113 高普考普通考試 天文 普通物理學概要 考古題詳解

113 年・高普考・普通考試・天文
試題代碼 普通物理學概要

第 一 題40 分

有一吊車用質量可忽略的纜線，將一質量為 mm 的重物自地平面鉛直拉起，上升過程保持等速率 vv。經過時間 tt 後，在速率仍為 vv 時纜線突然斷開，致使重物隨後以自由落體方式回到地平面的起始位置。重力加速度為 gg。

(一) 求該物體到達最高點時的離地高度。

(二) 從地平面出發至最高點的整個過程，重力對該物體作功為何？

(三) 物體從最高點落至地平面起始位置的時間為何？

(四) 物體落至地平面起始位置前的瞬間，其動量量值為何？

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核心觀念

本題考查等速直線運動、自由落體、重力作功與動量。纜線斷開前，重物以速率 vv 等速上升；斷開後，重物只受重力作用，初速仍為向上的 vv。

解題方法

(一) 纜線斷開前，重物經過時間 tt 上升的高度為

h1=vt.h_1=vt.

斷線後，重物繼續向上運動，直到速度降為零。由運動學公式 vf2=vi2+2aΔyv_f^2=v_i^2+2a\Delta y，取向上為正，得

0=v2−2gh2,h2=v22g.0=v^2-2gh_2, \qquad h_2=\frac{v^2}{2g}.

所以最高點離地高度為

h=h1+h2=vt+v22g.h=h_1+h_2=vt+\frac{v^2}{2g}.

(二) 重力方向向下，位移方向向上，因此重力作負功：

Wg=F⃗g⋅Δr⃗=−mgh=−mg(vt+v22g)=−mgvt−12mv2.W_g=\vec F_g\cdot\Delta\vec r=-mgh =-mg\left(vt+\frac{v^2}{2g}\right) =-mgvt-\frac12 mv^2.
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第 二 題20 分

在太空中，有兩顆質量皆為 mm 的人造衛星，由一長度為 LL 的鋼線所連接，彼此相互繞行，作等速率圓周運動，週期為 TT。鋼線的質量可忽略、無法伸縮，所能承受的最大張力為 FF。

(一) 若以質心為參考點，該系統的轉動慣量和角動量分別為何？

(二) 當週期 TT 小於多少時，鋼線將斷開？

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核心觀念

兩顆衛星質量相同，且以長度為 LL 的無質量鋼線相連，因此質心位於兩衛星連線的中點，每顆衛星至質心的距離為 L/2L/2。系統的轉動慣量依 I=∑miri2I=\sum m_i r_i^2 計算；等速率圓周運動的角動量大小為 H=IωH=I\omega，其中 ω=2π/T\omega=2\pi/T。

鋼線張力提供每顆衛星所需的向心力。張力達到最大承受值 FF 時，鋼線恰好到達斷裂臨界。

解題方法

（一）轉動慣量與角動量

以質心為轉軸，兩顆衛星到轉軸的距離皆為 L/2L/2，所以

I=m(L2)2+m(L2)2=mL22.I=m\left(\frac{L}{2}\right)^2+m\left(\frac{L}{2}\right)^2 =\frac{mL^2}{2}.

角速度為 ω=2π/T\omega=2\pi/T，故系統角動量大小為

H=Iω=mL22⋅2πT=πmL2T.H=I\omega =\frac{mL^2}{2}\cdot\frac{2\pi}{T} =\frac{\pi mL^2}{T}.

角動量方向沿兩衛星繞行平面的轉軸，依右手定則決定。

（二）鋼線斷裂的週期臨界值

每顆衛星以半徑 L/2L/2 繞質心作圓周運動。張力 FTF_T 是該衛星所受的向心力，因此

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第 三 題20 分

一個密閉、容積可改變的等溫氣缸，裝有氦氣，初始時壓力為 PP、溫度為 TT、容積為 V0V_0。接著以外力將容積極緩慢地壓縮至 V1V_1。理想氣體常數為 RR。回答以下各題：

(一) 求氣缸內氦氣的莫耳數。

(二) 計算該過程前後，氣體內能的變化量以及氣體對外所作的功。此功為正或負？

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核心觀念

本題考理想氣體狀態方程式、理想單原子氣體的內能，以及氣體在等溫準靜態過程中的作功。

氦氣可視為理想單原子氣體，其莫耳數由狀態方程式 PV=nRTPV=nRT 求得；理想氣體內能只與溫度有關。氣體對外作功的定義為 W=∫P dVW=\int P\,dV，容積縮小時，氣體對外作功為負。

解題方法

（一）求氦氣莫耳數

以初始狀態代入理想氣體狀態方程式：

PV0=nRTPV_0=nRT

因此，氣缸內氦氣的莫耳數為

n=PV0RT\boxed{n=\frac{PV_0}{RT}}

（二）內能變化與氣體對外作功

過程為等溫，故前後溫度相同。理想氣體內能只取決於溫度，因此

ΔU=nCVΔT=0\Delta U=nC_V\Delta T=0

所以氣體內能變化量為

ΔU=0\boxed{\Delta U=0}

過程極緩慢，氣體可視為每一瞬間都處於平衡狀態，並遵守等溫關係：

P(V)=nRTVP(V)=\frac{nRT}{V}

氣體對外作功為

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第 四 題20 分

在日常生活中，常會見到電動生磁以及磁變生電的應用。

(一) 舉一個電動生磁的例子，並寫出相關的物理公式且說明其原理。

(二) 舉一個磁變生電的例子，並寫出相關的物理公式且說明其原理。

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核心觀念

本題考查電流與磁場的關係，以及磁通量改變時所產生的感應電動勢：

  • 電動生磁：電流會在周圍產生磁場。
  • 磁變生電：穿過線圈的磁通量改變時，線圈中會產生感應電動勢；若電路閉合，便有感應電流。

（一）電動生磁：通電線圈使鐵芯磁化

例子： 電磁鐵。將導線繞成線圈並通電，線圈產生的磁場會使鐵芯磁化；切斷電流後，磁場大幅減弱。

直導線周圍的磁場大小可寫為

B=μ0I2πr,B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},

其中 II 是電流，rr 是到導線的距離，μ0\mu_0 是真空磁導率。磁場方向依右手定則判斷：拇指指向傳統電流方向，彎曲的四指方向即為磁場環繞方向。

對長直螺線管，若每單位長度的匝數為 nn，其內部磁場近似為

B=μ0nI.B=\mu_0 nI.

線圈中各匝所產生的磁場會疊加，使管內形成較強且方向一致的磁場。放入鐵芯後，鐵芯的磁化會進一步增強磁場。

（二）磁變生電：發電機

例子： 發電機。線圈在磁場中轉動時，線圈面積與磁場的夾角隨時間改變，因此穿過線圈的磁通量改變，產生感應電動勢。

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