108 高普考普通考試 天文 天文觀測概要 考古題詳解

核心觀念

1. 特長基線干涉技術（VLBI）之空間解析率： 在電波干涉量測學中，空間角解析率（Angular Resolution）取決於觀測波長 $\lambda$ 與陣列中最遠兩座望遠鏡間之距離，即最大基線長度（Baseline Length, $B$）。干涉儀之標稱角解析率（合成波束半高寬／條紋間隔）公式為： $\theta \approx \frac{\lambda}{B}$ 若題目要求遵循光學圓孔繞射之雷利準則（Rayleigh Criterion），則為： $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{B}$ （國家考試作答時，以電波干涉界通用的 $\theta \approx \frac{\lambda}{B}$ 為主，並附帶列出雷利準則形式最為完整）。

2. 小角度近似公式（Small-Angle Approximation）： 當天體視張角 $\theta$ 極小且以弧度（$\mathrm{rad}$）為單位時，其在遠方所對應的物理直徑（線性尺寸 $s$）與觀測距離 $d$ 呈正比： $s = d \cdot \theta$

3. 天文常用角距離單位換算：

• $1^\circ = 60' = 3600'' = 3600\ \mathrm{as}$（角秒）
• $1\ \mathrm{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 206265''$
• $1\ \mathrm{as} = 10^6\ \mu\mathrm{as}$（微角秒，microarcsecond）
• $1\ \mu\mathrm{as} = 10^{-6}\ \mathrm{as} \approx \frac{1}{206265 \times 10^6}\ \mathrm{rad} \approx 4.848 \times 10^{-12}\ \mathrm{rad}$

4. 天文常數：

• 地球至月球平均距離：$d_{\text{moon}} \approx 3.84 \times 10^5\ \mathrm{km} = 3.84 \times 10^8\ \mathrm{m}$。

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解題方法

(一) 計算基線長度 $B$

1. 統一單位至國際標準制（SI）：

• 觀測波長： $\lambda = 1.3\ \mathrm{mm} = 1.3 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$
• 角解析率： $\theta = 20\ \mu\mathrm{as} = 20 \times 10^{-6}\ \mathrm{as} = \frac{20 \times 10^{-6} \times \pi}{180 \times 3600}\ \mathrm{rad} \approx 9.70 \times 10^{-11}\ \mathrm{rad}$

2. 代入干涉儀解析率公式： 依據電波天文學干涉儀標稱解析率定義 $\theta \approx \frac{\lambda}{B}$： $B = \frac{\lambda}{\theta} = \frac{1.3 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}}{9.696 \times 10^{-11}\ \mathrm{rad}} \approx 1.34 \times 10^7\ \mathrm{m} = 1.34 \times 10^4\ \mathrm{km}$

核心觀念

本題評量天文觀測中「天球坐標系」與「太陽視運動」的基礎幾何關係，涉及以下核心觀念與公式：

1. 地理緯度與天極高度的關係： 在北半球，天北極（North Celestial Pole, NCP）的仰角等於觀測者的地理緯度 $\phi$。因此，天球赤道（Celestial Equator）與南方地平線的夾角即為余緯度： $90^\circ - \phi$

2. 太陽赤緯（Declination, $\delta$）： 因地球自轉軸相對於黃道面傾斜約 $23.5^\circ$（精確值約為 $23^\circ 26'$），太陽的赤緯一年中在 $+23.5^\circ$（夏至）與 $-23.5^\circ$（冬至）之間週期性變化。冬至當日，太陽位於黃經 $270^\circ$，赤緯為： $\delta = -23.5^\circ \quad (\text{或 } -23^\circ 26')$

3. 正午太陽高度角（Noon Solar Altitude, $h$）與天頂距（Zenith Distance, $z$）： 正午時太陽通過觀測者的天體子午圈（Meridian），達到一日中最高的仰角（上中天）。對於緯度 $\phi$ 高於太陽赤緯 $\delta$ 的觀測點（$\phi > \delta$），太陽於天頂偏南方中天：

• 天頂距： $z = \phi - \delta$
• 高度角： $h = 90^\circ - z = 90^\circ - (\phi - \delta) = 90^\circ - \phi + \delta$

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解題方法

步驟一：設定已知條件與參數

• 觀測地點：臺北，地理緯度 $\phi = +25^\circ\text{ N}$。
• 觀測時間：冬至正午，太陽赤緯 $\delta = -23.5^\circ$（若以分秒計為 $-23^\circ 26'$）。

