113 高普考普通考試 土木工程 材料力學概要 考古題詳解

113 年・高普考・普通考試・土木工程
試題代碼 材料力學概要

第 一 題25 分

已知懸臂梁在自由端承受一垂直集中載重 PP 時，載重點的傾角為

PL22EI\frac{PL^2}{2EI}

垂直位移為

PL33EI\frac{PL^3}{3EI}

試以此結果出發，令 EIEI 為梁之撓曲剛度，求：

（一）圖 1a 自由端之傾角與位移。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（二）依據上述結果，在圖 1b 中，以右端點 cc 之支承反力 RcR_c 為贅餘力，計算固定端之支承反力 MaM_a 與 RaR_a，以及梁右端點 cc 逆時針旋轉之傾斜角 θc\theta_c。

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核心觀念

本題考查懸臂梁集中載重的撓度與轉角公式，並以「力法」處理圖 1b 的一次靜不定梁。

已知懸臂梁自由端受集中力 PP 時：

θ=PL22EI,δ=PL33EI\theta=\frac{PL^2}{2EI},\qquad \delta=\frac{PL^3}{3EI}

其中 EIEI 為梁之撓曲剛度。圖 1a 的集中力作用於距固定端 dd 處，必須將載重點右側視為剛體轉動段。

（一）圖 1a 自由端之傾角與位移

令梁全長為 LaL_a，集中力 PP 作用於距固定端 dd 處。

1. 自由端傾角

集中力作用點右側沒有彎矩，因此該段僅隨載重點轉動，自由端傾角等於載重點傾角：

θLa=Pd22EI\theta_{L_a}=\frac{Pd^2}{2EI}

方向為順時針。

2. 自由端垂直位移

自由端位移由兩部分組成：

  1. 載重點本身的垂直位移：
δd=Pd33EI\delta_d=\frac{Pd^3}{3EI}
  1. 載重點轉動造成右側長度 La−dL_a-d 的位移：
θd(La−d)=Pd22EI(La−d)\theta_d(L_a-d) = \frac{Pd^2}{2EI}(L_a-d)

因此自由端總位移為

δLa=Pd33EI+Pd22EI(La−d)\delta_{L_a} = \frac{Pd^3}{3EI} + \frac{Pd^2}{2EI}(L_a-d)

整理得

δLa=Pd2(3La−d)6EI\boxed{ \delta_{L_a} = \frac{Pd^2(3L_a-d)}{6EI} }

方向為向下。

（二）圖 1b：以 RcR_c 為贅餘力

圖 1b 中，集中力 PP 作用於

b=La2b=\frac{L_a}{2}

處，右端 cc 為支承。取 RcR_c 為贅餘力，先將右端支承移除，形成長度 LaL_a 的懸臂梁。

1. 以 cc 點垂直位移相容求 RcR_c

由集中力 PP 所造成的 cc 點向下位移：

δc,P=Pb2(3La−b)6EI\delta_{c,P} = \frac{Pb^2(3L_a-b)}{6EI}

由右端向上力 RcR_c 所造成的 cc 點向上位移：

δc,Rc=RcLa33EI\delta_{c,R_c} = \frac{R_cL_a^3}{3EI}

因為原梁右端 cc 受支承，垂直位移必須為零：

δc,P−δc,Rc=0\delta_{c,P}-\delta_{c,R_c}=0

故

Pb2(3La−b)6EI=RcLa33EI\frac{Pb^2(3L_a-b)}{6EI} = \frac{R_cL_a^3}{3EI}

解得

Rc=Pb2(3La−b)2La3R_c = \frac{Pb^2(3L_a-b)}{2L_a^3}

代入 b=La/2b=L_a/2：

Rc=P(La2)2(3La−La2)2La3=5P16R_c = \frac{ P\left(\frac{L_a}{2}\right)^2 \left(3L_a-\frac{L_a}{2}\right) }{ 2L_a^3 } = \boxed{\frac{5P}{16}}

方向向上。

2. 固定端垂直反力 RaR_a

由鉛直方向力平衡：

Ra+Rc−P=0R_a+R_c-P=0

因此

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第 二 題25 分

一橫梁由彈性材料所組成，兩端固定，如圖 2 所示。斷面為高 30 mm30\,\mathrm{mm}、寬 20 mm20\,\mathrm{mm} 之矩形，其彈性係數為

E=60000 MPaE=60000\,\mathrm{MPa}

熱膨脹係數為

α=1.2×10−5 (1/∘C)\alpha=1.2\times10^{-5}\,(1/{}^\circ\mathrm{C})

