114 高普考普通考試 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考驗「列聯表卡方獨立性檢定」。

• $H_0$：大學生主修學系與碩士生主修學系相互獨立，兩者不相關。
• $H_1$：大學生主修學系與碩士生主修學系不獨立，兩者相關。

卡方檢定統計量為

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為獨立假設下的期望次數：

本表共有 $4$ 列、$4$ 欄，因此自由度為

（一）檢定兩種主修學系是否相關

1. 計算期望次數

總樣本數為 $1800$。

例如，第一列第一欄的期望次數為

各格期望次數如下：

2. 計算卡方統計量

在顯著水準 $\alpha=0.05$、自由度 $df=9$ 下，

因為

核心觀念

母體分數服從常態分配，抽樣筆數為 $n=8$。母體變異數未知時，使用樣本變異數

作為母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量。常態母體下，樣本變異數可透過卡方分配推論；母體平均數則使用 $t$ 分配。

解題方法與計算

先計算樣本平均數：

各分數與平均數的離差平方和為

（一）母體變異數的不偏估計量與估計值

在常態母體下，$\sigma^2$ 的不偏估計量為樣本變異數：

本題的估計值為

（二）估計量的分配

若母體為常態分配，則

因此本題

等價地說，$S^2$ 服從縮放後的卡方分配，$S^2\sim(\sigma^2/7)\chi^2_7$。

（三）母體標準差的 $95\%$ 信賴區間

令 $\chi^2_{p,7}$ 表示自由度 $7$ 的卡方分配第 $p$ 分位數。$95\%$ 信賴區間先對母體變異數 $\sigma^2$ 建立：

取 $\chi^2_{0.975,7}\approx16.013$、$\chi^2_{0.025,7}\approx1.690$，且 $(n-1)s^2=500$，得到

對上下限開平方，即得母體標準差的區間：

（四）檢定母體變異數是否為 $100$

採雙尾檢定：

在 $H_0$ 成立時，檢定統計量為

核心觀念

本題考查單一母體平均數的右尾檢定，以及用樣本平均數估計母體平均數時的誤差界限與樣本數規劃。

由於母體為常態分配，但母體標準差未知，須以樣本標準差 $s$ 代替母體標準差 $\sigma$，檢定統計量服從 $t$ 分配。樣本數規劃則使用樣本平均數的誤差界限公式；題目未提供母體標準差，因此依題意以已知的樣本標準差 $s=6$ 作為 $\sigma$ 的估計值。

（一）檢定貨車平均速度是否超過 100 公里／小時

(a) 假設設定

題目要檢驗平均速度是否「超過」$100$，因此採右尾檢定：

計算檢定統計量時，虛無假設取邊界值 $\mu_0=100$。

(b) 檢定統計量及其分配

母體為常態分配、母體標準差未知，使用單一樣本 $t$ 檢定：

在 $H_0$ 的邊界 $\mu=\mu_0=100$ 下，

原因是常態母體下，$(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n)$ 服從自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配；本題 $n=81$，故自由度為 $80$。若母體標準差已知，才會使用標準常態分配。

(c) 檢定統計量、$p$ 值與結論

代入 $\bar x=105$、$s=6$、$n=81$：

右尾 $p$ 值為

因為 $p<0.05$，在顯著水準 $0.05$ 下拒絕 $H_0$。有足夠統計證據認為貨車的母體平均行駛速度超過每小時 $100$ 公里。

（二）樣本平均數的估計與樣本數規劃

(a) 誤差至多 $0.5$ 公里／小時的機率至少為 $0.9$

母體平均數 $\mu$ 的最佳不偏估計量為樣本平均數：

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），比較三種廣告方式的母體平均年營業額是否相等。

令：

• 報紙廣告母平均數為 $\mu_1$
• 網路廣告母平均數為 $\mu_2$
• 直銷廣告母平均數為 $\mu_3$

變異數分析將總變異分解為：

並以

檢定各組母平均數是否相等。

（一）三種廣告方式的平均營業額是否相等

1. 假設

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

2. 計算平方和

各組樣本數均為 $5$，總樣本數為 $N=15$。

總平均數為：

組間平方和

組內平方和

題目所列變異數為各組樣本變異數，因此：

總平方和

3. 變異數分析表

檢定統計量為：

在 $H_0$ 為真時：

4. 臨界值法與結論

查表得：

拒絕域為：

因為：

故拒絕 $H_0$。

結論：在顯著水準 $0.05$ 下，三種廣告方式的平均年營業額並非全部相等，至少有一種廣告方式的母平均營業額不同。

（二）變異數分析結果所需的假設條件

單因子變異數分析需具備下列條件：