114 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・統計
試題代碼 統計學概要

第 一 題20 分

甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為 42 歲。

（一）若酒駕年齡服從常態分配，且介於 34 至 50 歲者占五成，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？

（二）若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中 60 歲以上者占多少比例？

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核心觀念

本題分別考查常態分配的對稱性與單側尾端機率，以及分配未知時只憑平均數能否界定尾端比例。

  • 若 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，常態分配以平均數 μ\mu 為中心對稱。
  • 若只知道隨機變數的平均數，卻不知道其分配形狀或變異數，通常不能求出某一尾端的精確比例；但在額外條件下，可以用機率不等式給出上界。

解題方法

令酒駕者年齡為 XX，已知 E(X)=42E(X)=42。

（一）假設年齡服從常態分配

「介於 34 至 50 歲者占五成」表示：

P(34≤X≤50)=0.5P(34\le X\le 50)=0.5

區間 [34,50][34,50] 的中點為

34+502=42=μ\frac{34+50}{2}=42=\mu

因此該區間以平均數為中心，且左右各距平均數 8 歲。由常態分配的對稱性，區間外兩側的機率相等：

P(X<34)=P(X>50)=1−0.52=0.25P(X<34)=P(X>50)=\frac{1-0.5}{2}=0.25

60 歲高於 50 歲，因此 P(X≥60)P(X\ge 60) 是右側區域 P(X>50)P(X>50) 的一部分，故有

0≤P(X≥60)≤0.250\le P(X\ge60)\le0.25

常態分配的連續性使 P(X≥60)=P(X>60)P(X\ge60)=P(X>60)。題目提供的資料不足以確定標準差 σ\sigma，而常態分配中

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第 二 題20 分

甲廠商宣稱其開發之 A 型燈泡之平均壽命高於 100 天。隨機抽取 50 顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為 104 天與 12 天。

（一）在顯著水準為 0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？

（二）若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為 0.005，而其餘燈泡之壽命服從平均數為 105 天之指數分配。試問壽命低於 5 天之機率為何？

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核心觀念

本題考兩個觀念：

  1. 單一母體平均數的單尾檢定：檢驗樣本是否提供足夠證據支持母體平均壽命高於 100 天。母體標準差未知，使用單一樣本 tt 檢定。
  2. 含有零壽命瑕疵品的混合分配：瑕疵燈泡壽命為 0；其餘燈泡的壽命服從指數分配。要求壽命低於 5 天的機率時，須同時計入瑕疵品與正常品中壽命不足 5 天者。

（一）檢定廠商宣稱

令 μ\mu 為 A 型燈泡的母體平均壽命。廠商宣稱 μ>100\mu>100，因此設定

H0:μ≤100,H1:μ>100.H_0:\mu\leq 100,\qquad H_1:\mu>100.

這是顯著水準 α=0.01\alpha=0.01 的右尾檢定。已知 n=50n=50、xˉ=104\bar{x}=104、s=12s=12，母體標準差未知，檢定統計量為

t=xˉ−μ0s/n=104−10012/50≈2.357.t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{104-100}{12/\sqrt{50}} \approx 2.357.

自由度為 n−1=49n-1=49。右尾檢定的臨界值約為

t0.99,49≈2.405.t_{0.99,49}\approx 2.405.

因為 2.357<2.4052.357<2.405，檢定統計量未落入拒絕域；等價地，單尾 pp 值約為 0.011>0.010.011>0.01。因此在顯著水準 0.010.01 下，不拒絕虛無假設，樣本證據不足以支持平均壽命高於 100 天。

**結論：**在 1% 顯著水準下，廠商「平均壽命高於 100 天」的宣稱未獲得統計上的支持。這不代表已證明平均壽命不高於 100 天。

（二）壽命低於 5 天的機率

令 TT 表示燈泡壽命。瑕疵品的機率為 0.0050.005，其壽命視為出廠即無法使用，即 T=0T=0。正常品的機率為 1−0.005=0.9951-0.005=0.995，且壽命服從平均數為 105 天的指數分配。