此時若將梁上方溫度提高 5∘C5^\circ\mathrm{C}，且將梁下方溫度提高 15∘C15^\circ\mathrm{C}，假設升溫前梁未受力，試問升溫後，牆壁給梁之支承軸力 FF 與彎矩 MM 為何？

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核心觀念

本題考查「兩端固定梁受非均勻溫度變化」所產生的軸力與彎矩。

兩端固定表示：

  1. 梁的總伸長量為零，因此平均軸向應變為零。
  2. 梁兩端轉角均為零，因此總曲率為零。

矩形斷面資料為

A=bh=20(30)=600 mm2A=bh=20(30)=600\ \mathrm{mm^2} I=bh312=20(30)312=45000 mm4I=\frac{bh^3}{12} =\frac{20(30)^3}{12} =45000\ \mathrm{mm^4}

取斷面形心為基準，令 yy 軸向上為正。梁上方溫升 5∘C5^\circ\mathrm{C}，下方溫升 15∘C15^\circ\mathrm{C}。

解題方法

一、支承軸力 FF

斷面平均溫升為

ΔTavg=5+152=10∘C\Delta T_{\mathrm{avg}} =\frac{5+15}{2} =10^\circ\mathrm{C}

若梁可自由伸長，平均熱應變為

εT=αΔTavg=(1.2×10−5)(10)=1.2×10−4\varepsilon_T=\alpha\Delta T_{\mathrm{avg}} =(1.2\times10^{-5})(10) =1.2\times10^{-4}

但兩端固定，總伸長為零，所以產生壓縮軸力：

F=EAεT=EAαΔTavgF=EA\varepsilon_T =EA\alpha\Delta T_{\mathrm{avg}}

代入數值：

F=(60000)(600)(1.2×10−5)(10)F=(60000)(600)(1.2\times10^{-5})(10) F=4320 N=4.32 kNF=4320\ \mathrm{N} =4.32\ \mathrm{kN}

此軸力為壓縮力。

二、支承彎矩 MM

溫度沿梁高呈線性分布，溫度梯度為

dTdy=5−1530=−13 ∘C/mm\frac{dT}{dy} =\frac{5-15}{30} =-\frac{1}{3}\ ^\circ\mathrm{C/mm}
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第 三 題25 分

一左右對稱之箱型梁由兩種材料所製成，斷面尺寸如圖 3 所示。此斷面在 zz-軸向承受一純彎矩 MzM_z。

若材料 1 與材料 2 為相同材料，試求中性軸（也是 zz-軸）距離底線的高度 cc。

若材料 2 的彈性係數 E2E_2 為材料 1 的彈性係數 E1E_1 之兩倍，E2=2E1E_2=2E_1，則中性軸距離底線的高度又為何？

斷面尺寸如下：

  • 外部寬度：100 mm100\,\mathrm{mm}
  • 左、右側材料 1 厚度：10 mm10\,\mathrm{mm}
  • 上方材料 2 厚度：18 mm18\,\mathrm{mm}
  • 下方材料 2 厚度：12 mm12\,\mathrm{mm}
  • 內部高度：90 mm90\,\mathrm{mm}

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核心觀念

本題考查「兩種材料組合梁在純彎矩作用下的中性軸位置」。

純彎曲時，截面應變隨高度呈線性分布。中性軸位置必須使截面上的軸向合力為零，因此：

∫Aσ dA=0\int_A \sigma\,dA=0

又因為

σ=Eε=Eκ(y−c)\sigma=E\varepsilon=E\kappa(y-c)

所以中性軸距離底線的高度 cc 滿足：

∫AE(y−c) dA=0\int_A E(y-c)\,dA=0

整理得：

c=∑EiAiyˉi∑EiAic=\frac{\sum E_iA_i\bar y_i}{\sum E_iA_i}

這就是以彈性係數加權後的形心位置。

斷面分割

由圖可知：

  • 總高度：18+90+12=120 mm18+90+12=120\ \text{mm}
  • 內部寬度：100−10−10=80 mm100-10-10=80\ \text{mm}

將斷面分成三部分：

部位材料面積 AA形心距底線高度 yˉ\bar y
左、右側板材料 12(10)(120)=2400 mm22(10)(120)=2400\ \text{mm}^260 mm60\ \text{mm}
上板材料 2(80)(18)=1440 mm2(80)(18)=1440\ \text{mm}^212+90+182=111 mm12+90+\frac{18}{2}=111\ \text{mm}
下板材料 2(80)(12)=960 mm2(80)(12)=960\ \text{mm}^2122=6 mm\frac{12}{2}=6\ \text{mm}

