114 高普考普通考試 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算：利用整體結構的 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$。
• 節點法：桁架各桿件均視為二力構件，桿力只有軸向拉力或壓力。
• 拉、壓判定：計算結果為正表示拉力，為負表示壓力。
• 幾何關係：斜桿 $Ab$、$Bc$ 均為 $3$-$4$-$5$ 三角形，因此方向餘弦為 $\frac45$、$\frac35$。

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，桿件拉力以正值表示。

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一、支承反力

由圖可知：

• $A$ 為鉸支承，反力為 $A_x、A_y$。
• $c$ 為滾支承，反力為垂直方向 $C_y$。
• $a$ 點水平力為 $40\ \mathrm{kN}$，方向向右。
• $B$ 點垂直力為 $120\ \mathrm{kN}$，方向向下。

對整個桁架取水平力平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$A_x+40=0$$ $$A_x=-40\ \mathrm{kN}$$

故 $A$ 點水平反力為 $40\ \mathrm{kN}$，方向向左。

對 $A$ 點取力矩，逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$8C_y-120(4)-40(3)=0$$ $$8C_y=600$$ $$C_y=75\ \mathrm{kN}$$

再由垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y-120=0$$ $$A_y+75-120=0$$ $$A_y=45\ \mathrm{kN}$$

因此支承反力為：

$$\boxed{A_x=40\ \mathrm{kN}\text{ 向左}}$$ $$\boxed{A_y=45\ \mathrm{kN}\text{ 向上}}$$ $$\boxed{C_y=75\ \mathrm{kN}\text{ 向上}}$$

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二、桿件 $Bc$ 與 $bc$ 的內力

先取節點 $c$。設 $Bc$、$bc$ 均為拉力。

斜桿 $Bc$ 的方向為 $3$-$4$-$5$，故其垂直分量為 $\frac35F_{Bc}$。

由節點 $c$ 的垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$75-\frac35F_{Bc}=0$$ $$F_{Bc}=125\ \mathrm{kN}$$

結果為正，故 $Bc$ 為拉力。

由水平力平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{bc}-\frac45(125)=0$$ $$F_{bc}=-100\ \mathrm{kN}$$

故 $bc$ 為 $100\ \mathrm{kN}$ 壓力。此結果作為後續節點 $b$ 分析之用。

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三、桿件 $AB$ 的內力

取節點 $B$，設 $AB$、$Bb$ 為拉力。

已知桿件 $Bc$ 為 $125\ \mathrm{kN}$ 拉力，其在節點 $B$ 的分量為：

$$F_{Bc,x}=\frac45(125)=100\ \mathrm{kN}$$ $$F_{Bc,y}=\frac35(125)=75\ \mathrm{kN}$$

由節點 $B$ 的水平力平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$-F_{AB}+100=0$$ $$F_{AB}=100\ \mathrm{kN}$$

故：

核心觀念

本題考查：

• 含內鉸接之靜定梁分析。
• 滾支承、固定支承及內鉸接的反力特性。
• 剪力圖與彎矩圖之繪製。
• 由容許最大負彎矩反求集中載重。
• 共軛梁法中，$M/EI$ 圖的面積與一次矩求撓度。

內鉸接 $C$ 的特性為：

$$M_C=0$$

且可將梁於 $C$ 點分成左右兩個自由體分析。

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一、支承反力、剪力圖與彎矩圖

取垂直向上為正，逆時針力矩為正。設 $B$ 點反力為 $R_B$，$D$ 點垂直反力為 $R_D$，固定端反力矩為 $M_D$。

1. 左側 $A$-$B$-$C$ 部分

對 $C$ 點取力矩：

$$R_B(4)-P(6)=0$$

因此

$$R_B=\frac{6}{4}P=1.5P$$

垂直力平衡：

$$R_B-P+C_y^{(左)}=0$$ $$C_y^{(左)}=-0.5P$$

故左側作用於內鉸接的力為向下 $0.5P$；右側所受內鉸接作用力則為向上 $0.5P$。

2. 整體梁反力

垂直力平衡：

$$R_B+R_D-2P=0$$

代入 $R_B=1.5P$：

$$R_D=-0.5P$$

故 $D$ 點垂直反力為向下 $0.5P$。

對 $D$ 點取力矩：

$$10P-12P+4P+M_D=0$$ $$M_D=-2P$$

因此固定端反力矩為順時針 $2P$。

水平力平衡可得：

$$D_x=0$$

所以支承反力為：

$$\boxed{R_B=1.5P\ \text{向上}}$$ $$\boxed{R_D=0.5P\ \text{向下}}$$ $$\boxed{M_D=2P\ \text{順時針}}$$