指數分配的平均數為 1/λ1/\lambda，所以

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第 三 題30 分

健康單位提供各式抽獎獎項鼓勵 40 歲以上民眾接受癌症篩檢，民眾可以選擇一種獎項參與抽獎。以下是不同年齡層之篩檢人次及選擇抽獎獎項之統計資料：

獎項／年齡層40–5050–6060–7070+
演唱會門票70605030
Xbox36080303020
登山踏步健身機80807060

（一）在顯著水準為 0.05 之下，試檢定年齡層與獎項是否相關？

（二）在顯著水準為 0.05 之下，試檢定各年齡層之篩檢人次是否相同？並檢定各式獎項之篩檢人次是否相同？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查卡方檢定，包含：

  1. 獨立性檢定：檢定「年齡層」與「獎項選擇」是否相關。
  2. 適合度檢定：檢定各年齡層人次是否相同，以及各獎項人次是否相同。

卡方統計量為

χ2=∑(O−E)2E\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

其中 OO 為觀察次數，EE 為期望次數。

（一）檢定年齡層與獎項是否相關

1. 建立假設

  • H0H_0：年齡層與獎項選擇相互獨立，即兩者不相關。
  • H1H_1：年齡層與獎項選擇不獨立，即兩者相關。

顯著水準為

α=0.05\alpha=0.05

2. 計算邊際合計

各獎項合計：

獎項合計
演唱會門票210
Xbox360160
登山踏步健身機290

各年齡層合計：

年齡層合計
40–50230
50–60170
60–70150
70+110

總人次為

n=660n=660

若年齡層與獎項獨立，期望次數為

Eij=(第i列合計)(第j欄合計)660E_{ij}=\frac{(\text{第}i\text{列合計})(\text{第}j\text{欄合計})}{660}

例如，40–50 歲選擇演唱會門票的期望次數為

E11=210×230660=73.18E_{11}=\frac{210\times230}{660}=73.18

各格期望次數如下：

獎項／年齡層40–5050–6060–7070+
演唱會門票73.1854.0947.7335.00
Xbox36055.7641.2136.3626.67
登山踏步健身機101.0674.7065.9148.33

3. 計算檢定統計量

χ2=∑(O−E)2E≈25.85\chi^2 =\sum\frac{(O-E)^2}{E} \approx25.85

自由度為

(r−1)(c−1)=(3−1)(4−1)=6(r-1)(c-1)=(3-1)(4-1)=6

在 α=0.05\alpha=0.05、自由度 66 下，

χ0.05,62=12.592\chi^2_{0.05,6}=12.592

因為

25.85>12.59225.85>12.592

所以拒絕 H0H_0。

結論

在顯著水準 0.050.05 下，有足夠證據認為年齡層與獎項選擇相關。不同年齡層對抽獎獎項的選擇比例並不相同。

（二）檢定各年齡層人次及各獎項人次是否相同

（二之一）檢定各年齡層之篩檢人次是否相同

這是檢定四個年齡層人次是否具有相同分布的適合度檢定。

1. 建立假設

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第 四 題10 分

甲、乙、丙三種疾病第四期病人之存活年數統計資料如下。在顯著水準為 0.1 之下，試問三種疾病存活年數之分布是否相同？

疾病／存活年數<1<111–2222–3333–44>4>4
甲8101142
乙3015831
丙169320
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考「列聯表的同質性檢定」，用以判斷甲、乙、丙三種疾病的存活年數分布是否相同。

設定假設：

  • H0H_0：三種疾病的存活年數分布相同。
  • H1H_1：三種疾病的存活年數分布不完全相同。

卡方統計量為

χ2=∑i∑j(Oij−Eij)2Eij,\chi^2=\sum_{i}\sum_{j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},

其中期望次數

Eij=(第 i 列合計)(第 j 欄合計)總和.E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總和}}.

原表列合計為

35,57,30,35,\quad 57,\quad 30,

欄合計為

54,34,22,9,3,54,\quad 34,\quad 22,\quad 9,\quad 3,

總人數為

N=122.N=122.

