107 高普考普通考試 天文 普通物理學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量古典力學中「自由落體運動」與「動量與衝量定理」的整合計算，主要包含三大物理核心觀念：

1. 等加速度直線運動（自由落體）： 在不計空氣阻力下，物體僅受重力作用，加速度為定值 $g = 9.8\text{ m/s}^2$。可由等加速度運動學公式或力學能守恆定律求解物體落地速度： $v^2 = v_0^2 + 2gh$
2. 衝量－動量定理（Impulse-Momentum Theorem）： 物體所受之平均作用力與碰撞作用時間的乘積等於其動量變化量： $\bar{F} \Delta t = \Delta p = m \Delta v \implies \bar{F} = \frac{m(v_f - v_i)}{\Delta t}$
3. 重量與質量的關係： 在地表附近，質量為 $M$ 的物體所受重力（重量）為 $W = Mg$。若作用力大小為 $F$，其相當於質量 $M = \frac{F}{g}$ 之物體的地表重量（公斤重 $\text{kgw}$）。

解題方法

(一) 計算物體剛到達地面時的速度大小

取垂直向下為正方向。物體從靜止落下，初速度 $v_0 = 0\text{ m/s}$，落下高度 $h = 490\text{ m}$，重力加速度採國家考試慣用基準值 $g = 9.8\text{ m/s}^2$。

步驟一：代入自由落體速度與位移關係式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ $v^2 = 0^2 + 2 \times 9.8 \times 490$ $v^2 = 19.6 \times 490 = 9604$

步驟二：開根號求速度量值 $v = \sqrt{9604} = 98\text{ m/s}$

亦可透過運動時間推導驗證： $h = \frac{1}{2}gt^2 \implies 490 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \implies t^2 = 100 \implies t = 10\text{ s}$ $v = gt = 9.8 \times 10 = 98\text{ m/s}$

物體剛著地時的速度大小為 $98\text{ m/s}$（方向向下）。

(二) 計算地面接住物體的撞擊力與相當重量

物體觸地瞬間初速度 $v_i = 98\text{ m/s}$（向下），經過 $\Delta t = 0.1\text{ 秒}$ 後完全靜止，末速度 $v_f = 0\text{ m/s}$，質量 $m = 1.0\text{ kg}$。

步驟一：計算物體在制動過程中的動量變化量與平均衝力 依據衝量－動量定理，使物體動量改變所需的平均衝力大小 $\bar{F}_{\text{衝}}$ 為：

核心觀念

本題旨在測驗剛體力學中的「剛體平面運動動能分離」與「轉動慣量計算」，需運用以下基本物理觀念與公式：

1. 基本物理量之國際單位制（SI 制）換算：

• 速度：$1\text{ km/h} = \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = \frac{1}{3.6}\text{ m/s}$。
• 長度：$1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}$。
• 角速度：旋轉頻率 $f$ 換算為角速度 $\omega$ 之關係式為 $\omega = 2\pi f$（單位：$\text{rad/s}$）。

2. 移動動能（Translational Kinetic Energy, $K_t$）： $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ 其中 $m$ 為質量，$v$ 為質心移動速率。

3. 均勻實心球體的轉動慣量（Moment of Inertia, $I$）： 棒球為均勻對稱之實心球體，其通過球心之任意旋轉軸的轉動慣量為： $I = \frac{2}{5} m R^2$ 其中 $R$ 為球體半徑。

4. 轉動動能（Rotational Kinetic Energy, $K_r$）： 剛體繞過質心對稱軸旋轉之動能為： $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$

解題方法

步驟一：將已知條件換算為 SI 標準單位

• 球體質量：$m = 1.0\text{ kg}$
• 球體半徑：$R = 4.0\text{ cm} = 0.04\text{ m} = 4.0 \times 10^{-2}\text{ m}$
• 移動球速： $v = 72\text{ km/h} = \frac{72 \times 1000}{3600}\text{ m/s} = 20\text{ m/s}$
• 旋轉角速度： $\omega = 20\text{ rev/s} \times 2\pi\text{ rad/rev} = 40\pi\text{ rad/s}$

步驟二：計算球的移動動能 $K_t$

將 $m = 1.0\text{ kg}$、$v = 20\text{ m/s}$ 代入移動動能公式： $K_t = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 400 = 200\text{ J}$

