113 高普考普通考試 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜定剛架的：

1. 支承反力與桿件內力分析。
2. 剪力圖、彎矩圖之繪製。
3. 單位載重法（虛功法）求剛架節點旋轉角。

各桿件之 $EI$ 均相同，因此虛功積分可直接寫成：

$$\theta=\sum\int\frac{Mm}{EI}\,ds$$

其中：

• $M$：實際荷載作用下之彎矩。
• $m$：在欲求旋轉角之位置施加單位彎矩後所得之虛擬彎矩。
• $ds$：沿各桿件長度積分。

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一、支承反力

取水平向右、鉛直向上為正。

A 點為鉸接端，具有 $A_x,A_y$；D 點為滾支承，設反力為 $D_y$。

1. 整體水平力平衡

$$\sum F_x=0$$ $$A_x+30=0$$ $$\boxed{A_x=-30\ \text{kN}}$$

因此 A 點水平反力為 $30\ \text{kN}$，方向向左。

2. 對 A 點取力矩

$$\sum M_A=0$$ $$D_y(8)-30(4)=0$$ $$D_y=15\ \text{kN}$$

故：

$$\boxed{D_y=15\ \text{kN}\uparrow}$$

3. 整體鉛直力平衡

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+D_y=0$$ $$\boxed{A_y=-15\ \text{kN}}$$

因此 A 點鉛直反力為 $15\ \text{kN}$，方向向下。

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（一）剪力圖及彎矩圖

1. 剛架柱 $AC$

柱高 $8\ \text{m}$，B 點位於距 A 點 $4\ \text{m}$處。

剪力

• $A$ 至 $B$ 段受到 B 點 $30\ \text{kN}$ 水平力影響：

$$\boxed{V_{AB}=30\ \text{kN}}$$

• $B$ 至 $C$ 段之水平剪力為：

$$\boxed{V_{BC}=0}$$

彎矩

由 A 點為鉸接端：

$$M_A=0$$

在 $A$ 至 $B$ 段，彎矩呈線性增加：

$$M_B=30(4)=120\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

B 點以上沒有水平剪力，因此彎矩保持不變：

$$\boxed{M_C=120\ \text{kN}\cdot\text{m}}$$

所以柱之彎矩圖為：

• A 點：$0$
• B 點：$120\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• C 點：$120\ \text{kN}\cdot\text{m}$

即 $AB$ 段為三角形，$BC$ 段為矩形。

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2. 梁 $CD$

梁長 $8\ \text{m}$，D 點反力為 $15\ \text{kN}$。

剪力

梁內剪力為常數：

$$\boxed{V_{CD}=15\ \text{kN}}$$

彎矩

D 點為滾支承，故：

$$M_D=0$$

C 點彎矩為：

$$M_C=120\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

因此梁之彎矩由 C 點 $120\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 線性降至 D 點 $0$，即為三角形分布。

梁上任意距 C 點 $x$ 處之彎矩可表示為：

$$M_{CD}(x)=120-15x$$

其中 $0\leq x\leq 8$。

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（二）以虛功法求 C、D 點旋轉角

採用單位彎矩法。由於各桿件之 $EI$ 相同，故：

$$\theta=\sum\int\frac{Mm}{EI}\,ds$$

本題虛擬彎矩圖中，柱 $AC$ 的虛擬彎矩為零，僅需對梁 $CD$ 積分。

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1. C 點旋轉角

核心觀念

本題考查：

1. 靜定桁架支承反力。
2. 桁架節點法（Method of Joints）。
3. 桿件影響線：以一個向下單位力沿桁架上弦節點 $A\to B\to C\to D$ 移動，求指定桿件軸力的變化。
4. 桿件內力正負號約定：拉力為正、壓力為負。

依圖建立座標：

$$E(0,0),\quad B(0,4),\quad A(-4,4)$$ $$F(4,0),\quad C(4,4),\quad G(8,0),\quad D(8,4)$$