解題方法

由於原表有多個期望次數小於 55，直接使用卡方近似不適當，因此將相鄰的存活年數類別合併為「≥2\geq 2 年」。

合併後觀察值為：

疾病／存活年數<1<111–22≥2\geq 2合計
甲8101735
乙30151257
丙169530
合計543434122

在 H0H_0 成立下，各格期望次數如下：

E甲,<1=35(54)122=15.492,E_{甲,<1}=\frac{35(54)}{122}=15.492, E甲,1−2=35(34)122=9.754,E_{甲,1-2}=\frac{35(34)}{122}=9.754, E甲,≥2=35(34)122=9.754.E_{甲,\geq2}=\frac{35(34)}{122}=9.754.

同理可得期望次數表：

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第 五 題20 分

假設手機的應用程式之生命週期 yy（單位：年）與其發布後半年內的下載次數 xx 服從線性模型：

y=α+βx+ey=\alpha+\beta x+e

其中 ee 服從 N(0,σ2)N(0,\sigma^2)。

若隨機取樣 12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據：

∑x=6345,∑x2=4050445,∑y=39.64,∑y2=152.7,∑xy=24708\sum x=6345,\quad \sum x^2=4050445,\quad \sum y=39.64,\quad \sum y^2=152.7,\quad \sum xy=24708

且判定係數為 $0.9288。

（一）試求回歸方程式與 β\beta 的 95% 信賴區間。

（二）若一新款應用程式發布後半年內被下載 500 次，試求其生命週期的 95% 預測區間。

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核心觀念

本題考簡單線性迴歸的最小平方法、斜率 β\beta 的信賴區間，以及給定新 xx 值時單一新觀測值 YY 的預測區間。誤差項假設獨立且服從 N(0,σ2)N(0,\sigma^2)，因此使用自由度 n−2n-2 的 tt 分配。

令

xˉ=∑xn,yˉ=∑yn,\bar{x}=\frac{\sum x}{n},\qquad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}, Sxx=∑x2−(∑x)2n,Sxy=∑xy−(∑x)(∑y)n.S_{xx}=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n},\qquad S_{xy}=\sum xy-\frac{(\sum x)(\sum y)}{n}.

迴歸係數估計值為

β^=SxySxx,α^=yˉ−β^xˉ.\hat{\beta}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.

斜率的 95%95\% 信賴區間為

β^±t0.975,n−2MSESxx,\hat{\beta}\pm t_{0.975,n-2}\sqrt{\frac{\mathrm{MSE}}{S_{xx}}},

其中 MSE=SSE/(n−2)\mathrm{MSE}=\mathrm{SSE}/(n-2)。單一新觀測值的 95%95\% 預測區間為

y^0±t0.975,n−2MSE(1+1n+(x0−xˉ)2Sxx).\hat{y}_0\pm t_{0.975,n-2} \sqrt{\mathrm{MSE}\left(1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{S_{xx}}\right)}.

預測區間中的 11 是新個體本身的誤差變異；若只估計平均反應，則不包含這一項。

解題方法

樣本數 n=12n=12，先由題目給定的總和計算中心化平方和與交乘和：

xˉ=634512=528.75,yˉ=39.6412=3.30333,\bar{x}=\frac{6345}{12}=528.75,\qquad \bar{y}=\frac{39.64}{12}=3.30333, Sxx=4,050,445−6345212=695,526.25,S_{xx}=4{,}050{,}445-\frac{6345^2}{12}=695{,}526.25, Sxy=24,708−6345(39.64)12=3,748.35.S_{xy}=24{,}708-\frac{6345(39.64)}{12}=3{,}748.35.

因此

β^=3,748.35695,526.25=0.005389,\hat{\beta}=\frac{3{,}748.35}{695{,}526.25}=0.005389, α^=3.30333−(0.005389)(528.75)=0.45387.\hat{\alpha}=3.30333-(0.005389)(528.75)=0.45387.

回歸方程式為

y^=0.45387+0.005389x.\hat{y}=0.45387+0.005389x.
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