112 高普考普通考試 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查獨立常態隨機變數的線性組合、中央極限定理，以及以常態分配近似大量獨立同分配隨機變數之和。

若 $X$ 與 $Y$ 獨立，且分別服從常態分配，則

$$X+Y\sim N(\mu_X+\mu_Y,\ \sigma_X^2+\sigma_Y^2), \qquad X-Y\sim N(\mu_X-\mu_Y,\ \sigma_X^2+\sigma_Y^2).$$

其中第二個參數是變異數；獨立時，線性組合的變異數為各項變異數的平方係數加權和。

解題方法

（一）計算 $P(X>Y)$ 與 $P(X+Y>26)$

已知

$$X\sim N(12,4^2),\qquad Y\sim N(2,3^2),$$

且 $X,Y$ 獨立。

先將 $X>Y$ 改寫為 $X-Y>0$。由獨立常態變數的線性組合性質，

$$X-Y\sim N(12-2,\ 4^2+3^2)=N(10,25).$$

因此 $X-Y$ 的標準差為 $5$，標準化後

$$P(X>Y)=P(X-Y>0) =P\left(Z>\frac{0-10}{5}\right) =P(Z>-2).$$

利用標準常態分配對稱性，

$$P(Z>-2)=\Phi(2)=1-\Phi(-2)=1-0.0228=0.9772.$$

再計算 $X+Y$：

$$X+Y\sim N(12+2,\ 4^2+3^2)=N(14,25).$$

故

$$P(X+Y>26) =P\left(Z>\frac{26-14}{5}\right) =P(Z>2.4) =1-\Phi(2.4).$$

查標準常態分配表，$\Phi(2.4)\approx 0.9918$，所以

$$P(X+Y>26)\approx 1-0.9918=0.0082.$$

（二）中央極限定理及其假設

中央極限定理（Central Limit Theorem）：若 $X_1,\ldots,X_n$ 為相互獨立且同分配的隨機變數，具有有限平均數 $\mu$ 及有限、非零變異數 $\sigma^2$，則當 $n$ 充分大時，標準化樣本和

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$

的分配近似標準常態分配。等價地，若 $\bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，則

$$\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}$$

的分配近似標準常態分配。

使用此定理的典型假設為：

1. 隨機變數彼此獨立。
2. 隨機變數具有相同分配（常見的經典版本）。
3. 母體平均數 $\mu$ 存在，且變異數 $\sigma^2$ 有限且大於零。

核心觀念

母體常態，母體標準差未知，樣本數 $n=14$，因此以單一母體平均數的 $t$ 檢定判斷平均容量是否低於標示值 $450$ mL。題目問「是否少於」，故採左尾檢定。

若常態假設不成立，但母體分配仍對稱，則可用單一樣本 Wilcoxon 符號等級檢定，檢定母體位置是否低於 $450$ mL。

（一）虛無假設與對立假設

令 $\mu$ 為母體平均容量：

$$H_0:\mu=450,\qquad H_1:\mu<450.$$

虛無假設代表平均容量符合標示值；對立假設代表平均容量低於標示值。檢定方向由題目所問的「少於」決定。

（二）單一母體平均數 $t$ 檢定

計算檢定統計量

樣本總和與平均數為：

$$\sum_{i=1}^{14}x_i=6354,\qquad \bar{x}=\frac{6354}{14}=453.857.$$

樣本標準差計算式為：

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{14}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} =\sqrt{\frac{962.857}{13}} \approx 8.607.$$

在 $H_0:\mu=450$ 下，檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}-450}{s/\sqrt{n}} =\frac{453.857-450}{8.607/\sqrt{14}} \approx 1.676.$$

自由度為 $n-1=13$。

棄卻域與結論

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的左尾臨界值為 $-t_{0.05,13}=-1.771$，故棄卻域為：

$$t<-1.771.$$

本題 $t=1.676$，未落入棄卻域，因此不拒絕 $H_0$。在顯著水準 $0.05$ 下，沒有足夠證據認為平均容量低於標示的 $450$ mL。

（三）對稱分配下的無母數檢定

採用單一樣本 Wilcoxon 符號等級檢定。此檢定以各觀測值與假設位置 $450$ 的差值之絕對值排名，再依差值正負加上正、負號；在分配對稱的條件下，可檢定母體位置是否低於 $450$ mL。

（四）Wilcoxon 符號等級檢定

排名與統計量

先計算各觀測值相對於 $450$ 的差值，並依絕對差值由小至大排名：

容量 $x_i$	$x_i-450$	絕對差排名
447	$-3$	2
459	$+9$	8

核心觀念

本題檢定三個族群的特徵比例是否都等於 $20\%$。每個樣本只有「有顯現」與「無顯現」兩種結果，且題目給定各族群的理論比例，因此使用適合度卡方檢定（goodness-of-fit test）。

設第 $i$ 個族群的特徵比例為 $p_i$，假設為：

$$H_0:p_1=p_2=p_3=0.20$$ $$H_1:\text{至少一個 }p_i\ne 0.20$$

解題方法

在虛無假設下，各族群「有顯現」與「無顯現」的理論比例分別為 $0.20$ 與 $0.80$。各格期望次數依「樣本數 $\times$ 理論比例」計算：

族群	有顯現期望次數	無顯現期望次數
族群一	$60(0.20)=12$	$60(0.80)=48$
族群二	$120(0.20)=24$	$120(0.80)=96$
族群三	$60(0.20)=12$	$60(0.80)=48$

卡方適合度檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為虛無假設下的期望次數。代入六格數據：

核心觀念

本題考驗貝氏定理：已知檢查結果呈陽性，求受檢者實際患癌的條件機率。陽性率不能直接等同於患癌機率，還須同時考慮癌症盛行率、假陰性率與假陽性率。

定義事件：

• $C$：女性患有該癌症，故 $P(C)=\frac{8}{100000}=0.00008$。
• $C^c$：女性未患該癌症，故 $P(C^c)=0.99992$。
• $+$：抹片檢查呈陽性。

假陰性率為 $P(-\mid C)=0.15$，因此真陽性率為 $P(+\mid C)=1-0.15=0.85$；假陽性率為 $P(+\mid C^c)=0.20$。

解題方法

依全機率公式，先求檢查呈陽性的總機率：

$$P(+)=P(+\mid C)P(C)+P(+\mid C^c)P(C^c)$$

再使用貝氏定理：

$$P(C\mid +)=\frac{P(+\mid C)P(C)}{P(+)}$$

代入題目數值：