110 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查離散型二元隨機變數的期望值、變異數、共變異數與相關係數。對聯合機率分配 $f(x,y)$，先以各組 $(x,y)$ 的聯合機率加權計算；計算 $X+Y$ 的變異數時，須納入 $X$ 與 $Y$ 的共變異數：

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y),$$ $$\operatorname{Var}(X+Y) =\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y).$$

解題方法與計算

三組結果及其機率為 $(50,80)$、$(30,50)$、$(40,60)$，對應機率分別為 $0.2$、$0.5$、$0.3$；機率總和為 $1$。

（一）計算 $X$ 與 $Y$ 的期望值與變異數

期望值依照 $E(X)=\sum p_i x_i$ 計算：

$$E(X)=0.2(50)+0.5(30)+0.3(40)=37,$$ $$E(Y)=0.2(80)+0.5(50)+0.3(60)=59.$$

先計算平方的期望值，再用 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$：

$$E(X^2)=0.2(50^2)+0.5(30^2)+0.3(40^2)=1430,$$ $$\operatorname{Var}(X)=1430-37^2=61.$$

同理：

$$E(Y^2)=0.2(80^2)+0.5(50^2)+0.3(60^2)=3610,$$ $$\operatorname{Var}(Y)=3610-59^2=129.$$

因此，$X$ 的期望值為 $37$、變異數為 $61$；$Y$ 的期望值為 $59$、變異數為 $129$。

（二）計算 $E(X+Y)$ 與 $\operatorname{Var}(X+Y)$

由期望值的線性性：

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=37+59=96.$$

各組的 $X+Y$ 分別為 $130$、$80$、$100$，故：

$$E[(X+Y)^2] =0.2(130^2)+0.5(80^2)+0.3(100^2) =9410.$$

因此：

$$\operatorname{Var}(X+Y) =E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2 =9410-96^2 =194.$$

（三）計算共變異數、相關係數並判斷相關方向

核心觀念

本題考聯合機率表的讀取，以及邊際機率與條件機率的計算。表內每一格代表「某付款方式且商品屬於某價格類別」的聯合機率。

• 某付款方式的比例：將該付款方式所在列的聯合機率加總。
• 在指定付款方式下，商品價格超過 $100$ 的機率：以該付款方式且價格超過 $100$ 的聯合機率，除以該付款方式的邊際機率。

解題方法

(一) 以簽帳金融卡付消費款的比例

加總「簽帳金融卡」列的各價格類別機率：

$$P(\text{簽帳金融卡}) =0.03+0.23+0.14 =0.40$$

所以，以簽帳金融卡付款的比例為 $0.40$，即 $40\%$。

(二) 以信用卡支付之下，消費款超過 $100$ 的機率

題目問的是「已知以信用卡支付」時，消費款超過 $100$ 的條件機率。信用卡列的總機率為：

$$P(\text{信用卡})=0.05+0.21+0.18=0.44$$

其中價格超過 $100$ 且使用信用卡的聯合機率為 $0.18$，因此：

核心觀念

本題考「樣本比例的抽樣分配」。設母體中曾遭遇點擊詐欺的廣告主比例為 $p=0.40$，隨機抽取 $n=380$ 位廣告主，樣本比例記為 $\hat p$。

樣本比例的期望值與標準誤為

$$E(\hat p)=p,\qquad SE(\hat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

由於 $np=152$、$n(1-p)=228$ 均大於 5，可用常態分配近似 $\hat p$ 的抽樣分配：

$$\hat p\ \dot\sim\ N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).$$

解題方法

先計算樣本比例的標準誤：

$$SE(\hat p) =\sqrt{\frac{0.40(1-0.40)}{380}} =\sqrt{\frac{0.24}{380}} \approx 0.02513.$$

將各小題的比例界限以標準誤標準化，轉換為標準常態變數 $Z$，再查標準常態累積分配表。

（一）樣本比例與母體比例的差距在 $\pm 0.04$ 以內

所求為 $P(|\hat p-p|\leq 0.04)$。標準化後：

核心觀念

本題考兩個獨立母體比例的單尾檢定。比較接受運動訓練與未接受訓練的病患中，「未能延長生命」的比例；若運動組的比例顯著較低，便支持運動訓練有助延長生命。

令 $p_1$ 為運動組未能延長生命的母體比例，$p_2$ 為未運動組未能延長生命的母體比例。因題目要檢驗運動是否能延長生命，對立假設設定為 $p_1<p_2$。