核心觀念

本題評量熱力學第一定律中的「熱平衡與能量守恆」，以及物質經歷「相變（Phase change）」時的熱量轉移計算。主要運用以下物理定義與公式：

1. 熱量與比熱關係式：物質在無相變狀態下升降溫時吸收或釋放的顯熱（Sensible heat）公式為： $Q = m c \Delta T$ 其中 $m$ 為質量（$\text{kg}$）、$c$ 為比熱（$\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$）、$\Delta T$ 為溫度變化量（$\text{K}$ 或 $^\circ\text{C}$）。
2. 相變潛熱公式：物質在固定熔點經歷固液相變時吸收的熔化熱（Latent heat of fusion）公式為： $Q = m L_f$ 其中 $L_f$ 為熔化潛熱（$\text{J/kg}$）。
3. 絕熱系統熱平衡原理：容器絕熱，系統與外界無熱交換，系統內部放出的熱量等於吸收的熱量： $\sum Q_{\text{放}} = \sum Q_{\text{吸}}$

解題方法

本題為典型的「含相變熱混合問題」。解題關鍵在於必須先檢驗熱水放出的熱量是否足以將所有的冰完全熔化，確定終態的物質相態後，再列式求解平衡溫度。

步驟一：判斷熱平衡狀態（確認冰是否完全熔化）

1. 計算 $1.0\text{ kg}$、$0^\circ\text{C}$ 的冰完全熔化成 $0^\circ\text{C}$ 的水所需之吸熱量 $Q_1$： $Q_1 = m_{\text{冰}} L_f = 1.0\text{ kg} \times (333 \times 10^3\text{ J/kg}) = 333,000\text{ J}$
2. 計算 $1.0\text{ kg}$、$90^\circ\text{C}$ 的熱水若降溫至 $0^\circ\text{C}$，最多可釋放之熱量 $Q_{\text{max}}$： $Q_{\text{max}} = m_{\text{水}} c \Delta T_{\text{max}} = 1.0\text{ kg} \times 4187\text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K}) \times (90 - 0)\text{ K} = 376,830\text{ J}$
3. 比較熱量大小： $Q_{\text{max}} = 376,830\text{ J} > Q_1 = 333,000\text{ J}$ 因為熱水降至 $0^\circ\text{C}$ 所能提供的熱量大於冰完全熔化所需的潛熱，故所有的冰皆已完全熔化為水，最終系統全為液態水，且平衡溫度 $T$ 必介於 $0^\circ\text{C}$ 與 $90^\circ\text{C}$ 之間（即 $0 < T < 90$）。

步驟二：建立熱平衡方程式並求解最終水溫

設混合後的最終平衡溫度為 $T$（$^\circ\text{C}$）：

• 冰吸收的熱量 $Q_{\text{吸}}$（包含「$0^\circ\text{C}$ 冰熔化成 $0^\circ\text{C}$ 水」與「$0^\circ\text{C}$ 水升溫至 $T^\circ\text{C}$」）： $Q_{\text{吸}} = m_{\text{冰}} L_f + m_{\text{冰}} c (T - 0)$ $Q_{\text{吸}} = 333,000 + 1.0 \times 4187 \times T = 333,000 + 4187 T$

• 熱水釋放的熱量 $Q_{\text{放}}$（「$90^\circ\text{C}$ 熱水降溫至 $T^\circ\text{C}$」）： $Q_{\text{放}} = m_{\text{水}} c (90 - T)$

核心觀念

本題考核流體力學中的質量守恆定律與連續方程式（Continuity Equation）。

1. 不可壓縮流體（Incompressible Fluid）： 水在常溫常壓流動時，密度 $\rho$ 視為常數（$\rho_1 = \rho_2 = \rho_3 = \rho$）。
2. 體積流量（Volume Flow Rate, $Q$）： 流體通過某截面的體積流量為截面積 $A$ 與平均流速 $v$ 的乘積： $Q = A v$ 若河道截面簡化為矩形，則截面積 $A = \text{寬度}(W) \times \text{深度}(D)$。
3. 分流／匯流的連續方程式： 在穩定流動（Steady flow）下，流入匯流節點的總質量流量等於流出的質量流量。對於不可壓縮流體，即總體積流量守恆： $Q_1 + Q_2 = Q_3 \implies A_1 v_1 + A_2 v_2 = A_3 v_3$

解題方法

將兩條支流分別設為河道 $1$ 與河道 $2$，匯流後的河流設為河道 $3$。

步驟一：計算第一條河的截面積 $A_1$ 與體積流量 $Q_1$

• 寬度 $W_1 = 10.5\text{ m}$，深度 $D_1 = 4.0\text{ m}$，流速 $v_1 = 2.5\text{ m/s}$
• 截面積： $A_1 = W_1 \times D_1 = 10.5 \times 4.0 = 42.0\text{ m}^2$
• 體積流量： $Q_1 = A_1 v_1 = 42.0 \times 2.5 = 105.0\text{ m}^3\text{/s}$

