113 高普考普通考試 統計 統計學概要 考古題詳解

113 年・高普考・普通考試・統計
試題代碼 統計學概要

第 一 題60 分

目前核融合技術的重大突破，讓未來核融合發電可望成真。已知國內某大學的實驗室有三座核融合反應爐，令變數 TiT_i 為第 ii 座反應爐的核融合實際反應時間與目標反應時間之間的差異，i=1,2,3i=1,2,3。假設變數 T1,T2,T3T_1,T_2,T_3 彼此相互獨立，且都服從平均數為 00、變異數為 44 之常態分配。

(一) 求出機率 P[T12+T22≤2]P[T_1^2+T_2^2\leq 2]。（10 分）

(二) 令變數 S=T12+T22+T32S=T_1^2+T_2^2+T_3^2，請求出變數 SS 之機率密度函數 f(s)f(s)。（10 分）

(三) 令變數

W=T12T12+T22,W=\frac{T_1^2}{T_1^2+T_2^2},

請求出變數 WW 之機率密度函數 f(w)f(w)。（10 分）

(四) 求出題（三）之變數 WW 的期望值 E(W)E(W)。（10 分）

(五) 求出機率

P[Min⁡{Max⁡{T1,T2},T3}<0],P[\operatorname{Min}\{\operatorname{Max}\{T_1,T_2\},T_3\}<0],

此處 Max⁡{a,b}\operatorname{Max}\{a,b\} 代表取 a,ba,b 之最大值，Min⁡{a,b}\operatorname{Min}\{a,b\} 代表取 a,ba,b 之最小值。（10 分）

(六) 假設每一座反應爐每次點火成功的機率為 0.20.2，且假設三座反應爐點火成功與否彼此相互獨立。令 XiX_i 為第 ii 座反應爐直到第一次點火成功前，所需的點火（失敗）次數，i=1,2,3i=1,2,3。請求出機率 P[X1≥X2]P[X_1\geq X_2]。（10 分）

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核心觀念

本題考查常態變數平方和的卡方分配、卡方分配的比例性質、次序統計量，以及幾何分配的大小比較。

因 Ti∼N(0,4)T_i\sim N(0,4)，可標準化為 Zi=Ti/2∼N(0,1)Z_i=T_i/2\sim N(0,1)。因此，若 Z1,…,ZkZ_1,\ldots,Z_k 相互獨立，則 ∑i=1kZi2∼χk2\sum_{i=1}^k Z_i^2\sim\chi_k^2。

（一）求 P(T12+T22≤2)P(T_1^2+T_2^2\leq 2)

令 Zi=Ti/2Z_i=T_i/2，則

T12+T22=4(Z12+Z22),Z12+Z22∼χ22.T_1^2+T_2^2=4(Z_1^2+Z_2^2),\qquad Z_1^2+Z_2^2\sim\chi_2^2.

所以

P(T12+T22≤2)=P(χ22≤12).P(T_1^2+T_2^2\leq 2) =P\left(\chi_2^2\leq \frac{1}{2}\right).

自由度為 22 的卡方分配累積分配函數為 F(x)=1−e−x/2F(x)=1-e^{-x/2}（x≥0x\geq0），故

P(T12+T22≤2)=1−e−(1/2)/2=1−e−1/4≈0.2212.P(T_1^2+T_2^2\leq 2) =1-e^{-(1/2)/2} =\boxed{1-e^{-1/4}} \approx 0.2212.

（二）求 S=T12+T22+T32S=T_1^2+T_2^2+T_3^2 的機率密度函數

標準化後，

S4=Z12+Z22+Z32∼χ32.\frac{S}{4}=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2\sim\chi_3^2.

因此 S=4YS=4Y，其中 Y∼χ32Y\sim\chi_3^2。由變數變換，

fS(s)=14fY(s4),s>0.f_S(s)=\frac{1}{4}f_Y\left(\frac{s}{4}\right),\qquad s>0.

而 χ32\chi_3^2 的密度為

fY(y)=123/2Γ(3/2)y1/2e−y/2=12πy1/2e−y/2,y>0.f_Y(y)=\frac{1}{2^{3/2}\Gamma(3/2)}y^{1/2}e^{-y/2} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{1/2}e^{-y/2},\qquad y>0.

代入 y=s/4y=s/4 得

fS(s)={s42πe−s/8,s>0,0,s≤0.f_S(s)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{s}}{4\sqrt{2\pi}}e^{-s/8}, & s>0,\\[6pt] 0, & s\leq 0. \end{cases}

（三）求 W=T12T12+T22W=\dfrac{T_1^2}{T_1^2+T_2^2} 的機率密度函數

令 Zi=Ti/2Z_i=T_i/2，因共同的尺度因子在比例中抵消，

W=Z12Z12+Z22.W=\frac{Z_1^2}{Z_1^2+Z_2^2}.

由於 Z12,Z22Z_1^2,Z_2^2 相互獨立且均服從 χ12\chi_1^2，可寫成 Zi2∼Gamma⁡(1/2,2)Z_i^2\sim\operatorname{Gamma}(1/2,2)。獨立且同尺度的 Gamma 變數之比滿足

Z12Z12+Z22∼Beta⁡(12,12).\frac{Z_1^2}{Z_1^2+Z_2^2} \sim\operatorname{Beta}\left(\frac12,\frac12\right).