步驟二：繪圖輔助說明（子午圈截面幾何圖）

下圖為沿觀測者天球子午圈（南北向切面）的幾何投影：

 天頂 (Z)
 │
 Q(天球赤道)
 \ │
 P(天北極) \ │ S(冬至正午太陽)
 \ \│ /
 \ │ /
 \ φ=25° │/
北地平 (N) ────┴────────┼────────┴──── 南地平 (S)
 │ 地平線面 (Horizon)
 │
 │
 天底 (Na)

圖形角度對應說明：

1. 地平線與天頂：南北地平線為水平基準線，天頂 $Z$ 與地平線垂直。
2. 天極位置：天北極 $P$ 位於北地平線上方，仰角 $\angle PON = \phi = 25^\circ$。
3. 天球赤道位置：天球赤道 $Q$ 垂直於極軸 $OP$（$\angle POQ = 90^\circ$），其在南地平線上的仰角為 $\angle QOS = 90^\circ - \phi = 65^\circ$。

核心觀念

本題評量天文觀測學中最基礎且核心的距離模數（Distance Modulus）​與星等換算。

1. 視星等（$m$）與絕對星等（$M$）：

• 視星等是地面觀測者所見天體的亮度等級。
• 絕對星等定義為「天體置於距離觀測者 $10\text{ pc}$（秒差距）處所具有的視星等」。

2. 距離模數公式： $m - M = 5 \log_{10}\left(\frac{d}{10\text{ pc}}\right) = 5 \log_{10}(d) - 5$

• $m$：視星等（無單位）。
• $M$：絕對星等（無單位）。
• $d$：天體距離，單位必須為秒差距（$\text{pc}$）。
• 移項求解絕對星等： $M = m - 5 \log_{10}(d) + 5$

3. 天文常數：

• 計算太陽時，題目未提供日地平均距離換算為秒差距之數值，需依天文定義代入常數：$1\text{ pc} \approx 206,265\text{ AU}$，故太陽與地球之距離 $d_\odot = 1\text{ AU} = \frac{1}{206,265}\text{ pc} \approx 4.848 \times 10^{-6}\text{ pc}$。

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解題方法

一、織女星（Vega）的絕對星等

1. 已知條件：

• 視星等 $m = +0.03$
• 距離 $d = 7.76\text{ pc}$

2. 帶入距離模數公式： $M_{\text{Vega}} = m - 5 \log_{10}(d) + 5$ $M_{\text{Vega}} = 0.03 - 5 \log_{10}(7.76) + 5$

3. 數值計算：

• 取對數值：$\log_{10}(7.76) \approx 0.8899$
• $5 \log_{10}(7.76) \approx 5 \times 0.8899 = 4.4495 \approx 4.45$
• 距離模數 $\mu = m - M = 4.45 - 5 = -0.55$
• $M_{\text{Vega}} = 0.03 - (-0.55) = +0.58$

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二、太陽（Sun）的絕對星等

1. 已知條件與常數假設：

• 視星等 $m_\odot = -26.7$
• 日地距離 $d_\odot = 1\text{ AU} = \frac{1}{206,265}\text{ pc}$

核心觀念

1. 光學都卜勒效應（Doppler Effect）與視向速度（Radial Velocity） 天體相對於觀測者的視向運動會造成光譜線波長位移。在非相對論性低速近似下（$v \ll c$），都卜勒位移公式為： $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}$ 其中 $\lambda_0$ 為靜止實驗室波長，$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0$ 為觀測波長位移量，$v_r$ 為視向速度（以遠離為正），$c$ 為光速（約 $3.0 \times 10^5\ \text{km/s}$）。

2. 圓軌道雙星系統的視向速度合成 設該雙星系統質心相對於觀測者的視向速度（系統速度，systemic velocity）為 $v_\gamma$，該恆星繞質心作圓軌道運動的軌道速度為 $v_{\text{orb}}$。 若雙星軌道面與天空平面的夾角為軌道傾角 $i$（$0^\circ \le i \le 90^\circ$），則恆星在視線方向上的投影速度為： $v_r(t) = v_\gamma + v_{\text{orb}} \sin i \cos \theta(t)$ 因此觀測到的波長極大值與極小值分別對應： $\lambda_{\max} = \lambda_0 \left( 1 + \frac{v_\gamma + v_{\text{orb}} \sin i}{c} \right)$ $\lambda_{\min} = \lambda_0 \left( 1 + \frac{v_\gamma - v_{\text{orb}} \sin i}{c} \right)$

