112 高普考普通考試 天文 普通物理學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查二維完全彈性碰撞中的動量守恆與動能守恆。桌面光滑、無摩擦時，碰撞期間系統在桌面平面內不受外力，因此總動量守恆；完全彈性碰撞則表示總動能守恆。

設球 $A$、$B$ 碰撞後的速度向量分別為 $\vec v_A'$、$\vec v_B'$。兩球質量皆為 $m$，碰撞前球 $A$ 的速度為 $\vec v$，球 $B$ 靜止，故

$$m\vec v=m\vec v_A'+m\vec v_B'$$ $$\frac12 mv^2=\frac12 m|\vec v_A'|^2+\frac12 m|\vec v_B'|^2$$

解題方法

（一）碰撞後兩球運動路徑的夾角

由動量守恆，

$$\vec v=\vec v_A'+\vec v_B'$$

將兩邊平方，利用向量內積展開：

$$v^2=|\vec v_A'|^2+|\vec v_B'|^2+2\vec v_A'\cdot\vec v_B'$$

另一方面，由動能守恆，

$$v^2=|\vec v_A'|^2+|\vec v_B'|^2$$

兩式相減可得

$$2\vec v_A'\cdot\vec v_B'=0$$

因此 $\vec v_A'\cdot\vec v_B'=0$，表示兩球碰撞後的速度方向互相垂直。球的運動路徑方向與速度方向一致，所以兩球路徑的夾角為 $90^\circ$。

（二）已知球 $B$ 偏轉 $30^\circ$，求碰撞後速率

令球 $B$ 碰撞後速率為 $v_B'$，方向與原來的 $+x$ 方向夾 $30^\circ$；由（一），球 $A$ 的碰撞後速度方向與球 $B$ 垂直。若球 $B$ 朝 $+y$ 側偏轉，則球 $A$ 的方向相對 $+x$ 軸為 $-60^\circ$。

分別沿 $x$、$y$ 方向套用動量守恆：

$$3.0=v_A'\cos60^\circ+v_B'\cos30^\circ$$

核心觀念

活塞無摩擦，且容器內的水與水蒸氣維持熱平衡。起初液態水與水蒸氣共存於 $100^\circ\mathrm{C}$，因此容器內壓力等於 $100^\circ\mathrm{C}$ 水的飽和蒸氣壓，約為 $1.00\ \mathrm{atm}$。活塞外側承受大氣壓，故加熱過程中系統壓力維持大氣壓，可視為定壓膨脹。

定壓過程的功為 $W=P\Delta V$。熱力學第一定律採「系統對外作功為正」的慣例：

$$\Delta U=Q-W.$$

解題方法

先由水蒸氣的莫耳數與理想氣體方程式求初始氣體體積。液態水的體積相對氣體體積很小，本題以水蒸氣體積代表容器內體積；加熱後體積增為原來的 $1.50$ 倍，因此 $\Delta V=0.50V_i$。

水蒸氣莫耳數為

$$n=\frac{1.80\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g/mol}}=0.100\ \mathrm{mol}.$$

初始溫度為

$$T_i=100+273=373\ \mathrm{K}.$$

初始壓力取 $P=1.000\ \mathrm{atm}=1.013\times10^5\ \mathrm{Pa}$，因此

$$V_i=\frac{nRT_i}{P} =\frac{(0.100)(8.31)(373)}{1.013\times10^5} =3.06\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}.$$

(一) 系統對外作功

體積變化為

$$\Delta V=(1.50-1)V_i=0.50(3.06\times10^{-3}) =1.53\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}.$$

故系統對外作功

$$W=P\Delta V =(1.013\times10^5)(1.53\times10^{-3}) \approx1.55\times10^2\ \mathrm{J}.$$

(二) 系統吸收的熱能

加熱過程中，液態水全部汽化並使水蒸氣升溫。由於水蒸氣莫耳數不變且壓力維持定值，理想氣體方程式給出 $V\propto T$，所以

核心觀念

本題考查阿基米德浮力原理與牛頓第二運動定律。物體靜止漂浮時，浮力等於重力；立方體完全沒入液體時，浮力則等於液體密度乘以完整排開的體積與重力加速度。

設塑膠立方體體積為 $V$，浸入液體的體積為 $V_{\text{浸}}$。浮力與重力分別為

$$F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{浸}},\qquad W=\rho_{\text{塑膠}}gV.$$