因此斜桿 $AE$、$EC$、$CG$、$DG$ 均為 $45^\circ$ 桿件。

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（一）$AE$ 桿件及 $DG$ 桿件影響線

1. $AE$ 桿件影響線

在 $A$ 點施加向下單位力 $1$。

由整體結構對 $E$ 點取矩：

$$8G_y-1(-4)=0$$ $$G_y=-\frac{1}{2}$$

再由垂直力平衡：

$$E_y+G_y-1=0$$ $$E_y=\frac{3}{2}$$

但求 $AE$ 桿力可直接取 $A$ 點。設 $AE$ 桿力為 $N_{AE}$，拉力為正：

$$\sum F_y=0$$ $$-\frac{N_{AE}}{\sqrt{2}}-1=0$$ $$N_{AE}=-\sqrt{2}$$

故在 $A$ 點施加單位力時，$AE$ 桿為壓力，影響線縱座標為 $-\sqrt{2}$。

若單位力施加於 $B$、$C$ 或 $D$ 點，$A$ 點沒有外力，且 $A$ 點僅連接水平桿 $AB$ 與斜桿 $AE$。由 $A$ 點垂直力平衡：

$$N_{AE}=0$$

因此 $AE$ 影響線各節點 ordinates 為：

載重位置	$A$	$B$	$C$	$D$
$AE$ 影響線	$-\sqrt{2}$	$0$	$0$	$0$

沿各節點間以直線連接，故圖形為：

• $A$ 點：$-\sqrt{2}$
• $B$、$C$、$D$ 點：$0$
• $A$ 至 $B$ 為斜直線，$B$ 至 $D$ 位於零線上。

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2. $DG$ 桿件影響線

在 $D$ 點施加向下單位力 $1$。

取 $D$ 點自由體，$CD$ 為水平桿，$DG$ 為 $45^\circ$ 斜桿。設 $DG$ 桿力為 $N_{DG}$：

$$\sum F_y=0$$ $$-\frac{N_{DG}}{\sqrt{2}}-1=0$$ $$N_{DG}=-\sqrt{2}$$

故 $DG$ 桿在 $D$ 點載重作用下為壓力。

若單位力施加於 $A$、$B$ 或 $C$ 點，$D$ 點沒有外力，且 $D$ 點僅連接水平桿 $CD$ 與斜桿 $DG$，故：

$$N_{DG}=0$$

因此 $DG$ 影響線各節點 ordinates 為：

載重位置	$A$	$B$	$C$	$D$
$DG$ 影響線	$0$	$0$	$0$	$-\sqrt{2}$

圖形為：

• $A$、$B$、$C$ 點：$0$
• $D$ 點：$-\sqrt{2}$
• $C$ 至 $D$ 為斜直線，$A$ 至 $C$ 位於零線上。

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（二）$A$ 點施加 $10\ \mathrm{kN}$ 向下力

1. 支承反力

設 $E$ 點滾支承反力為 $E_y$，$G$ 點鉸接支承反力為 $G_x、G_y$。

整體結構無水平外力，因此：

$$G_x=0$$

對 $E$ 點取矩：

$$8G_y-10(-4)=0$$ $$G_y=-5\ \mathrm{kN}$$

負號表示 $G$ 點反力方向向下。

由垂直力平衡：

$$E_y+G_y-10=0$$ $$E_y=15\ \mathrm{kN}$$

所以：

$$\boxed{E_y=15\ \mathrm{kN}\ \text{向上}}$$ $$\boxed{G_y=5\ \mathrm{kN}\ \text{向下}}$$ $$\boxed{G_x=0}$$

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2. $A$ 點求 $AB$、$AE$

在 $A$ 點，設桿力拉力為正。

$$\sum F_y=0$$ $$-\frac{N_{AE}}{\sqrt{2}}-10=0$$ $$N_{AE}=-10\sqrt{2}\ \mathrm{kN}$$