其密度為

fW(w)={1πw(1−w),0<w<1,0,其他.f_W(w)= \begin{cases} \dfrac{1}{\pi\sqrt{w(1-w)}}, & 0<w<1,\\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}

（四）求 E(W)E(W)

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第 二 題40 分

ChatGPT 的問世帶動了 AI 商機的蓬勃發展，也促成了市場對 GPU 需求量的急遽增加。已知國內某生產 GPU 的工廠，所生產的 GPU 之壽命服從變異數為 θ\theta 之指數分配。今由此公司之生產線隨機抽檢 nn 筆 GPU 樣本並測驗其壽命，令 Y1,Y2,…,YnY_1,Y_2,\ldots,Y_n 表此 nn 筆相互獨立樣本之觀測值。令 Min⁡{Y1,Y2,…,Yn}\operatorname{Min}\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\} 代表取 Y1,Y2,…,YnY_1,Y_2,\ldots,Y_n 之最小值，Max⁡{Y1,Y2,…,Yn}\operatorname{Max}\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\} 代表取 Y1,Y2,…,YnY_1,Y_2,\ldots,Y_n 之最大值。

(一) 求出此 GPU 壽命分配之中位數的均勻最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。（10 分）

(二) 求出機率

P[Min⁡{Y1,Y2,…,Yn}<1]P[\operatorname{Min}\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\}<1]

之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。（10 分）

(三) 求出機率

P[Min⁡{Y1,Y2,…,Yn}>1,Max⁡{Y1,Y2,…,Yn}>2].P[\operatorname{Min}\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\}>1,\operatorname{Max}\{Y_1,Y_2,\ldots,Y_n\}>2].

（10 分）

(四) 令 F(y)F(y) 為變數 YiY_i 之累積分配函數（cumulative distribution function）。請求出機率

P[Min⁡{F(Y1),F(Y2),…,F(Yn)}>14,Max⁡{F(Y1),F(Y2),…,F(Yn)}<12].P\left[ \operatorname{Min}\{F(Y_1),F(Y_2),\ldots,F(Y_n)\}>\frac{1}{4}, \operatorname{Max}\{F(Y_1),F(Y_2),\ldots,F(Y_n)\}<\frac{1}{2} \right].

（10 分）

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核心觀念

題目設定 GPU 壽命 YiY_i 服從指數分配，且變異數為 θ\theta。若指數分配的率參數為 λ\lambda，其機率密度函數為

f(y)=λe−λy,y>0,f(y)=\lambda e^{-\lambda y},\qquad y>0,

且 Var⁡(Yi)=1/λ2\operatorname{Var}(Y_i)=1/\lambda^2。因此

λ=1θ,F(y)=1−e−y/θ,y≥0.\lambda=\frac{1}{\sqrt{\theta}},\qquad F(y)=1-e^{-y/\sqrt{\theta}},\quad y\ge 0.

本題主要考查指數分配參數化、次序統計量、最大概似估計，以及累積分配函數轉換後的均勻分配性質。

（一）中位數的均勻最小變異不偏估計量

令 mm 為壽命分配的中位數，則 F(m)=1/2F(m)=1/2，所以

1−e−m/θ=12⟹m=θln⁡2.1-e^{-m/\sqrt{\theta}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad m=\sqrt{\theta}\ln 2.

由於指數分配的充分完全統計量為樣本總和

T=∑i=1nYi,T=\sum_{i=1}^n Y_i,

且 E(T)=nθE(T)=n\sqrt{\theta}，因此

E(ln⁡2nT)=ln⁡2n nθ=θln⁡2=m.E\left(\frac{\ln 2}{n}T\right) =\frac{\ln 2}{n}\,n\sqrt{\theta} =\sqrt{\theta}\ln 2=m.

故 ln⁡2nT\frac{\ln 2}{n}T 是 mm 的不偏估計量，且是充分完全統計量 TT 的函數。依 Lehmann–Scheffé 定理，它即為 mm 的均勻最小變異不偏估計量（UMVU）。

（二）P[min⁡(Y1,…,Yn)<1]P[\min(Y_1,\ldots,Y_n)<1] 的最大概似估計量

令

p(θ)=P[min⁡(Y1,…,Yn)<1].p(\theta)=P[\min(Y_1,\ldots,Y_n)<1].

由樣本獨立性，

p(θ)=1−P(Y1≥1,…,Yn≥1)=1−(e−1/θ)n=1−e−n/θ.p(\theta) =1-P(Y_1\ge 1,\ldots,Y_n\ge 1) =1-\left(e^{-1/\sqrt{\theta}}\right)^n =1-e^{-n/\sqrt{\theta}}.

單一觀測值的概似函數為

L(θ)=(1θ)nexp⁡(−∑i=1nYiθ),θ>0.L(\theta) =\left(\frac1{\sqrt{\theta}}\right)^n \exp\left(-\frac{\sum_{i=1}^nY_i}{\sqrt{\theta}}\right), \qquad \theta>0.

令 S=∑i=1nYiS=\sum_{i=1}^nY_i。最大概似估計的參數值為

θ^MLE=(Sn)2,λ^MLE=nS.\widehat{\theta}_{\mathrm{MLE}}=\left(\frac{S}{n}\right)^2, \qquad \widehat{\lambda}_{\mathrm{MLE}}=\frac{n}{S}.

由最大概似估計的不變性，將 θ^MLE\widehat{\theta}_{\mathrm{MLE}} 代入 p(θ)p(\theta)，得到

p^MLE=1−exp⁡(−nθ^MLE)=1−exp⁡(−n2S).\widehat p_{\mathrm{MLE}} =1-\exp\left(-\frac{n}{\sqrt{\widehat{\theta}_{\mathrm{MLE}}}}\right) =1-\exp\left(-\frac{n^2}{S}\right).
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