解題方法

（一）浮出液面的高度

立方體靜止漂浮時，垂直方向合力為零，因此

$$\rho_{\text{液}}gV_{\text{浸}} =\rho_{\text{塑膠}}gV.$$

約去 $g$，得到浸入體積占立方體總體積的比例：

$$\frac{V_{\text{浸}}}{V} =\frac{\rho_{\text{塑膠}}}{\rho_{\text{液}}} =\frac{900}{1200}=0.75.$$

立方體邊長為 $10.0\ \mathrm{cm}$，且上、下面平行於液面，故浸入高度為

$$h_{\text{浸}}=0.75(10.0\ \mathrm{cm})=7.50\ \mathrm{cm}.$$

浮出液面的高度為

$$h_{\text{浮出}}=10.0-7.50=2.50\ \mathrm{cm}.$$

（二）移除施力瞬間的向上加速度

核心觀念

本題考查角動量、力矩與轉動動能的關係：

• 平均力矩等於角動量的變化率：$\tau_{\text{平均}}=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}$。
• 剛體繞固定軸轉動時，角動量為 $L=I\omega$，其中 $I$ 為轉動慣量、$\omega$ 為角速度。
• 轉動動能為 $K=\dfrac12 I\omega^2=\dfrac{L^2}{2I}$。
• 角位移可由角速度對時間的積分求得；角動量均勻減少且 $I$ 不變，表示角速度也均勻減少。

解題方法

已知 $I=0.125\ \mathrm{kg\cdot m^2}$、$L_i=10.00\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}$、$L_f=6.00\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}$，減速時間 $\Delta t=2.00\ \mathrm{s}$。

（一）平均力矩

$$\tau_{\text{平均}} =\frac{L_f-L_i}{\Delta t} =\frac{6.00-10.00}{2.00} =-2.00\ \mathrm{N\cdot m}$$

負號表示力矩方向與飛輪原本的角動量方向相反，使飛輪減速；其大小為 $2.00\ \mathrm{N\cdot m}$。

（二）動能減少量

由 $K=L^2/(2I)$，初、末動能分別為

$$K_i=\frac{(10.00)^2}{2(0.125)}=400\ \mathrm{J}, \qquad K_f=\frac{(6.00)^2}{2(0.125)}=144\ \mathrm{J}$$

因此動能減少

核心觀念

本題考馬克斯威方程式與位移電流。馬克斯威方程式把電場、磁場與電荷、電流的關係統整起來；其中「變動的磁場產生電場」與「變動的電場產生磁場」相互耦合，使電磁波得以在空間中傳播。

以下以微分形式列式，採真空中的 SI 制：

解題方法：寫出四個方程式並說明物理意義

1. 電的高斯定律

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

電荷密度 $\rho$ 是電場的源：正電荷是電場線的起點，負電荷是終點。積分形式為

$$\oint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$$

即封閉曲面的電通量等於曲面所包圍總電荷除以真空介電常數。

2. 磁的高斯定律

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

磁場沒有孤立的磁單極源，磁力線形成閉合曲線。積分形式為

$$\oint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$$

任一封閉曲面的淨磁通量為零。

3. 法拉第電磁感應定律

$$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

變動的磁場會產生旋渦電場；負號表示感應效應遵守楞次定律。積分形式為

$$\oint_C\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} =-\frac{d\Phi_B}{dt}$$

沿閉合迴路的電場環流（感應電動勢）等於穿過迴路的磁通量變化率的負值。

4. 安培－馬克斯威定律

$$\nabla\times\mathbf{B} =\mu_0\mathbf{J} +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

傳導電流密度 $\mathbf{J}$ 及隨時間變化的電場，都能產生旋渦磁場。積分形式為

$$\oint_C\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\mathrm{enc}} +\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$$