111 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量機率公理（Axioms of Probability）中的「互斥事件可加性」與集合的分割（Partition）概念。

1. 事件的分割原理： 對任意事件 $C$，其本身與補集 $\overline{C}$ 構成樣本空間 $S$ 的一組分割（即 $C \cup \overline{C} = S$ 且 $C \cap \overline{C} = \emptyset$）。
2. 事件分解公式： 對任意事件 $E$，皆可依事件 $C$ 及其補集 $\overline{C}$ 分解為兩個互斥事件的聯集： $E = (E \cap C) \cup (E \cap \overline{C})$ 其中 $(E \cap C) \cap (E \cap \overline{C}) = \emptyset$。
3. 加法公理： 互斥事件的聯集機率等於各自機率之和： $P(E) = P(E \cap C) + P(E \cap \overline{C})$

解題方法

將交集事件 $A \cap B$ 視為一個獨立事件 $E$，利用 $C$ 與 $\overline{C}$ 進行互斥分割後展開求解。

1. 建立事件關係： 令 $E = A \cap B$，則 $A \cap B$ 可拆解為落入 $C$ 與落入 $\overline{C}$ 的兩個互斥部分： $(A \cap B) = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$

2. 套用機率可加性： 由於 $(A \cap B \cap C)$ 與 $(A \cap B \cap \overline{C})$ 互斥，根據機率公理：

核心觀念

1. 多項分配與最大概似估計（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 受測者分類至三個互斥類別，其聯合分配服從多項分配（Multinomial Distribution）。最大概似估計法係透過建立概似函數 $L(\theta)$，取自然對數後對未知參數 $\theta$ 微分並令其為零（一階條件，F.O.C.），進而解出使樣本出現機率達到極大的估計量 $\hat{\theta}$。
2. 皮爾森卡方適合度檢定（Pearson's Chi-Square Goodness-of-Fit Test）： 檢定觀察次數與理論模式下之期望次數是否存在顯著差異。檢定統計量公式為： $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中 $O_i$ 為第 $i$ 類之觀察次數，$E_i = n \cdot p_i(\hat{\theta})$ 為代入母數估計量後之期望次數。
3. 估計母數對卡方自由度的扣減： 當母體參數未知而必須由樣本進行最大概似估計時，卡方檢定統計量的自由度為 $df = k - 1 - m$（其中 $k$ 為類別總數，$m$ 為被估計的獨立母數個數）。

解題方法

（一）求 $\theta$ 之最大概似估計

1. 建立概似函數： 樣本總數 $n = 10 + 25 + 85 = 120$。各類別機率分別為 $p_A = \frac{\theta}{6}$、$p_B = \frac{\theta}{3}$、$p_C = 1 - \frac{\theta}{2}$。 其概似函數為： $L(\theta) \propto \left(\frac{\theta}{6}\right)^{10} \left(\frac{\theta}{3}\right)^{25} \left(1 - \frac{\theta}{2}\right)^{85} \propto \theta^{10+25} \left(1 - \frac{\theta}{2}\right)^{85} = \theta^{35} \left(1 - \frac{\theta}{2}\right)^{85}$

2. 取對數概似函數（Log-Likelihood Function）： $\ln L(\theta) = C + 35 \ln \theta + 85 \ln\left(1 - \frac{\theta}{2}\right)$ （其中 $C$ 為與 $\theta$ 無關的常數項）

3. 求一階導數並令其為零（一階條件，F.O.C.）： $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{35}{\theta} + 85 \cdot \frac{-\frac{1}{2}}{1 - \frac{\theta}{2}} = \frac{35}{\theta} - \frac{85}{2 - \theta} = 0$

4. 求解 $\theta$： $35(2 - \theta) = 85\theta$ $70 - 35\theta = 85\theta$ $120\theta = 70 \implies \hat{\theta} = \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0.5833$

5. 驗證二階條件（S.O.C.）： $\frac{d^2}{d\theta^2} \ln L(\theta) = -\frac{35}{\theta^2} - \frac{85}{(2 - \theta)^2} < 0 \quad (\text{對所有 } 0 < \theta < 2 \text{ 皆成立})$ 故對數概似函數在此區間內為嚴格凹函數，$\hat{\theta} = \frac{7}{12}$ 確為最大概似估計量。

（二）在 $\alpha = 0.05$ 下，檢定該模式是否合適

1. 建立虛無假說與對立假說：

• $H_0$：該基因模式合適（即三種型態出現機率符合 $p_A = \frac{\theta}{6}$、$p_B = \frac{\theta}{3}$、$p_C = 1 - \frac{\theta}{2}$）。
• $H_1$：該基因模式不合適。

2. 計算各類別之期望次數 $E_i = n \cdot p_i(\hat{\theta})$： 將 $\hat{\theta} = \frac{7}{12}$ 代入各組機率：

核心觀念

符號檢定（Sign test）適用於成對資料，只使用每一對差值的正負號，不使用差值大小。本題要檢定藥物是否使膽固醇下降，因此比較每位受試者「接受前」與「接受後」的數值。

令差值為 $D_i=\text{前}-\text{後}$。藥物有效代表下降，故對立假設為差值中位數大於 $0$；在虛無假設下，正號與負號的機率各為 $1/2$。若差值為 $0$，該受試者不計入檢定樣本數。

