113 高普考普通考試 天文 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查兩種極限技巧：

1. 數列求和中，若各項含有幾何因子 $2^k$，可比較相鄰項，確認總和主要由最後幾項決定；再以幾何級數估計其量級。
2. 定積分上限趨近無窮時，可用被積函數的漸近行為估計積分量級，再與外部的冪次因子比較。

解題方法

（一）數列求和極限

令

$$S_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}2^k\sin\frac{k\pi}{2n}.$$

利用恆等式 $\sin(\frac{\pi}{2}-u)=\cos u$，將指標改寫為 $j=n-k$，得

$$S_n =\frac{2^n}{n^2}\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2^j} \cos\frac{j\pi}{2n}.$$

對每個固定的 $j$，當 $n\to\infty$ 時，

$$\cos\frac{j\pi}{2n}\longrightarrow 1.$$

而且 $0\le \cos\frac{j\pi}{2n}\le 1$，因此括號中的和至多為幾何級數總和：

$$0\le \sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2^j}\cos\frac{j\pi}{2n} \le \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{2^j}=2.$$

同時，取 $j=0$ 的一項可知該和至少為 $1$。故

$$\frac{2^n}{n^2}\le S_n\le 2\frac{2^n}{n^2}.$$

因為指數函數 $2^n$ 成長快於多項式 $n^2$，所以

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n^2}=+\infty,$$

由夾擠可得

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty}.$$

（二）積分與冪次因子的比較

核心觀念

本題考查微積分基本定理與鏈鎖律。若

$$\int_a^{g(x)} f(t)\,dt=H(x),$$

則對 $x$ 微分可得

$$f(g(x))g'(x)=H'(x).$$

題目要找曲線在 $x=2$ 處的切線，因此還要利用切線斜率公式 $y-f(2)=f'(2)(x-2)$。

解題方法

先對題目等式兩側對 $x$ 微分：

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2+1}f(t)\,dt =\frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^{-x}\bigr).$$

左側由微積分基本定理與鏈鎖律得

$$2x f(x^2+1).$$

右側使用乘法法則：

$$\frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^{-x}\bigr) =e^{-x}-(x+1)e^{-x} =-xe^{-x}.$$

因此

$$2x f(x^2+1)=-xe^{-x}.$$

當 $x\ne 0$ 時，約去 $x$，得到

$$f(x^2+1)=-\frac12e^{-x}.$$

核心觀念

本題考三維空間中徑向函數的拉普拉斯算子。若 $H(x,y,z)=f(r)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ 則對 $r>0$， $\Delta H=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r).$ 題目中 $f(r)=F(r)=e^r/r$。

解題方法

先求 $F(r)$ 的一、二階導數，再代入徑向函數的拉普拉斯公式。

$F(r)=\frac{e^r}{r}=e^r r^{-1}.$

一階導數為

$$F'(r)=e^r r^{-1}-e^r r^{-2} =e^r\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r^2}\right) =\frac{e^r(r-1)}{r^2}.$$

二階導數為

$$\begin{aligned} F''(r) &=\frac{d}{dr}\left[e^r\left(r^{-1}-r^{-2}\right)\right]\\ &=e^r\left(r^{-1}-r^{-2}\right) +e^r\left(-r^{-2}+2r^{-3}\right)\\ &=e^r\left(\frac{1}{r}-\frac{2}{r^2}+\frac{2}{r^3}\right). \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查二重積分的變數變換。區域條件以 $3x+4y$ 與 $3x-4y$ 表示，且被積函數 $9x^2+16y^2$ 可藉由這兩個線性組合化簡，因此令

$$u=3x+4y,\qquad v=3x-4y.$$

計算時須一併處理座標變換的雅可比行列式。

解題方法

由變數定義可得

$$x=\frac{u+v}{6},\qquad y=\frac{u-v}{8}.$$

區域條件直接化為

$$0\leq u\leq 2,\qquad 0\leq v\leq 2,$$

也就是 $uv$ 平面上的正方形。

被積函數可寫成

$$9x^2+16y^2 =\frac{(u+v)^2}{4}+\frac{(u-v)^2}{4} =\frac{u^2+v^2}{2}.$$

雅可比行列式為

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac16 & \frac16\\[2pt] \frac18 & -\frac18 \end{vmatrix} =-\frac{1}{24}, \qquad dx\,dy=\frac{1}{24}\,du\,dv.$$

因此