112 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題要檢定「車型」與「缺點種類」兩個類別變數是否相互獨立，使用列聯表的卡方獨立性檢定。

• 虛無假設成立時，車型與缺點種類彼此獨立。
• 對立假設成立時，車型與缺點種類有關聯。
• 自由度為

其中 $r=3$ 列、$c=4$ 欄，因此自由度為 $6$。

解題方法

a. 虛無與對立假設

令車型為 $X$，缺點種類為 $Y$：

b. 檢定統計量公式

觀察次數記為 $O_{ij}$，在獨立假設下的期望次數為 $E_{ij}$，則

卡方檢定統計量為

本題總樣本數為

列、欄合計如下：

c. 拒絕域

自由度為

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，卡方分配的右尾臨界值為

因此拒絕域為

d. 檢定值之計算過程

各格期望次數為：

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的：

• 機率函數條件：$f_X(x)\geq 0$，且所有可能取值的機率總和為 $1$。
• 條件機率公式： $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
• 變異數公式： $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
• 函數變數的期望與變異數： $E[g(X)]=\sum_x g(x)f_X(x)$ $Var(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$

解題方法與計算

（一）驗證 $f_X(x)$ 為一機率函數

各機率皆非負：

$\frac13\geq 0,\qquad \frac12\geq 0,\qquad \frac16\geq 0$

且機率總和為：

因此，$f_X(x)$ 符合離散型機率函數的兩項條件，故為一機率函數。

（二）求 $P(X\leq 2.5\mid X>1)$

由 $X$ 的可能取值為 $0,1,3$：

• $X>1$ 時，只可能有 $X=3$，所以 $P(X>1)=P(X=3)=\frac16$
• 同時滿足 $X\leq 2.5$ 且 $X>1$ 的取值不存在，因此 $P(X\leq 2.5,\ X>1)=0$

故：

（三）求 $Var(X)$

先求 $E(X)$：

再求 $E(X^2)$：

因此：

（四）求 $E[(X+1)^4]$

核心觀念

本題考簡單直線迴歸的最小平方法、迴歸斜率的信賴區間，以及判定係數。令估計迴歸式為 $\hat{Y}=b_0+b_1X$，其中斜率與截距為

且

斜率的 $95\%$ 信賴區間為

其中 $\operatorname{MSE}=\operatorname{SSE}/(n-2)$。簡單迴歸的判定係數為 $R^2=r_{xy}^2$。

解題方法

（一）最小平方法求迴歸直線

先計算樣本平均數：

計算離均差平方和與乘積和：

因此斜率為

截距為

故最小平方法估計迴歸直線為

（二）斜率 $\beta_1$ 的 $95\%$ 信賴區間

先計算 $S_{yy}$：

迴歸平方和為

核心觀念

本題比較同一家工廠訓練前、後的意外事件數，屬於「成對樣本」問題，應先計算各工廠的差異：

因題目假設差異值具有常態分配，且母體變異數未知，故採用「成對樣本 $t$ 檢定」。

安全訓練有效表示訓練後意外事件數降低，即：

因此採用右尾單尾檢定。

解題方法

a. 虛無假設與對立假設

令母體平均差異為 $\mu_d$。

• 虛無假設：

• 對立假設：

其中 $\mu_d>0$ 表示訓練後的平均意外事件數低於訓練前，代表安全訓練有效。

b. 檢定統計量公式

成對樣本 $t$ 檢定統計量為：

其中：

• $\bar d$：樣本平均差異
• $\mu_{d0}=0$：虛無假設下的平均差異
• $s_d$：差異值的樣本標準差
• $n=12$：成對資料組數

樣本標準差為：

在 $H_0$ 成立時，檢定統計量服從自由度為 $n-1=11$ 的 $t$ 分配。

c. 拒絕域

顯著水準為：

自由度：

右尾臨界值為：

因此拒絕域為：

d. 檢定值之計算過程

各工廠的差異值如下：

差異值總和為：

因此樣本平均差異為：

又有：