解題方法一：E1=E2E_1=E_2

兩種材料相同時，彈性係數可約去，因此中性軸就是整個組合斷面的形心：

c=∑Aiyˉi∑Aic=\frac{\sum A_i\bar y_i}{\sum A_i}

代入：

c=2400(60)+1440(111)+960(6)2400+1440+960c= \frac{ 2400(60)+1440(111)+960(6) }{ 2400+1440+960 }
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第 四 題25 分

一水平梁承受強度為 q0q_0 之均布載重，此梁為兩段式，左端固定，兩段之間為鉸接，右端為一滾支承，如圖 4a 所示。

梁內正剪力與正彎矩方向定義如圖 4b，試繪製相應之剪力圖與彎矩圖。

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核心觀念

本題考查：

  • 內鉸接處不能傳遞彎矩，因此 MB=0M_B=0。
  • 內鉸接可傳遞剪力，須利用右側跨距的靜力平衡求鉸接剪力。
  • 剪力圖斜率為均布載重的負值：

dVdx=−q0\frac{dV}{dx}=-q_0

  • 彎矩圖斜率等於剪力：

dMdx=V\frac{dM}{dx}=V

  • 均布載重作用下，剪力圖為直線，彎矩圖為二次拋物線。

令左固定端為 AA，內鉸接為 BB，右滾支承為 CC，且

AB=L,BC=L2AB=L,\qquad BC=\frac{L}{2}

全梁均承受均布載重 q0q_0。

解題方法

1. 先分析右側內鉸接跨距

BCBC 為兩端具有鉸接性質的簡支梁，跨距為 L/2L/2，且承受均布載重 q0q_0。

由對稱性：

RB=RC=q0(L2)12=q0L4R_B=R_C=q_0\left(\frac{L}{2}\right)\frac{1}{2} =\frac{q_0L}{4}

因此，右跨剪力由內鉸接右側的

VB+=q0L4V_{B^+}=\frac{q_0L}{4}

開始，至 CC 左側變為

VC−=q0L4−q0(L2)=−q0L4V_{C^-}=\frac{q_0L}{4}-q_0\left(\frac{L}{2}\right) =-\frac{q_0L}{4}

在右滾支承處受向上反力 RC=q0L/4R_C=q_0L/4，剪力跳回 00。

2. 求左固定端反力

整體豎向力平衡：

RA+RC=q0L+q0(L2)R_A+R_C=q_0L+q_0\left(\frac{L}{2}\right)

代入 RC=q0L/4R_C=q_0L/4：

RA=5q0L4R_A=\frac{5q_0L}{4}

左跨 ABAB 的剪力由 AA 處開始，因此

VA=5q0L4V_A=\frac{5q_0L}{4}

至內鉸接左側：

VB−=5q0L4−q0L=q0L4V_{B^-}=\frac{5q_0L}{4}-q_0L =\frac{q_0L}{4}

可見內鉸接左右兩側的剪力數值相同，剪力圖在 BB 處連續。

剪力圖

取 xx 自固定端 AA 向右量測。

左跨 ABAB，0≤x≤L0\le x\le L

V(x)=5q0L4−q0xV(x)=\frac{5q_0L}{4}-q_0x

所以：

VA=5q0L4,VB−=q0L4V_A=\frac{5q_0L}{4},\qquad V_{B^-}=\frac{q_0L}{4}

右跨 BCBC

令 ss 自 BB 向右量測，0≤s≤L/20\le s\le L/2：

V(s)=q0L4−q0sV(s)=\frac{q_0L}{4}-q_0s

所以：

VB+=q0L4,VC−=−q0L4V_{B^+}=\frac{q_0L}{4},\qquad V_{C^-}=-\frac{q_0L}{4}

在 CC 處因滾支承反力向上，剪力增加 q0L/4q_0L/4，回到零。

剪力圖特徵如下：

  • AA：由 00 跳至 5q0L4\dfrac{5q_0L}{4}
  • AA 至 BB：線性下降至 q0L4\dfrac{q_0L}{4}
  • BB 至 CC：線性下降，通過零點
  • CC 左側：−q0L4-\dfrac{q_0L}{4}
  • CC 處跳回 00

右跨剪力為零的位置：

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