3. 軌道速度下限的幾何條件 視向速度半振幅為 $K = v_{\text{orb}} \sin i$。因為軌道傾角滿足 $0 < \sin i \le 1$，所以真實軌道速度滿足： $v_{\text{orb}} = \frac{K}{\sin i} \ge K$ 當軌道面恰好包含觀測者的視線，即側面邊緣朝向我們（edge-on，$i = 90^\circ$、$\sin i = 1$）時，$v_{\text{orb}}$ 有最小值 $v_{\text{orb},\min} = K$。

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解題方法

1. 求出軌道運動在視線方向造成的波長半振幅 $\Delta \lambda_{\text{orb}}$ 題目給定靜止波長 $\lambda_0 = 6563\ \text{\AA}$，觀測極端值為 $\lambda_{\max} = 6571\ \text{\AA}$ 與 $\lambda_{\min} = 6565\ \text{\AA}$。 兩極端值的波長差為軌道運動造成全振幅位移： $\Delta \lambda_{\text{span}} = \lambda_{\max} - \lambda_{\min} = 6571\ \text{\AA} - 6565\ \text{\AA} = 6\ \text{\AA}$ 對應軌道運動的波長半振幅（即波長偏離中心值的最大幅度）為： $\Delta \lambda_{\text{orb}} = \frac{\lambda_{\max} - \lambda_{\min}}{2} = \frac{6\ \text{\AA}}{2} = 3\ \text{\AA}$

2. 計算視線方向的投影軌道速度 $v_{\text{orb}} \sin i$ 由非相對論性都卜勒公式： $\frac{\Delta \lambda_{\text{orb}}}{\lambda_0} = \frac{v_{\text{orb}} \sin i}{c}$

核心觀念

1. 集光力（Light Gathering Power, LGP）： 光學儀器的集光能力與入光孔徑的截面積成正比，即與口徑直徑的平方成正比： $\text{LGP} \propto D^2$

2. 普格森公式（Pogson's Relation）與星等差： 兩光源的星等差 $\Delta m = m_1 - m_2$ 與其接收到的光通量比（或集光面積比）滿足對數關係： $\Delta m = 2.5 \log_{10}\left(\frac{F_2}{F_1}\right) = 2.5 \log_{10}\left(\frac{D_1^2}{D_2^2}\right) = 5 \log_{10}\left(\frac{D_1}{D_2}\right)$ 望遠鏡相較於肉眼所能提升的極限星等（Limiting Magnitude）公式為： $m_{\text{tel}} = m_{\text{eye}} + 5 \log_{10}\left(\frac{D_{\text{tel}}}{D_{\text{eye}}}\right)$

3. CCD 探測器之訊雜比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）方程式： 天文觀測中，探測器的極限星等取決於能否在特定訊雜比（通常為 $\text{SNR} \ge 3 \sim 5$）下辨識目標。CCD 觀測星點的訊雜比基本形式為： $\text{SNR} = \frac{N_* \cdot t \cdot \text{QE}}{\sqrt{N_* \cdot t \cdot \text{QE} + n_{\text{pix}} \cdot (B_{\text{sky}} \cdot t + D \cdot t + R^2)}}$ 其中 $N_*$ 為天體入射光子率、$\text{QE}$ 為量子效率、$t$ 為曝光時間、$n_{\text{pix}}$ 為星像所佔像素數（受大氣視寧度影響）、$B_{\text{sky}}$ 為天空背景光、$D$ 為暗電流、$R$ 為讀出雜訊。

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解題方法

(一) 計算口徑 $10\ \mathrm{cm}$ 光學望遠鏡的肉眼極限星等

1. 統一單位與列出已知條件：

• 瞳孔直徑：$D_{\text{eye}} = 5.0\ \mathrm{mm} = 0.5\ \mathrm{cm}$
• 望遠鏡口徑：$D_{\text{tel}} = 10\ \mathrm{cm} = 100\ \mathrm{mm}$
• 肉眼裸視極限星等：$m_{\text{eye}} = 6.0$

2. 計算口徑比與集光倍率： 望遠鏡與瞳孔的直徑比為： $\frac{D_{\text{tel}}}{D_{\text{eye}}} = \frac{10\ \mathrm{cm}}{0.5\ \mathrm{cm}} = 20$ 望遠鏡集光能力為肉眼的： $\left(\frac{D_{\text{tel}}}{D_{\text{eye}}}\right)^2 = 20^2 = 400\text{ 倍}$

3. 代入極限星等公式推導增益： $\Delta m = 5 \log_{10}(20) = 5 \times \left(\log_{10} 2 + \log_{10} 10\right) = 5 \times (0.3010 + 1) = 5 \times 1.3010 = 6.505 \approx 6.5$