解題方法

逐一計算前後差值及其符號：

沒有差值為 $0$，所以有效樣本數為 $n=8$。令 $X$ 為正號個數；在虛無假設下，

檢定假設為

觀察到正號個數 $x=6$，進行右尾檢定。精確 $p$ 值為

核心觀念

本題評量獨立雙母體比例差之假設檢定（Two-Independent-Sample Z-Test for Proportions）。主要觀念與公式如下：

1. 大樣本常態近似條件： 當兩組樣本數均足夠大，滿足 $n_1 \hat{p}_1 \ge 5$、$n_1(1-\hat{p}_1) \ge 5$ 且 $n_2 \hat{p}_2 \ge 5$、$n_2(1-\hat{p}_2) \ge 5$ 時，由中央極限定理，樣本比例差 $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$ 近似服從常態分配。
2. 合併比例估計量（Pooled Proportion）： 在虛無假說 $H_0: p_1 = p_2 = p$ 成立的前提下，兩母體具有相同的真實及格比例 $p$。此時兩組樣本應合併計算其加權平均比例作為 $p$ 的不偏估計量： $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{n_1 \hat{p}_1 + n_2 \hat{p}_2}{n_1 + n_2}$
3. 檢定統計量： $Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}} \sim N(0, 1)$
4. 雙尾檢定拒絕域： 在顯著水準 $\alpha$ 下，雙尾檢定之臨界值為 $\pm Z_{\alpha/2}$。若 $|Z| > Z_{\alpha/2}$，則拒絕 $H_0$。

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• $A$ 區樣本數 $n_1 = 250$，及格比例 $\hat{p}_1 = 0.40$ $\implies$ 及格人數 $x_1 = n_1 \hat{p}_1 = 250 \times 0.40 = 100$ 人
• $B$ 區樣本數 $n_2 = 200$，及格比例 $\hat{p}_2 = 0.37$ $\implies$ 及格人數 $x_2 = n_2 \hat{p}_2 = 200 \times 0.37 = 74$ 人
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$

步驟二：建立假說

題目欲檢定兩區學童及格比例是否相同，故採雙尾檢定： $H_0: p_1 = p_2 \quad (\text{或 } p_1 - p_2 = 0)$ $H_1: p_1 \ne p_2 \quad (\text{或 } p_1 - p_2 \ne 0)$

步驟三：檢驗常態近似條件

• $n_1 \hat{p}_1 = 100 \ge 5$，$n_1(1-\hat{p}_1) = 150 \ge 5$
• $n_2 \hat{p}_2 = 74 \ge 5$，$n_2(1-\hat{p}_2) = 126 \ge 5$ 條件皆滿足，可使用標準常態分配（$Z$ 檢定）進行檢定。

步驟四：計算合併比例估計量 $\hat{p}$

在 $H_0: p_1 = p_2$ 假設下，計算共同比例估計值： $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{100 + 74}{250 + 200} = \frac{174}{450} = \frac{29}{75} \approx 0.3867$ $1 - \hat{p} = 1 - \frac{29}{75} = \frac{46}{75} \approx 0.6133$

步驟五：計算檢定統計量 $Z$

估計標準誤（Standard Error）：

核心觀念

本題評量類別自變數的虛擬變數（Dummy Variable）編碼及其在線性迴歸模型中的參數意義：

1. 基準組（Reference Group / Baseline）的設定： 當一個具有 $k$ 個水準的類別變數轉為 $k-1$ 個虛擬變數時，所有虛擬變數皆為 $0$ 的水準即為「基準組」。本題共有 $3$ 組（$X=1, 2, 3$），以 $X=3$ 作為基準組。
2. 截距項與斜率係數的條件期望值意義： 假設誤差項之條件期望值 $E(\varepsilon \mid X) = 0$：

• 截距項 $\beta_0$ 代表基準組的母體平均數。
• 虛擬變數的斜率係數 $\beta_j$ 代表第 $j$ 組相對於基準組之母體平均數差（即處理效應 Treatment Effect）。

解題方法

步驟一：列出各組之條件期望值與母體平均數的關係

根據迴歸方程式 $Y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \varepsilon$ 與題目給定的編碼：

1. 當 $X=3$ 時（基準組：$x_1=0, x_2=0$）： $E(Y \mid X=3) = \beta_0 + \beta_1(0) + \beta_2(0) = \beta_0$ 因此： $\mu_3 = \beta_0$

2. 當 $X=1$ 時（$x_1=1, x_2=0$）： $E(Y \mid X=1) = \beta_0 + \beta_1(1) + \beta_2(0) = \beta_0 + \beta_1$ 因此： $\mu_1 = \beta_0 + \beta_1 \implies \beta_1 = \mu_1 - \mu_3$

3. 當 $X=2$ 時（$x_1=0, x_2=1$）： $E(Y \mid X=2) = \beta_0 + \beta_1(0) + \beta_2(1) = \beta_0 + \beta_2$ 因此： $\mu_2 = \beta_0 + \beta_2 \implies \beta_2 = \mu_2 - \mu_3$

步驟二：依題目檢定結果判定母體平均數的大小

1. 由「$\beta_1$ 顯著大於 $0$」：