故 $AE$ 為壓力。

再由水平方向：

$$\sum F_x=0$$ $$N_{AB}+\frac{N_{AE}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{AB}-10=0$$ $$N_{AB}=10\ \mathrm{kN}$$

故 $AB$ 為拉力。

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3. $B$ 點求 $BC$、$BE$

$B$ 點無外力，且 $AB$、$BC$ 為水平桿。

垂直方向：

$$N_{BE}=0$$

水平方向：

$$-N_{AB}+N_{BC}=0$$ $$N_{BC}=10\ \mathrm{kN}$$

故 $BC$ 為拉力。

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4. $E$ 點求 $EC$、$EF$

在 $E$ 點：

核心觀念

本題考查非預力梁的拉力應變限制，以及彎矩強度折減因數 $\phi$ 如何隨斷面控制類型改變。依命題當年（民國 113 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》，非預力梁應按第 9.3.3 節與第 21.2.2 節檢核。

最外受拉鋼筋淨拉應變 $\varepsilon_t$，是構材達標稱強度時，最外側受拉鋼筋依線性應變分布計算的拉應變；不計預力、潛變、收縮及溫度變化引致的應變。其大小反映斷面的延展性：淨拉應變越大，鋼筋拉力主導越明顯，斷面延展性也越好。

竹節鋼筋之拉力降伏應變為：

$$\varepsilon_{ty}=\frac{f_y}{E_s}$$

斷面依 $\varepsilon_t$ 分為壓力控制、過渡區及拉力控制。彎矩強度折減因數依斷面類型決定，並用於將標稱彎矩強度換算為設計強度：

$$\phi M_n \geq M_u$$

解題方法

先用最外受拉鋼筋的 $\varepsilon_t$ 判定斷面控制類型，再依《建築物混凝土結構設計規範》第 21.2.2 節查定 $\phi$。對非預力梁，還須依第 9.3.3.1 節確認軸力條件：當 $P_u<0.10f'_cA_g$ 時，梁斷面應符合表 21.2.2 的拉力控制規定。

斷面控制類型	淨拉應變條件	$\phi$：符合規定之螺箍筋	$\phi$：其他橫向鋼筋
壓力控制	$\varepsilon_t\leq\varepsilon_{ty}$	0.75	0.65
過渡區	$\varepsilon_{ty}<\varepsilon_t<\varepsilon_{ty}+0.003$	由 0.75 線性增加至 0.90	由 0.65 線性增加至 0.90
拉力控制	$\varepsilon_t\geq\varepsilon_{ty}+0.003$	0.90	0.90

核心觀念

本題考查非預力梁的混凝土剪力強度 $V_c$，以及剪力鋼筋少於規範最小量時，如何納入尺寸效應。依民國 113 年 1 月 1 日起生效的《建築物混凝土結構設計規範》第 22.5.5.1 節，當梁或單向版的剪力鋼筋面積 $A_v<A_{v,\min}$ 時，計算 $V_c$ 須乘上尺寸效應修正係數 $\lambda_s$。

修正方式

對非預力梁，規範所列計算式為：

$$V_c= \left( 2.12\lambda_s\lambda\rho_w^{1/3}\sqrt{f'_c} +\frac{N_u}{6A_g} \right)b_wd$$

其中尺度效應修正係數為：

$$\lambda_s=\sqrt{\frac{2}{1+d/25}}\leq 1$$

此式採 SI 單位時，$d$ 以公分計；若採括號內的英制對照式，則分母中的 25 改為 250，$d$ 以英寸計。

符號意義如下：$f'_c$ 為混凝土抗壓強度，$b_w$ 為梁腹寬，$d$ 為有效深度，$\rho_w$ 為受拉縱向鋼筋比，$\lambda$ 為輕質混凝土修正係數，$N_u$ 為軸力，$A_g$ 為構材總斷面積。計算時，先依剪力鋼筋量判定是否低於最小量，再依有效深度計算 $\lambda_s$，代入 $V_c$ 公式；$\lambda_s$ 不得大於 1。