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3. 剪力圖

沿梁由左至右：

• $A$ 至 $B$：

$$V=-P$$

• 通過 $B$ 點後，剪力增加 $1.5P$：

$$V=+0.5P$$

• 通過 $C$ 點集中載重 $P$ 後：

$$V=+0.5P-P=-0.5P$$

• $C$ 至 $D$：

$$V=-0.5P$$

• 通過 $D$ 點後回到零。

剪力圖主要 ordinates 為：

$$\begin{array}{c|c} \text{位置} & V \\ \hline A^+ & -P\\ B^+ & +0.5P\\ C^+ & -0.5P\\ D^+ & 0 \end{array}$$

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4. 彎矩圖

$A$ 點為自由端，故：

$$M_A=0$$

$A$-$B$ 段

剪力為 $-P$，因此：

$$M_B=0-P(2)=-2P$$

$B$-$C$ 段

剪力為 $+0.5P$，因此：

$$M_C=M_B+0.5P(4)$$ $$M_C=-2P+2P=0$$

符合內鉸接條件。

$C$-$D$ 段

剪力為 $-0.5P$，因此：

$$M_D=0-0.5P(4)=-2P$$

彎矩圖為直線連接下列各點：

$$\boxed{M_A=0,\qquad M_B=-2P,\qquad M_C=0,\qquad M_D=-2P}$$

其中 $B$、$D$ 點為最大負彎矩位置。

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二、集中載重 $P$ 的最大值

核心觀念

本題考鋼筋混凝土梁的單向剪力強度，以及強度設計的載重組合。依命題當年（民國 114 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》，剪力設計須滿足：

$$V_u \le \phi V_n=\phi(V_c+V_s)$$

其中 $V_c$ 為混凝土剪力強度，$V_s$ 為箍筋剪力強度；一般非預力混凝土構材的剪力強度折減係數取 $\phi=0.75$。D13 閉合箍筋有兩支箍筋腿穿越梁腹，故 $A_v=2A_b$。

題目未給箍筋降伏強度，也未明示活載重分布方式。以下依常見考題慣例，採 D13 箍筋 $f_{yt}=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，並將題給的 $V_D$、所求 $V_L$ 視為該設計斷面之剪力需求，使用強度載重組合 $1.2D+1.6L$。

解題方法

先計算混凝土與箍筋的名目剪力強度。採常重混凝土 $\lambda=1.0$：

$$V_c=0.53\lambda\sqrt{f'_c}\,b_wd$$

代入 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$b_w=30\ \mathrm{cm}$、$d=45\ \mathrm{cm}$：

$$V_c=0.53(1.0)\sqrt{280}(30)(45) =11{,}970\ \mathrm{kgf} =11.97\ \mathrm{tf}$$

閉合箍筋有兩支箍筋腿，因此：

$$A_v=2A_b=2(1.27)=2.54\ \mathrm{cm^2}$$

垂直箍筋的剪力強度為：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁的最大拉力鋼筋量如何限制，以及限制的目的。以命題當年（民國 114 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》為準：規範已不再用固定的「最大鋼筋比」作為一般梁的主要控制方式，而是以斷面達標稱強度時，最外層縱向拉力鋼筋的淨拉應變 $\varepsilon_t$ 控制延性。

依第 9.3.3 節，軸力較小的非預力梁（$P_u<0.10f'_cA_g$）應符合拉力控制斷面的應變要求。依第 21.2.2 節，拉力控制斷面的淨拉應變應符合：

$$\varepsilon_t\geq\varepsilon_{ty}+0.003$$

其中 $\varepsilon_{ty}$ 為鋼筋降伏應變。這項要求實質上限制了梁可配置的最大拉力鋼筋量。

解題方法

以矩形梁為例，斷面達標稱強度時，依平面保持平面的應變相容關係：

$$\varepsilon_t=0.003\frac{d_t-c}{c}$$

其中 $c$ 為中性軸深度，$d_t$ 為最外層縱向拉力鋼筋至受壓緣的距離；受壓側混凝土極限應變採 $0.003$。

由拉力控制要求可得：

$$0.003\frac{d_t-c}{c}\geq\varepsilon_{ty}+0.003$$

因此中性軸深度不能過大。中性軸越深，代表壓力區越深；依力平衡，所需拉力鋼筋量也越大。因此，限制 $\varepsilon_t$ 的下限，就等同限制梁的最大拉力鋼筋量。

矩形壓力應力塊下，若拉力鋼筋已降伏，力平衡為：