114 高普考普通考試 土木工程 材料力學概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・土木工程
試題代碼 材料力學概要

第 一 題25 分

如圖 1，受軸力作用之桿件，有 3 個集中力分別作用於 BB、DD、FF 點，力量之大小及方向如圖所示。

桿件 BCBC 段、CDCD 段、DFDF 段之斷面積分別為 AA、2A2A、2A2A；材料彈性模數（modulus of elasticity）分別為 3E3E、EE、3E3E。桿件各段長度及外力配置如附圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

假設外力施加後桿件仍維持彈性狀態，請問：

(一) 桿件受力後總變形量為何？

(二) BCBC 段、CDCD 段、DFDF 段變形量（包含正負）之比例為何？

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核心觀念

本題考查軸向受力桿件的內力判定與軸向變形公式：

δ=NLAE\delta=\frac{NL}{AE}

其中：

  • NN：該段軸力，拉力取正、壓力取負
  • LL：該段長度
  • AA：斷面積
  • EE：彈性模數
  • δ\delta：該段長度變形量

圖中三個外力為：

  • BB 點：向右 PP
  • DD 點：向左 2P2P
  • FF 點：向右 PP

整體外力平衡：

P−2P+P=0P-2P+P=0

因此桿件可維持平衡。

解題方法：逐段取剖面判定軸力

以左側部分作自由體圖。

  1. BCBC 段

在 BCBC 任一位置剖開，左側僅有 BB 點向右的外力 PP，故該段承受壓力：

NBC=−PN_{BC}=-P
  1. CDCD 段

在 CDCD 任一位置剖開，左側仍只有 BB 點的力 PP，故：

NCD=−PN_{CD}=-P
  1. DFDF 段

在 DFDF 任一位置剖開，左側外力合力為：

P−2P=−PP-2P=-P

因此該段承受拉力：

NDF=+PN_{DF}=+P

各段資料如下：

桿段NLAEBC−PLA(3E)=3AECD−PL2(2A)E=2AEDF+P3L2(2A)(3E)=6AE\begin{array}{c|c|c|c} \text{桿段} & N & L & AE \\ \hline BC & -P & L & A(3E)=3AE \\ CD & -P & \frac{L}{2} & (2A)E=2AE \\ DF & +P & \frac{3L}{2} & (2A)(3E)=6AE \end{array}

各段變形量：

δBC=(−P)LA(3E)=−PL3AE\delta_{BC} =\frac{(-P)L}{A(3E)} =-\frac{PL}{3AE} δCD=(−P)(L/2)(2A)E=−PL4AE\delta_{CD} =\frac{(-P)(L/2)}{(2A)E} =-\frac{PL}{4AE}
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第 二 題25 分

如圖 2(a)，一端懸臂的簡支梁 ABCABC，自由端 CC 受 P=200 NP=200\ \mathrm{N} 之向下集中力作用。圖中 L=1 mL=1\ \mathrm{m}。此梁斷面為 5 cm×5 cm5\ \mathrm{cm}\times5\ \mathrm{cm} 之正方形實心斷面。

梁內之正剪力與正彎矩定義如圖 2(b) 所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請繪出此梁內之剪力圖及彎矩圖，並求出此梁因內部彎矩而產生之最大正向應力。

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核心觀念

本題考查懸臂式簡支梁的：

  • 支承反力計算
  • 剪力圖與彎矩圖
  • 彎曲正應力公式

依圖 2(b) 的正號定義，採用：

  • 正剪力：截面左側向下、右側向上
  • 正彎矩：左截面逆時針、右截面順時針

梁長度為

AB=2L=2 m,BC=L=1 mAB=2L=2\ \text{m},\qquad BC=L=1\ \text{m}

且 P=200 NP=200\ \text{N}。

一、支承反力

設 A 點反力為 AyA_y，B 點反力為 ByB_y。

取 A 點力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 By(2L)−P(3L)=0B_y(2L)-P(3L)=0

因此

By=32P=300 NB_y=\frac{3}{2}P=300\ \text{N}

再由鉛直方向力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+By−P=0A_y+B_y-P=0 Ay=200−300=−100 NA_y=200-300=-100\ \text{N}

所以 A 點反力為 100 N100\ \text{N} 向下，B 點反力為 300 N300\ \text{N} 向上。

二、剪力圖

令 xx 自 A 點向右量測。

1. 0<x<2 m0<x<2\ \text{m}，位於 AB 段

左側自由體只有 Ay=−100 NA_y=-100\ \text{N}。

依圖示正剪力定義：

V=−100 NV=-100\ \text{N}

因此 AB 段剪力為常數 −100 N-100\ \text{N}。

2. 2<x<3 m2<x<3\ \text{m}，位於 BC 段

左側自由體包含 A、B 兩點反力：

V=Ay+By=−100+300=200 NV=A_y+B_y=-100+300=200\ \text{N}

因此 BC 段剪力為常數 +200 N+200\ \text{N}。

3. C 點

C 點集中力 P=200 NP=200\ \text{N} 向下，使剪力由 +200 N+200\ \text{N} 降至零。

剪力圖如下：

V(x)={−100 N,0<x<2+200 N,2<x<3V(x)= \begin{cases} -100\ \text{N}, & 0<x<2\\[4pt] +200\ \text{N}, & 2<x<3 \end{cases}

各關鍵位置：

  • A 點後：V=−100 NV=-100\ \text{N}
  • B 點後：V=+200 NV=+200\ \text{N}
  • C 點後：V=0V=0