步驟二：計算第二條河的截面積 $A_2$ 與體積流量 $Q_2$

• 寬度 $W_2 = 8.0\text{ m}$，深度 $D_2 = 3.5\text{ m}$，流速 $v_2 = 3.0\text{ m/s}$
• 截面積： $A_2 = W_2 \times D_2 = 8.0 \times 3.5 = 28.0\text{ m}^2$
• 體積流量： $Q_2 = A_2 v_2 = 28.0 \times 3.0 = 84.0\text{ m}^3\text{/s}$

核心觀念

1. 庫侖定律（Coulomb's Law）與電力疊加原理（Principle of Superposition）： 真空中兩點電荷 $q_a$ 與 $q_b$ 相距 $r$ 時，彼此間之靜電力大小為： $F = \frac{k |q_a q_b|}{r^2}$ 其中 $k$ 為庫侖常數。同性電荷相斥，異性電荷相吸。多個點電荷作用於某一電荷之淨電力，為各分力之向量和。

2. 靜力平衡與電場條件： 第三個點電荷 $q_3$ 所受之淨電力 $\vec{F}_{\text{net}} = q_3 \vec{E}_{\text{net}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$。 因 $q_3 = 6.0\ \mu\text{C} \neq 0$，欲使 $\vec{F}_{\text{net}} = 0$，等價於該位置處由 $q_1$ 與 $q_2$ 所建立的淨電場為零（$\vec{E}_{\text{net}} = 0$）。此平衡位置與 $q_3$ 的電量大小及電性完全無關。

3. 一維場源之空間分布對稱性： 兩源電荷均位於 $X$ 軸上，若 $q_3$ 偏離 $X$ 軸（$y \neq 0$ 或 $z \neq 0$），兩源電荷施加之電力在垂直於 $X$ 軸之分量方向相同（無法完全反向），不可能相互抵消。故除了無窮遠處外，使合力為零之點必落在 $X$ 軸上。

4. 平衡位置分區判定法則：

• 同號電荷：電場反向之區域必落在「兩電荷之間」，平衡點必定在兩電荷相連的線段內，且偏向電量量值較小者。
• 異號電荷：電場反向之區域必落在「兩電荷之外側」，平衡點必定在線段外側、靠近「電量量值較小者」的一端。

解題方法

(一) 求 $q_1 = +36\ \mu\text{C}$ 時的平衡位置

1. 判斷平衡區域：

• $q_1 = +36\ \mu\text{C}$ 位於 $x = 0$；$q_2 = +4.0\ \mu\text{C}$ 位於 $x = 2.0\text{ m}$。
• 兩者皆為正電荷：
• 當 $x < 0$ 時，$\vec{E}_1$ 與 $\vec{E}_2$ 皆朝向 $-x$ 方向，合電場不為零。
• 當 $x > 2.0$ 時，$\vec{E}_1$ 與 $\vec{E}_2$ 皆朝向 $+x$ 方向，合電場不為零。
• 當 $0 < x < 2.0$ 時，$\vec{E}_1$ 朝 $+x$ 方向，$\vec{E}_2$ 朝 $-x$ 方向，兩者方向相反，可能抵消。
• 因此平衡點必落在 $0 < x < 2.0$ 區間。

2. 列式計算： 設平衡點位置為 $(x, 0)$，此時 $q_3$ 距 $q_1$ 之距離為 $x$，距 $q_2$ 之距離為 $(2.0 - x)$。 兩力大小相等： $\frac{k |q_1| q_3}{x^2} = \frac{k |q_2| q_3}{(2.0 - x)^2}$

兩邊同除以 $k q_3$，並代入電量： $\frac{36}{x^2} = \frac{4.0}{(2.0 - x)^2}$

同除以 $4.0$： $\frac{9}{x^2} = \frac{1}{(2.0 - x)^2}$

因 $0 < x < 2.0$，兩側之基底 $x$ 與 $(2.0 - x)$ 皆為正數，直接開平方根： $\frac{3}{x} = \frac{1}{2.0 - x}$

交叉相乘求解： $3(2.0 - x) = x \implies 6.0 - 3x = x \implies 4x = 6.0 \implies x = 1.5\text{ m}$

(二) 原點電荷改為 $q_1 = -36\ \mu\text{C}$ 時的平衡位置

1. 判斷平衡區域：

• $q_1 = -36\ \mu\text{C}$（負電）位於 $x = 0$；