解題方法與假設

樣本比例為

$$\hat p_1=\frac{88}{395}\approx0.2228,\qquad \hat p_2=\frac{105}{406}\approx0.2586.$$

假設為

$$H_0:p_1=p_2,\qquad H_1:p_1<p_2.$$

在虛無假設成立下，兩組未能延長生命的比例相同，使用合併比例估計共同母體比例：

$$\hat p=\frac{88+105}{395+406} =\frac{193}{801}\approx0.2410.$$

拒絕域與檢定統計量

採用兩母體比例差的合併標準誤，檢定統計量為

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的信賴區間、樣本數規劃，以及誤差範圍會隨樣本比例而改變。大樣本下，$95\%$ 信賴區間可用常態近似：

$$\hat p \pm z_{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, \qquad \hat p=\frac{y}{n},\quad z_{0.975}=1.96.$$

最大誤差（margin of error）為：

$$E=1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.$$

（一）事前不知道 $p$ 時的樣本數

希望 $95\%$ 信賴區間的最大誤差不超過 $0.03$。規劃樣本數時，以比例的信賴區間誤差公式設定：

$$1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq 0.03.$$

因為事前不知道 $p$，利用 $p(1-p)\leq 1/4$，且等號在 $p=0.5$ 時成立。這是對所有可能比例都能保證誤差上限的保守規劃方式：

$$1.96\sqrt{\frac{0.25}{n}}\leq 0.03.$$

解得：

$$n\geq \frac{1.96^2(0.25)}{0.03^2} =\frac{0.9604}{0.0009} \approx 1067.11.$$

樣本數須取整數，且需向上取整，因此至少抽取 $1{,}068$ 人。

（二）$n=1{,}068$、$y=214$ 時的信賴區間與決策

樣本支持比例為：

$$\hat p=\frac{214}{1068}\approx 0.2004.$$

其標準誤為：

$$SE=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0.2004(1-0.2004)}{1068}} \approx 0.01225.$$

核心觀念

本題考多元線性迴歸的估計、整體模型檢定、迴歸標準誤、判定係數，以及個別斜率係數檢定。令期末考分數為應變數 $Y$，作業分數為 $X_1$，期中考分數為 $X_2$，以 30 位學生資料建立模型：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,30.$$

估計式為：

$$\hat Y=b_0+b_1X_1+b_2X_2.$$

其中 $b_0,b_1,b_2$ 由最小平方法估計。題目文字未附原卷中的迴歸分析表，因此無法填入係數、標準誤、$R^2$、$F$ 值及 $t$ 值等數值；以下以原表所列統計量表示答案，代入原表即可完成數值判定。

解題方法與計算

(一) 估計迴歸方程式並檢定模型有效性

從迴歸輸出讀取常數項及兩個自變數的估計係數，寫成：

$$\hat Y=b_0+b_1X_1+b_2X_2.$$

模型整體有效性以 $F$ 檢定判斷，假設為：

$$H_0:\beta_1=\beta_2=0,\qquad H_1:\text{至少一個斜率係數不為 }0.$$

有兩個自變數，樣本數為 $30$，故自由度為 $(2,27)$。整體檢定統計量為：

$$F=\frac{SSR/2}{SSE/27},$$

其中 $SSR$ 是迴歸平方和，$SSE$ 是殘差平方和。顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若輸出中的 $F>F_{0.05}(2,27)$（題目附表給定臨界值 $3.35$），或整體檢定的 $p$ 值小於 $0.05$，則拒絕 $H_0$，認為模型整體有效；否則不拒絕 $H_0$。

(二) 估計的標準誤及詮釋

迴歸標準誤為殘差均方根：

$$s_e=\sqrt{MSE} =\sqrt{\frac{SSE}{n-k-1}} =\sqrt{\frac{SSE}{27}},$$

其中 $k=2$ 是自變數個數。應從迴歸輸出的「標準誤」欄讀取數值；若表中提供 $SSE$ 或 $MSE$，則依上式計算。

其意義是：實際期末分數與模型預測期末分數之差，典型約為 $s_e$ 分。它衡量模型預測誤差在期末考分數尺度上的大小；數值愈小，表示觀察值通常愈靠近迴歸面。

(三) 判定係數及訊息

判定係數為：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}.$$