三、彎矩圖

彎矩與剪力的關係為

dMdx=V\frac{dM}{dx}=V

且 A、C 均無外加集中力矩，因此：

MA=0,MC=0M_A=0,\qquad M_C=0

1. AB 段

M(x)=Ayx=−100x N⋅mM(x)=A_yx=-100x\ \text{N}\cdot\text{m}

在 B 點：

MB=−100(2)=−200 N⋅mM_B=-100(2)=-200\ \text{N}\cdot\text{m}

2. BC 段

取左側部分對截面取矩：

M(x)=Ayx+By(x−2)M(x)=A_yx+B_y(x-2) M(x)=−100x+300(x−2)M(x)=-100x+300(x-2) M(x)=200x−600 N⋅mM(x)=200x-600\ \text{N}\cdot\text{m}

在 C 點：

MC=200(3)−600=0M_C=200(3)-600=0

因此彎矩圖為：

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第 三 題25 分

如圖 3(a) 懸臂梁 ABCABC，於 BB 點受 P=100 NP=100\ \mathrm{N} 之向下集中力作用。圖中 a=2 ma=2\ \mathrm{m}、b=1 mb=1\ \mathrm{m}。此梁材料彈性模數 EE 與斷面慣性矩 II 之乘積為 EI=1000 kN⋅m2EI=1000\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請利用圖 3(b) 所提供之公式，求出此梁自由端 CC 點之轉角及變位之大小及方向。

圖 3(b) 所提供之公式如下：

θB=PL22EI\theta_B=\frac{PL^2}{2EI}

δB=PL33EI\delta_B=\frac{PL^3}{3EI}

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核心觀念

懸臂梁受力點 BB 將梁分成兩段：

  • ABAB 段長度為 a=2 ma=2\ \mathrm{m}，集中力 PP 作用於其自由端，產生 BB 點的轉角與變位。
  • BCBC 段無外力作用，因此為直線段，CC 點與 BB 點具有相同轉角；CC 點的變位則等於 BB 點變位加上 BCBC 段因轉角造成的變位。

採用小變形假設。

解題方法與計算

已知

P=100 N=0.1 kNP=100\ \mathrm{N}=0.1\ \mathrm{kN} a=2 m,b=1 ma=2\ \mathrm{m},\qquad b=1\ \mathrm{m} EI=1000 kN⋅m2EI=1000\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2

由圖 3(b) 的懸臂梁自由端公式，取 L=aL=a：

θB=Pa22EI\theta_B=\frac{Pa^2}{2EI}

代入得

θB=(0.1)(22)2(1000)=2.00×10−4 rad\theta_B =\frac{(0.1)(2^2)}{2(1000)} =2.00\times 10^{-4}\ \mathrm{rad}

向下集中力使梁端順時針轉動，因此

θC=θB=2.00×10−4 rad\theta_C=\theta_B =2.00\times10^{-4}\ \mathrm{rad}

方向為順時針。

BB 點的垂直變位為

δB=Pa33EI\delta_B=\frac{Pa^3}{3EI} δB=(0.1)(23)3(1000)=2.667×10−4 m\delta_B =\frac{(0.1)(2^3)}{3(1000)} =2.667\times10^{-4}\ \mathrm{m}
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第 四 題25 分

如圖 4(a) 之空心封閉薄壁壓力球體，圖 4(b) 為其剖面。球體內部半徑 r=0.6 mr=0.6\ \mathrm{m}，球體壁厚 t=5 cmt=5\ \mathrm{cm}，球體內部氣體壓力 p=10 MPap=10\ \mathrm{MPa}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請求出此壓力容器壁體因內部氣壓而產生的最大正向應力，並求出壁體外側材料所受到的最大剪應力。

又請問壁體內側及外側材料所受到的最大剪應力何者較大？

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核心觀念

本題考查薄壁球形壓力容器的膜應力，以及三向主應力下的最大剪應力。

對半徑 rr、壁厚 tt、內壓 pp 的薄壁球體，球壁兩個互相垂直的切向應力相等：

σθ=σϕ=pr2t\sigma_{\theta}=\sigma_{\phi}=\frac{pr}{2t}

球壁內側還承受內壓所造成的徑向壓應力：

σr=−p\sigma_r=-p

外側若接觸大氣，則可視為：

σr≈0\sigma_r\approx 0

最大剪應力由最大、最小主應力之差的一半求得：

τmax⁡=σmax⁡−σmin⁡2\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}

解題方法

已知

r=0.6 m,t=5 cm=0.05 m,p=10 MPar=0.6\ \text{m},\qquad t=5\ \text{cm}=0.05\ \text{m},\qquad p=10\ \text{MPa}

球體壁面上兩個切向主應力相等，因此最大正向應力為球面切向拉應力：

σθ=σϕ=pr2t=(10)(0.6)2(0.05)=60 MPa\sigma_{\theta}=\sigma_{\phi} =\frac{pr}{2t} =\frac{(10)(0.6)}{2(0.05)} =60\ \text{MPa}

所以壁體的最大正向應力為

σmax⁡=60 MPa（拉應力）\boxed{\sigma_{\max}=60\ \text{MPa（拉應力）}}

壁體外側的最大剪應力

外側材料的三個主應力可取為

σ1=60 MPa,σ2=60 MPa,σ3=0\sigma_1=60\ \text{MPa},\qquad \sigma_2=60\ \text{MPa},\qquad \sigma_3=0

因此

τmax⁡,外=σ1−σ32=60−02=30 MPa\tau_{\max,\text{外}} =\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} =\frac{60-0}{2} =30\ \text{MPa}

故壁體外側最大剪應力為

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