二）解題方法

令 $f(x)=(1+x)^{1/2}$，利用導數逐次求值：

核心觀念

本題考查二變數函數的偏導數與方向導數。

• 求偏導數時，對其中一個變數微分，並將另一個變數視為常數；一階偏導數再微分一次，即得二階偏導數。
• 函數 $f(x,y)$ 在點 $(a,b)$ 沿單位向量 $\mathbf{v}$ 的方向導數為 $D_{\mathbf{v}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf{v}.$ 若題目給的是非單位向量，須先將它單位化。

（一）一階及二階偏導數

給定 $f(x,y)=xe^{xy}.$

對 $x$ 偏微分時，使用乘法法則，且 $y$ 視為常數：

對 $y$ 偏微分時，$x$ 視為常數：

再分別對一階偏導數微分，得到二階偏導數：

核心觀念

被積函數是多項式與指數函數的乘積，適合使用分部積分公式：

解題方法

令 $u=x$、$dv=e^{2x}\,dx$，則 $du=dx$、$v=\frac12e^{2x}$。因此

解題技巧

分部積分後，指數函數仍容易積分。代入上下限時要一併計算 $x=0$ 的端點值，該值為 $-\frac14$，所以定積分結果需加上 $\frac14$。

（二）求重積分

核心觀念